3.2三角形的内切圆课件
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C
O B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
三 角 分析： 形 内 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 心 性 A 1 1 3 ACB 质 1 ABC 2 2 的 应 O ∠1 + ∠3= ? 用 4
O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO 从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样 的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
请你们结合图形 用数学语言表达 定理
O
p
B ∵PA、PB分别切⊙O于 A、B,连结PO
5. 菱形一定有内切圆（对 ）
6. 矩形一定有内切圆（ 错 ）
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= A cm,AC= AB=
F
B
2 D
E
4 C
7
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长 为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
1 求证：AE+BC= C 2
A O F B
E r D
C
如图:直角三角形的两直角边分别
练 径为: 习
是a，b,斜边为c 则其内切圆的半
a+b-c r= 2 A c
如：直角三角形的两 b 直角边分别是5cm， D r O 12cm 则其内切圆的 2cm 半径为______。 C E a
A
O
N
A
C
O
B
图2
C
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上。
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
3．如何确定一个与三角形的三边都相切 的圆心的位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， F 垂线段的长是符合条件的半径。
C
E I
4．你能作出几个与一个 三角形的三边都相切的 圆么？
A
D
B
只能作一个，因为三角形的三条内角 平分线相交只有一个交点。
探 究 作法： ： 1、作∠B、∠C的平分线BM和CN， 三 交点为I。 角 2．过点I作ID⊥BC，垂足 形 A 内 为D。 切 3．以I为圆心，ID为 M 圆 半径作⊙I. N 的 ⊙I就是所求的圆。 I 作 B D C 法
A 16cm B 14cm A C12cm D C P D 8cm
B E
半径。
A
D O
B
C
思考：切线长和 切线的区别和联 系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B P O C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
A
O
p
你能不能用所 学的几何知识 证明刚才的实验？
B 已知： 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
∠O = ?
2 1 3 C B
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的 度数。 O为△ABC的内心
解：
三 角 形 内 心 性 质 的 应 用
∵点O为△ABC的内心
1 1 0 0 ∴∠1＝∠2＝ ABC 50 25 2 2 1 1 0 0 3 4 ACB 75 37.5 2 2
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
图2
C
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角 形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，
点O叫△ABC的 外心 它是三角形 三边中垂线 __________的交点。
A
． O
B
D
图1
C
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ． I ⊙I是△DEF的 内切 圆， E 图2 内 心， 点I是 △DEF的 它是三角形 三个角平分线 的交点。
F
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2) =1800 - (250+37.50) =117.50
O
A
∴ ∠BOC=117.50
B
2 1
4 3 C
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直
三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱
柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的
1、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径 2.不在同一直线上的三点 2、叙述角平线的性质与判定 性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？
A
△ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆 圆心O点叫△ABC的外心
B
知 1 CA=b,AB=c,p= (a+b+c),内切圆I和各 识 2 的 边分别相切于D,E,F A E 应 求证：AE=AF=p-a O r BF=BD=p-b 用
CD=CE=p-c
F B D
例3、如图，设△ABC的边BC=a，
C
一 判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 （错 ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错 ） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （对 ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
B O
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用 料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一 下。
A
B
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC 的两边相切，那么圆心O的 位置有什么特点？ 圆心0在∠ABC的平分线上。 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两 百度文库也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ B M
O B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
三 角 分析： 形 内 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 心 性 A 1 1 3 ACB 质 1 ABC 2 2 的 应 O ∠1 + ∠3= ? 用 4
O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO 从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样 的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
请你们结合图形 用数学语言表达 定理
O
p
B ∵PA、PB分别切⊙O于 A、B,连结PO
5. 菱形一定有内切圆（对 ）
6. 矩形一定有内切圆（ 错 ）
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= A cm,AC= AB=
F
B
2 D
E
4 C
7
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长 为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
1 求证：AE+BC= C 2
A O F B
E r D
C
如图:直角三角形的两直角边分别
练 径为: 习
是a，b,斜边为c 则其内切圆的半
a+b-c r= 2 A c
如：直角三角形的两 b 直角边分别是5cm， D r O 12cm 则其内切圆的 2cm 半径为______。 C E a
A
O
N
A
C
O
B
图2
C
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上。
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
3．如何确定一个与三角形的三边都相切 的圆心的位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， F 垂线段的长是符合条件的半径。
C
E I
4．你能作出几个与一个 三角形的三边都相切的 圆么？
A
D
B
只能作一个，因为三角形的三条内角 平分线相交只有一个交点。
探 究 作法： ： 1、作∠B、∠C的平分线BM和CN， 三 交点为I。 角 2．过点I作ID⊥BC，垂足 形 A 内 为D。 切 3．以I为圆心，ID为 M 圆 半径作⊙I. N 的 ⊙I就是所求的圆。 I 作 B D C 法
A 16cm B 14cm A C12cm D C P D 8cm
B E
半径。
A
D O
B
C
思考：切线长和 切线的区别和联 系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B P O C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
A
O
p
你能不能用所 学的几何知识 证明刚才的实验？
B 已知： 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
∠O = ?
2 1 3 C B
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的 度数。 O为△ABC的内心
解：
三 角 形 内 心 性 质 的 应 用
∵点O为△ABC的内心
1 1 0 0 ∴∠1＝∠2＝ ABC 50 25 2 2 1 1 0 0 3 4 ACB 75 37.5 2 2
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
图2
C
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角 形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，
点O叫△ABC的 外心 它是三角形 三边中垂线 __________的交点。
A
． O
B
D
图1
C
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ． I ⊙I是△DEF的 内切 圆， E 图2 内 心， 点I是 △DEF的 它是三角形 三个角平分线 的交点。
F
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2) =1800 - (250+37.50) =117.50
O
A
∴ ∠BOC=117.50
B
2 1
4 3 C
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直
三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱
柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的
1、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径 2.不在同一直线上的三点 2、叙述角平线的性质与判定 性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？
A
△ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆 圆心O点叫△ABC的外心
B
知 1 CA=b,AB=c,p= (a+b+c),内切圆I和各 识 2 的 边分别相切于D,E,F A E 应 求证：AE=AF=p-a O r BF=BD=p-b 用
CD=CE=p-c
F B D
例3、如图，设△ABC的边BC=a，
C
一 判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 （错 ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错 ） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （对 ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
B O
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用 料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一 下。
A
B
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC 的两边相切，那么圆心O的 位置有什么特点？ 圆心0在∠ABC的平分线上。 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两 百度文库也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ B M