3.2三角形的内切圆课件
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人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
即：4 2 x 2 x 2 2
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
三角形的内切圆课件
△ABC ⊙O的外 三角形三条 到三角形的
的内切 切三角 角平分线的 三条边的距 一定在三角形内部
圆
形
交点
离相等
知2－讲
导引：根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ BC2 AC2 82 62 ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
2. 要点精析： (1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆； (2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．
知1－讲
例1 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ C ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
知2－练
1 (202X·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容 圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长 为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆 形 (内切圆)直径是多少？”( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
导引：由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案． 解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的 定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形 的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正 确的说法为：①②④.
3第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
九年级《切线长定理和三角形的内切圆》课件
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
7、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段
是直径。
2021/10/10
2021/10/10
6
1. 如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与
⊙O相切。在经过圆外一点的圆的切线上，这
点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线
长。
B
。
P
O
A
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段
的长。 2021/10/10
7
2. 从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分 别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？ 并证明你所发现的结论。
解 :连 结 IC,则
r
r r
图 2 3 .2 .1 2
S S S S
ABC
A IB
B IC
C IA
1 AB r 1 BC r 1 CA r
2
2
2
1 r(AB BC CA) 2
1 rl. 2
2021/10/10
19
练 习：
1、填空：已知⊙O的半径为 3cm，点P和圆心O的距离为6cm， 经过点P有⊙O的两条切线，则P 切线长为______cm。这两条切 线的夹角为__6_0__度。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
3.2三角形的内切圆.ppt(公开课)
答：圆柱底面半径为 3 cm。 2
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求它 的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
r 3
R
r
B
D
C
谈谈你的收获……
再见！
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求 它的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
R
r
r 3
B
D
C
2、内心特点: 内心是三角形三个内角的角平分线的 交点，它到三角形三边的距离相等。
A
O
B
C
填一填:如图点O为△ABC的内心，
求 (1) 若∠BAC= 80º ,则∠BOC=__1__3_0_º.
(2) 若∠BAC= x 0
,则∠BOC=_9_0__0 __.x 0 2
A
O•
B
1
2C
探究一：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设a+b+c=L，
内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：（1）AD=AF；（2） AF+BC= 1L；
（3）若内切圆半径为r,求△AB2C的面积S(用L,r表示）.
A
b
c
D
F
rr
O
r
B aE
证明：连接OD,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=Rt∠.
又∵OD=OF,OA=OA,
龙游县三中：张力
生活实例
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求它 的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
r 3
R
r
B
D
C
谈谈你的收获……
再见！
练习： 已知正三角形的边长为6cm，求 它的内切圆和外接圆的半径。
A
R2 3
.O
R
r
r 3
B
D
C
2、内心特点: 内心是三角形三个内角的角平分线的 交点，它到三角形三边的距离相等。
A
O
B
C
填一填:如图点O为△ABC的内心，
求 (1) 若∠BAC= 80º ,则∠BOC=__1__3_0_º.
(2) 若∠BAC= x 0
,则∠BOC=_9_0__0 __.x 0 2
A
O•
B
1
2C
探究一：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设a+b+c=L，
内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：（1）AD=AF；（2） AF+BC= 1L；
（3）若内切圆半径为r,求△AB2C的面积S(用L,r表示）.
A
b
c
D
F
rr
O
r
B aE
证明：连接OD,OF,OA.
∵⊙O是△ABC的内切圆，D,F为切点，
∴∠ADO=∠AFO=Rt∠.
又∵OD=OF,OA=OA,
龙游县三中：张力
生活实例
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆
形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
+2.3《三角形内切圆》课件+2023-2024学年浙教版九年级数学下册
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
D
C
典例精析
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC
的内切圆半径.
C
解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
O
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∠BOC的度数为 130° .
作业布置
【综合拓展类作业】
=
6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若
，如图①
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
=
，
∵
∴∠EOF＝∠EOD
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，
课堂练习
5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，
BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
设AF=xcm，则AE=xcm.
A
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
F
E
O
（3）. 内心在三角形内部.
D
C
典例精析
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC
的内切圆半径.
C
解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
O
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∠BOC的度数为 130° .
