欧拉定理的证明

一、引言
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

在数论中，欧拉定理（Euler Theorem ，也称费马-欧拉定理或 欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理得名于瑞士数学家 莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，欧拉定理实际上是 费马小定理的推广.
二、内容
在数论中， 欧拉定理,（也称 费马--欧拉定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a 为正整数，且n,a 互质，则： () 1( )n a
mod n ϕ≡. 1.知识准备：
（1）欧拉函数 ：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括1）的个数，记作 φ(n) .
（2）完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。

显然 |Zn| ＝φ(n) 。

其中，“ |A |”表示这个集合中元素的个数，比如A=｛a,b} 则|A|=2.
（3）有关性质：
①对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

②对于两个不同素数 p ， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1). 因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) .
2.证明方法：
证明：
( 1 ) 首先证明下面这个命题：
对于集合Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} ，其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n 互素的数，即n 的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，则Zn = S .
1) 由于a,n 互质，xi 也与n 互质，则a*xi 也一定于n 互质，因此 任意xi ，a*xi(mod n) 必然是Zn 的一个元素
2) 对于Zn 中两个元素xi 和xj ，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a 、n 互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 而x1 × x2 × ... ×
xφ(n)(mod n)和n 互质 根据消去律，可以从等式两边约去，
就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a 、n ，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
费马定理:
a 是不能被质数p 整除的正整数，则有a^(p -1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p 整除的正整数a,()p a a modp ≡
① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。

② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj ，且由 a, n 互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n
≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n) mod n) mod n
≡ x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 () 1( )n a
mod n ϕ≡ （消去律）。

注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p 。

证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

费马小定理:
a 是不能被 质数p 整除的正整数，则有a^(p -1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于p 是质数，所以有φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

推论：对于任意正整数a ，有a^p ≡ a (mod p)，因为a 能被p 整除时结论显然成立。

应用
首先看一个基本的例子。

令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。

比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。

计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。

与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。

比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。

7和10[[互素]]，且φ(10)=4。

由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。

所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。