平面向量的坐标表示ppt课件
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
北师大必修四：2.4《平面向量的坐标》ppt课件
解：设
uuur OP
r uuur a, OQ
br并,Ouu设Rur Pcr（, x1，
y Q
y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）.
r br P
（1）由图可知，∠POP′=45°，
Q' 60
r j
a
r45
P'
R'
O i 30°r
x
| O|P=2.
c
所以
r a
uuur OP
uuur OP
uuur PP
§4 平面向量的坐标
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什 么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
r a
b
A (a,b)
O
a
x
1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（重点） 2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（重点） 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（难点）
y
解:依题意,得
1.若向量 AB 1,2，BC 3,4，则 AC =( A )
A.(4，6)
B.(-4,-6)
C.(-2,-2)
D.(2,2)
2.已知点A(－1，－5)和向量a=(2,3)，若 AB 3a,
则点B的坐标为( B )
A(6,9)
B(5,4)
C(7,14)
D(9,24)
3.(2014北京高考)已知平面向量a=(2,4)，b=(-1,1)， 则2a-b等于 ( A ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)
4. （2013·陕西高考）已知向量 a (1, m),b (m,2) ,
若 a // b , 则实数m等于( C )
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
平面向量的坐标表示及运算2课件
03
平面向量的数量积
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
详细描述
平面向量的数量积定义为向量a和向量b的数量积等于它们的模长之积乘以夹角的 余弦值，记作a·b=|a||b|cosθ。
数量积的几何意义
总结词
数量积表示两个向量在平面上的投影 长度之积。
详细描述
数量积的几何意义在于它表示向量a和 向量b在垂直于它们夹角平分线方向的 投影长度之积，即 a·b=|a||b|cosθ=|a'||b'|，其中a'和b'分 别是向量a和b在垂直于夹角平分线方向 上的投影向量。
数量积的运算性质
总结词
数量积具有交换律、分配律和结合律等运算性质。
详细描述
数量积满足交换律，即a·b=b·a；满足分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c；满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。此外，数 量积还具有正负性，当夹角θ为锐角时，a·b>0；当夹角θ为钝角时，a·b<0；当夹角θ为直角时，a·b=0。
感谢您的观看
THANKS
平面向量坐标的运算性质
向量加法
若$overrightarrow{a} = (x_1, y_1)$， $overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$，则 $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} =
(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
01
反交换律
$vec{A} times vec{B} = -vec{B} times vec{A}$。
02
03
结合律
平面向量的坐标表示及运算-PPT课件
归纳总结 定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
调用几何画板
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y a
o
P
x
调用几何画板
4
3
2
（ 3， 2） P
2 j
1
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
3i
O P 3 i2 j ( 3 , 2 )
-3
调用几何画板
向量的坐标表示
4 3
2
（ x， y） P
y j
1
j
-2
O
-1 -2
例 题 2 、 如 图 ， 用 基 底 i 、 j 分 别 表 示 向 量 a 、 b 、 c 、 d , 并 求 出 它 们 的 坐 标 。 y 解：由图可知
b
5 4 3 2
j
A
2
a
A
A
1
a AA1 AA2 2i 3 j
1 2 3 4 x
a(2 ,3 )
同理
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 i -2
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去始点的坐 标． (末减初)
调用几何画板
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1. 已知
a (4,2),
b
(6,
y),
且a//
b,
求y
2. 已知 A(1,1), B(1,3),C(2,5),
求证: A、B、C 三点共线。
3.课本上
Page 17
课本—
欢迎指导
Page 18
y1 y2 x2 , y1
y2
相等向量对应坐标相等 相反向量对应坐标相反
调用几P何age画板13
-2
几何画板作图
Page 14
i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
4
3
r2 2j
1
j
Oi
-1
-2
-3
P（3，2）
Q(1.5 , 1)
r 2
4
6
3i
uuur r r
OP 3i 2 j (3, 2)
OQ 1.5i j (1.5,1)
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)ar
/
r /b
r (b
rห้องสมุดไป่ตู้0)
ar
r
b
;
(2)ar
/
r /b
(ar
( x1 ,
r y1), b
( x2 ,
r y2 ), b
r 0)
x1 y1
x2 y2
Page 15
定义： 归纳总结
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，把始点移到原点，终点坐标为（ x ， y ） ，则有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
Page 2
复习回顾：如何用平面直角坐标系来表示已知点
的位置呢？
纵轴 y 5
A的横坐标为4 A的纵坐标为2
· B （-4,1）
4 有序数对(4, 2)就叫做A的坐标
3
记作：A（4,2）
2
·A
横坐轴
1
写在前面
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
1 2 3 4 5 x 横轴
-4
Page 3
探索1: 以O为起点，P为终点的向量能
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
←
= 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i
5、 a (x1, a (x1,
=（1，0），j
y1
),
b
(
x2
,
y1),b (x2,
4
3
D
E
2
C
1
j
Oi
-1
-2
P
B
2
A
4
6
OP CD AB 2i j (2,1)
EF OP 2i j (2,1)
-3
探索3：相等、相反向量坐标之间的关系
a a
( (
x1 x1
, ,
y1 y1
),b
),b
( (
x2 x2
, ,