作业布置
【综合拓展类作业】
=
6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若
，如图①
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
=
，
∵
∴∠EOF＝∠EOD
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，
课堂练习
5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，
BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
设AF=xcm，则AE=xcm.
A
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
F
E
O
北师版九年级数学下册《切线的判定及三角形的内切圆》课件精品(2022年新版)
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是 确定外接圆的直径(或半径)长度．
当堂练习
1.判断： 〔1〕经过三点一定可以作圆 〔 ×〕 〔2〕三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 〔 √ 〕 〔3〕三角形的外心到三边的距离相等 〔×〕 〔4〕等腰三角形的外心一定在这个三角形内 〔 ×〕
O
E
B
PC
3.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如 图，AF=3,BD+CE=12,那么△ABC的周长是 30 .
A
F
E
O
BD
C
第4题
A
拓展提升：
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
〔1〕它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径
D
F O·
是 1 cm？
〔2〕假设移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的 C E
填一填：
三角形三边
中垂线的交
点
B
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.OA=OB=OC
2.外心不一定
O
在三角形的内 部．
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB; 3.内心在三角形内
C 部．
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
当堂练习
1.判断： 〔1〕经过三点一定可以作圆 〔 ×〕 〔2〕三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 〔 √ 〕 〔3〕三角形的外心到三边的距离相等 〔×〕 〔4〕等腰三角形的外心一定在这个三角形内 〔 ×〕
O
E
B
PC
3.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如 图，AF=3,BD+CE=12,那么△ABC的周长是 30 .
A
F
E
O
BD
C
第4题
A
拓展提升：
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
〔1〕它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径
D
F O·
是 1 cm？
〔2〕假设移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的 C E
填一填：
三角形三边
中垂线的交
点
B
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.OA=OB=OC
2.外心不一定
O
在三角形的内 部．
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB; 3.内心在三角形内
C 部．
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
A．第①块 C．第③块
B．第②块 D．第④块
二 三角形的外接圆及外心
试一试： △ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C
三点的圆.
A
O C
B
《切线长定理、三角形的内切圆、内心》PPT课件(县级优课)
应用格式：
三、实践应用
1、开放探究：
如图，PA、PB为圆O的两条切线，
切点分别为A、B，连结OA、OB，
AB，AB交OP于点C，OP与圆O
分别交于点M、N，在图形中你能 N
CM
发现哪些线段、角、弧之间的特殊
关系？你能用所学知识解释吗？
三、实践应用
2、一个钢管放在V型架内，如图为其截面圆，O为钢管 的圆心，如果钢管的半径为25cm,∠APB=60o, 求切线长 PA
2、在Rt ABC中，∠C=90o ，AB、BC、CA的长分别为c、 a、b，求 ABC的内切圆半径
∠C=90o
由 OD ⊥ BC 得四边形ODCE为矩形
OE ⊥ AC
F EO
又由OD=OE=r，故四边形ODCE为正方形
D
六、探究成果
1、切线长定理是什么？ 2、应用中使用了哪些基本辅助线？ 3、三角形的内心具备什么性质？
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）
E
F
r
rO
rr D
问题4: 怎样确定圆的半径？
（过圆心作三角形边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
①三角形的内心一定在三角形的内部 三角形内心 ②三角形的内心与各顶点的连线平分每个内角 的基本性质 ③三角形的内心到三边的距离相等
五、内心应用
1、如图， ABC中， ∠ABC=50o， ∠ACB=75o，点O是 ABC 的内心，则∠BOC的度数为 117.5o
直线和圆的位置关系 （3）
一、课程引入
过圆上一点A，如何做圆的切线？
直线PB是 圆O的切
线吗？ห้องสมุดไป่ตู้
l P
经过点A与半径OA垂直的直线l
将PA沿直线OP翻折
三、实践应用
1、开放探究：
如图，PA、PB为圆O的两条切线，
切点分别为A、B，连结OA、OB，
AB，AB交OP于点C，OP与圆O
分别交于点M、N，在图形中你能 N
CM
发现哪些线段、角、弧之间的特殊
关系？你能用所学知识解释吗？
三、实践应用
2、一个钢管放在V型架内，如图为其截面圆，O为钢管 的圆心，如果钢管的半径为25cm,∠APB=60o, 求切线长 PA
2、在Rt ABC中，∠C=90o ，AB、BC、CA的长分别为c、 a、b，求 ABC的内切圆半径
∠C=90o
由 OD ⊥ BC 得四边形ODCE为矩形
OE ⊥ AC
F EO
又由OD=OE=r，故四边形ODCE为正方形
D
六、探究成果
1、切线长定理是什么？ 2、应用中使用了哪些基本辅助线？ 3、三角形的内心具备什么性质？
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）
E
F
r
rO
rr D
问题4: 怎样确定圆的半径？
（过圆心作三角形边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
①三角形的内心一定在三角形的内部 三角形内心 ②三角形的内心与各顶点的连线平分每个内角 的基本性质 ③三角形的内心到三边的距离相等
五、内心应用
1、如图， ABC中， ∠ABC=50o， ∠ACB=75o，点O是 ABC 的内心，则∠BOC的度数为 117.5o
直线和圆的位置关系 （3）
一、课程引入
过圆上一点A，如何做圆的切线？
直线PB是 圆O的切
线吗？ห้องสมุดไป่ตู้
l P
经过点A与半径OA垂直的直线l
将PA沿直线OP翻折
2022年浙教初中数学九下《三角形的内切圆》PPT课件14
2. 三角形的内心在三角形的角平分线上； D
三角形外心的性质：
．O
E
F
1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若
∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
解:
（1）∵点O是△ABC的内心，
3.2 三角形的内切圆
三角形的外接圆在实际中很有用,但还 有用它不能解决的问题.如
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下
的圆的面积尽可能大呢？ A
B
C
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
x2
4
x
你能总结出单项式与多项式相乘的法则吗?
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多 项式的每一项,再把所得的积相加
例2:计算
(1) 2a2b1ab3ab2
2
解:原式= 2a2b1a b(2a2b3ab2) 2
=a3b26a3b3
(2) 1x3xy12y
3 4
解:原式=
1x1y23xy1y2
3
4
B
的交点。
三角形， D
C
图1
⊙I是△DEF的 内切 圆，
．I
点I是 △DEF的 内 心，
E
F
它是三角形 三个角平分线 的交点。
图2
D
3. 如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四 边形，⊙O是四边形DEFG的 内切 圆.
G .O
三角形内切圆+课件
通过三角形的三条高作内切圆
总结词
利用三角形三条高的垂足连线作内切 圆
详细描述
在三角形ABC中，分别作高AD、BE 、CF，垂足分别为D、E、F，然后分 别连接DE、EF、FD，则三角形DEF就 是三角形ABC的内切圆。
04
三角形内切圆的应用
在几何作图中的应用
确定三角形内切圆的圆心
绘制三角形内切圆
内切圆半径
从三角形内切圆的圆心到三角形 任意一边的距离就是内切圆的半 径。
三角形内切圆的重要性
面积计算
通过三角形内切圆的半径可以快速计 算三角形的面积，公式为：面积 = (p × r) / 2，其中p为半周长，r为内 切圆半径。
几何性质研究
三角形内切圆是研究三角形几何性质 的重要工具，如重心、垂心等性质都 与内切圆有关。
详细描述
切线定理说明了三角形内切圆的切线与对应的底边平行，这 是由于内切圆的半径垂直于切线，并且与底边平行。同时， 切点到三角形三个顶点的距离相等，即内切圆的半径等于三 角形周长与面积之比的一半。
切线和半径的定理
总结词
切线和半径的定理表明三角形内切圆的半径等于该三角形的高与底边长度之比。
详细描述
这个定理说明了三角形内切圆的半径与三角形的高和底边长度之间的关系。具体 来说，内切圆的半径等于三角形面积与高和底边长度乘积之比。这个定理在解决 几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到三角形内切圆的半径。
通过三角形三边的垂直平分线的交点 确定内切圆的圆心。
根据圆心和半径，使用几何作图方法 绘制出三角形的内切圆。
计算内切圆的半径
利用三角形面积和半径公式，可以求 出内切圆的半径。
在三角形面积计算中的应用
要点一
人教九年级数学上册《切线长定理和三角形的内切圆》课件
第7题图
第8题图
知识点2 三角形的内切圆
9．(6分)如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别与BC，AC，AB相切于 点E，D，F，已知△ABC的周长为c，⊙O的半径为r，求△ABC的面 积．
解：连接 OA，OB，OC，OF，OE，OD.∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴OF⊥AB，OE⊥BC，OD⊥AC，OF＝OE＝OD＝r，
上一点，若∠A＋∠C＝110°，则∠BPE＝__5_5__°___.