y2 y2
), ),
a a
b则 x1 x2 , b则x1
平面向量的坐标表
示
13护理1
孙影影
Page 1
背景介绍
笛卡尔 ，法国著名哲学家，数学家。 1596年出生于法国拉镇，法国巴黎 普瓦捷大学毕业，获法律学位。
数学方面的主要成就： 哲学专著《方法论》一书中的《几何
学》，第一次将x看作点的横坐标， 把y看作是点的纵坐标，将平面内的 点与一种坐标对应起来。
否用坐标表示？如何表示？
y
a
P
o
x
调用几P何age画板4
-2
几何画板作图
Page 5
i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
4
3
P（3，2）
r B 2 2j
1
j
r 2
4
6
Oi
3i A
-1
uuur r r
-2
OP 3i 2 j (3, 2)
-3
向量的坐标表示4
3
r2 yj
点P的坐标与向量a 的坐标的关系？ 两者相同
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
Page 10
探索3：平面向量可以用坐标表示，相等
向量、相反向量，平行向量坐标 之间有什么关系呢？
调用几P何age画板11
F
-2
几何画板作图
Page 12
Y
i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
P（x，y）
1
-2
调用几P何age画板6
j
r 2
4
6
Oi
xi
-1
uuur r r
OP xi y j (x, y)
-2
uuur
OP 向量
一 一 对 应 P（x ，y）
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
调用几P何age画板7
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
yA a
a
ox
调用几P何age画板8
rrr 向量a xi y j
的模 r a x2 y2
a
Page 9
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
yy=22（)),,0aa， 1）bb则则x1x10x2,
(0,0)
y1 y2 x2 , y1
y2
6、
(1)a//
b (b
0)
a
b ;
(2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
x1 y2 x2 y1 0
调用几P何age画板16
习题
a (4,2),
b
(6,
y),
且a//
b,
求y
2. 已知 A(1,1), B(1,3),C(2,5),
求证: A、B、C 三点共线。
3.课本上
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y1 y2 x2 , y1
y2
相等向量对应坐标相等 相反向量对应坐标相反
调用几P何age画板13
-2
几何画板作图
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i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
4
3
r2 2j
1
j
Oi
-1
-2
-3
P（3，2）
Q(1.5 , 1)
r 2
4
6
3i
uuur r r
OP 3i 2 j (3, 2)
OQ 1.5i j (1.5,1)
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)ar
/
r /b
r (b
rห้องสมุดไป่ตู้0)
ar
r
b
;
(2)ar
/
r /b
(ar
( x1 ,
r y1), b
( x2 ,
r y2 ), b
r 0)
x1 y1
x2 y2
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定义： 归纳总结
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，把始点移到原点，终点坐标为（ x ， y ） ，则有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
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复习回顾：如何用平面直角坐标系来表示已知点
的位置呢？
纵轴 y 5
A的横坐标为4 A的纵坐标为2
· B （-4,1）
4 有序数对(4, 2)就叫做A的坐标
3
记作：A（4,2）
2
·A
横坐轴
1
写在前面
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
1 2 3 4 5 x 横轴
-4
Page 3
探索1: 以O为起点，P为终点的向量能
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
←
= 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i
5、 a (x1, a (x1,
=（1，0），j
y1
),
b
(
x2
,
y1),b (x2,
4
3
D
E
2
C
1
j
Oi
-1
-2
P
B
2
A
4
6
OP CD AB 2i j (2,1)
EF OP 2i j (2,1)
-3
探索3：相等、相反向量坐标之间的关系
a a
( (
x1 x1
, ,
y1 y1
),b
),b
( (
x2 x2
, ,
y2 y2
), ),
a a
b则 x1 x2 , b则x1
平面向量的坐标表
示
13护理1
孙影影
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背景介绍
笛卡尔 ，法国著名哲学家，数学家。 1596年出生于法国拉镇，法国巴黎 普瓦捷大学毕业，获法律学位。
数学方面的主要成就： 哲学专著《方法论》一书中的《几何
学》，第一次将x看作点的横坐标， 把y看作是点的纵坐标，将平面内的 点与一种坐标对应起来。
否用坐标表示？如何表示？
y
a
P
o
x
调用几P何age画板4
-2
几何画板作图
Page 5
i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
4
3
P（3，2）
r B 2 2j
1
j
r 2
4
6
Oi
3i A
-1
uuur r r
-2
OP 3i 2 j (3, 2)
-3
向量的坐标表示4
3
r2 yj
点P的坐标与向量a 的坐标的关系？ 两者相同
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
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探索3：平面向量可以用坐标表示，相等
向量、相反向量，平行向量坐标 之间有什么关系呢？
调用几P何age画板11
F
-2
几何画板作图
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Y
i j 叫做X，Y轴方向的基底向量
P（x，y）
1
-2
调用几P何age画板6
j
r 2
4
6
Oi
xi
-1
uuur r r
OP xi y j (x, y)
-2
uuur
OP 向量
一 一 对 应 P（x ，y）
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
调用几P何age画板7
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
yA a
a
ox
调用几P何age画板8
rrr 向量a xi y j
的模 r a x2 y2
a
Page 9
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
yy=22（)),,0aa， 1）bb则则x1x10x2,
(0,0)
y1 y2 x2 , y1
y2
6、
(1)a//
b (b
0)
a
b ;
(2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0)
x1 y2 x2 y1 0
调用几P何age画板16
习题