第12题图
第13题图
14．(10 分)如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于点 E.求证：DE＝12BC.
证明：连接 BD，∴∠ADB＝90°， 可得∠BDE＋∠CDE＝90°， ∠C＋∠DBE＝90°，可证 BE 切⊙O 于点 B， 又∵ED 切⊙O 于点 D，∴BE＝ED， ∴∠BDE＝∠DBE， ∴∠CDE＝∠C，∴DE＝EC，∴DE＝12BC
知识点1 切线长定理
1．(4分)如图，AD，AE，CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
AD＝8，则△ABC的周长为( C )
A．8
B．12
C．16
D．不能确定
2．(4分)如图，已知PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AP＝6，
∠APB＝50°，则BP＝__6_____，∠OPB＝__2_5_°______．
6．(4分)如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝
140°，则∠BIC的度数为( B )
A．110°
B．125°
C．130° D．140°
知识点2 三角形的内切圆
7．(4 分)如图，⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半 径为__3_3___．
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C
O B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
三 角 分析： 形 内 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 心 性 A 1 1 3 ACB 质 1 ABC 2 2 的 应 O ∠1 + ∠3= ? 用 4
1、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径 2.不在同一直线上的三点 2、叙述角平线的性质与判定 性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？
A
△ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆 圆心O点叫△ABC的外心
C
E I
4．你能作出几个与一个 三角形的三边都相切的 圆么？
A
D
B
只能作一个，因为三角形的三条内角 平分线相交只有一个交点。
探 究 作法： ： 1、作∠B、∠C的平分线BM和CN， 三 交点为I。 角 2．过点I作ID⊥BC，垂足 形 A 内 为D。 切 3．以I为圆心，ID为 M 圆 半径作⊙I. N 的 ⊙I就是所求的圆。 I 作 B D C 法
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2) =1800 - (250+37.50) =117.50
O
A
∴ ∠BOC=117.50
B
2 1
4 3 C
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直
三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱
柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的
A
O
N
A
C
O
B
图2
C
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的 作 法
3．如何确定一个与三角形的三边都相切 的圆心的位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， F 垂线段的长是符合条件的半径。
O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO 从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样 的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
请你们结合图形 用数学语言表达 定理
O
p
B ∵PA、PB分别切⊙O于 A、B,连结PO
B O
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用 料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一 下。
A
B
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC 的两边相切，那么圆心O的 位置有什么特点？ 圆心0在∠ABC的平分线上。 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两 边也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ B M
5. 菱形一定有内切圆（对 ）
6. 矩形一定有内切圆（ 错 ）
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= A cm,AC= AB=
F
B
2 D
E
4 C
7
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长 为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
1 求证：AE+BC= C 2
A O F B
E r D
C
如图:直角三角形的两直角边分别
练 径为: 习
是a，b,斜边为c 则其内切圆的半
a+b-c r= 2 A c
如：直角三角形的两 b 直角边分别是5cm， D r O 12cm 则其内切圆的 2cm 半径为______。 C E a
∠O = ?
2 1 3 C B
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的 度数。 O为△ABC的内心
解：
三 角 形 内 心 性 质 的 应 用
∵点O为△ABC的内心
1 1 0 0 ∴∠1＝∠2＝ ABC 50 25 2 2 1 1 0 0 3 4 ACB 75 37.5 2 2
A
． O
B
D
图1
C
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ． I ⊙I是△DEF的 内切 圆， E 图2 内 心， 点I是 △DEF的 它是三角形 三个角平分线 的交点。
F
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
半径。
A
D O
B
C
思考：切线长和 切线的区别和联 系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B P O C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
A
O
p
你能不能用所 学的几何知识 证明刚才的实验？
B 已知： 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
A 16cm B 14cm A C12cm D C P D 8cm
B E
B
知 1 CA=b,AB=c,p= (a+b+c),内切圆I和各 识 2 的 边分别相切于D,E,F A E 应 求证：AE=AF=p-a O r BF=BD=p-b 用
CD=CE=p-c
F B D
例3、如图，设△ABC的边BC=a，
C
一 判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 （错 ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错 ） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （对 ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
图2
C
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角 形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，
点O叫△ABC的 外心 它是三角形 三边中垂线 __________的交点。
O B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
三 角 分析： 形 内 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 心 性 A 1 1 3 ACB 质 1 ABC 2 2 的 应 O ∠1 + ∠3= ? 用 4
1、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径 2.不在同一直线上的三点 2、叙述角平线的性质与判定 性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？
A
△ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆 圆心O点叫△ABC的外心
C
E I
4．你能作出几个与一个 三角形的三边都相切的 圆么？
A
D
B
只能作一个，因为三角形的三条内角 平分线相交只有一个交点。
探 究 作法： ： 1、作∠B、∠C的平分线BM和CN， 三 交点为I。 角 2．过点I作ID⊥BC，垂足 形 A 内 为D。 切 3．以I为圆心，ID为 M 圆 半径作⊙I. N 的 ⊙I就是所求的圆。 I 作 B D C 法
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2) =1800 - (250+37.50) =117.50
O
A
∴ ∠BOC=117.50
B
2 1
4 3 C
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直
三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱
柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的
A
O
N
A
C
O
B
图2
C
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的 作 法
3．如何确定一个与三角形的三边都相切 的圆心的位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， F 垂线段的长是符合条件的半径。
O的切线，A、B为切点，连结PO 求证： PA PB, APO BPO 从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样 的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
请你们结合图形 用数学语言表达 定理
O
p
B ∵PA、PB分别切⊙O于 A、B,连结PO
B O
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用 料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一 下。
A
B
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC 的两边相切，那么圆心O的 位置有什么特点？ 圆心0在∠ABC的平分线上。 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两 边也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ B M
5. 菱形一定有内切圆（对 ）
6. 矩形一定有内切圆（ 错 ）
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= A cm,AC= AB=
F
B
2 D
E
4 C
7
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长 为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A
∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
1 求证：AE+BC= C 2
A O F B
E r D
C
如图:直角三角形的两直角边分别
练 径为: 习
是a，b,斜边为c 则其内切圆的半
a+b-c r= 2 A c
如：直角三角形的两 b 直角边分别是5cm， D r O 12cm 则其内切圆的 2cm 半径为______。 C E a
∠O = ?
2 1 3 C B
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的 度数。 O为△ABC的内心
解：
三 角 形 内 心 性 质 的 应 用
∵点O为△ABC的内心
1 1 0 0 ∴∠1＝∠2＝ ABC 50 25 2 2 1 1 0 0 3 4 ACB 75 37.5 2 2
A
． O
B
D
图1
C
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ． I ⊙I是△DEF的 内切 圆， E 图2 内 心， 点I是 △DEF的 它是三角形 三个角平分线 的交点。
F
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
半径。
A
D O
B
C
思考：切线长和 切线的区别和联 系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B P O C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
A
O
p
你能不能用所 学的几何知识 证明刚才的实验？
B 已知： 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
A 16cm B 14cm A C12cm D C P D 8cm
B E
B
知 1 CA=b,AB=c,p= (a+b+c),内切圆I和各 识 2 的 边分别相切于D,E,F A E 应 求证：AE=AF=p-a O r BF=BD=p-b 用
CD=CE=p-c
F B D
例3、如图，设△ABC的边BC=a，
C
一 判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 （错 ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （错 ） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （对 ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ）
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
图2
C
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角 形。⊙ O是△ABC的 外接 圆，
点O叫△ABC的 外心 它是三角形 三边中垂线 __________的交点。