(完整版)推理证明与概率统计小题
概率统计题解(全)
第一章随机事件及其概率1．写出下列随机试验的样本空间：（1）10件产品中有4件为次品，从中任取3件，记录3件中的正品数；（2）10件产品中4件为次品，每次从中任取一件（取后不放回），直到将次品全部取出时所取的次数；（3）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子出现的点数之和；（4）掷一颗骰子两次，记录两次出现的点数；（5）袋中有6个球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中依次任取两球，记录两球的编号；（6）射击某一目标，记录到击中目标为止射击的次数；（7）将一根单位长的细棍，任分为两段，记录各段的长度；（8）掷一枚硬币3次，记录“正面”和“反面”出现的情况．解：（1）Ω={0，1，2，3}；（2）Ω={4，5，６，7，8，9，10}；（3）Ω={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}；（4）Ω={（i，j）| i，j=1，2，3，4，5，6}；（5）Ω={（i，j）| i，j=1，2，3，4，5，6，且i≠j}；（6）Ω={1，2，3，…}；（7）Ω={（x，y）|x + y=1，且0<x<1，0<y<1}；（8）Ω={正正正，正正反，正反正，正反反，反正反，反反正，反正正，反反反} 2．若A、B、C为3个事件，试用A、B、C表示下列事件：（1）A、B同时发生，而C不发生；（2）A、B、C都发生；（3）A、B、C都不发生；（4）A、B、C至少有一个发生；（5）A、B、C至少有一个不发生；（6）A、B、C恰有一个发生；（7）A、B、C最多有一个不发生；（8）A、B、C至少有两个发生；（9）A 不发生，且B 、C 至少有一个发生．解：（1）ABC ；（2）ABC ；（3）ABC ；（4）A ∪B ∪C ；（5）ABC 或A ∪B ∪C ；（6）ABC ∪ABC ∪ABC ；（7）ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ；（8）AB ∪AC ∪BC ；（9）A (B ∪C )．3．掷一枚硬币，令A i 表示“第i 次为正面朝上”，i =1，2，3．说明：（1）A 1A 2A 3；（2）1A ∪2A ；（3）321A A A ；（4）A 1∪A 2∪A 3。
概率与统计的推断模拟试题
概率与统计的推断模拟试题一、选择题1. 在某个城市的高中生中，有60%的学生是女孩，40%的学生是男孩。
如果随机选择一个学生，那么他/她是女孩的概率是多少？A. 0.60B. 0.40C. 0.50D.无法确定2. 某商店的销售数据显示，该店的27%的顾客购买了商品A，36%的顾客购买了商品B。
同时购买商品A和商品B的顾客占总顾客数的12%。
如果从该店选择一个顾客，那么他/她至少购买了商品A或商品B的概率是多少？A. 0.51B. 0.63C. 0.75D. 无法确定3. 某市的日平均气温服从正态分布，均值为20°C，标准差为3°C。
如果随机选择一天，气温在15°C到25°C之间的概率是多少？A. 0.1587B. 0.3413C. 0.4772D. 0.68264. 某服装店销售了100件商品，其中70件属于男装，30件属于女装。
如果从中随机选择一件商品，它是男装且瑕疵品的概率是0.20，而女装且瑕疵品的概率是0.30。
如果选择的商品是瑕疵品，那么它是男装的概率是多少？A. 0.2000B. 0.4000C. 0.5000D. 0.70005. 一批产品的尺寸服从正态分布，均值为10cm，标准差为2cm。
如果从中随机选择一个产品，尺寸小于6cm或大于12cm的概率是多少？A. 0.0228B. 0.0455C. 0.1131D. 0.1592二、填空题1. 某校的学生人数为5000人，其中20%是高二学生，30%是高三学生。
从中随机抽取一名学生，他/她不是高二学生也不是高三学生的概率是_______。
2. 一种药物治愈某种疾病的成功率是80%。
如果从接受治疗的20个病人中随机选择一个，他/她没有被成功治愈的概率是_______。
3. 某种食物包装上标注的净重为500g，实际测量发现其重量服从正态分布，均值为502g，标准差为2g。
那么随机抽取一包食物，其重量在500g到502g之间的概率是_______。
2021年高考数学三轮考点总动员 专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法 理(含解析)
2021年高考数学三轮考点总动员专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法理（含解析）1．古典概型计算三注意：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．4．相互独立事件与n次独立重复试验(1)若A 1，A 2，…，A n 是相互独立事件，则P(A 1·A 2·…·A n )＝P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )．(2)如果在一次试验中事件A 发生的概率为p ，事件A 不发生的概率为1－p ，那么在n 次独立重复试 验中事件A 发生k 次的概率为：P n (k)＝C k n p k(1－p)n －k.5．离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本公式：①E(ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＋…；②D(ξ)＝(x 1－E(ξ))2p 1＋(x 2－E(ξ))2p 2＋…＋(x n －E(ξ))2p n ＋…； ③E(a ξ＋b)＝aE(ξ)＋b ，D(a ξ＋b)＝a 2D(ξ)； ④二项分布：ξ～B(n ，p)，则P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k，E(ξ)＝np ，D(ξ)＝np(1－p).6. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．7.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于； 8.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设个数分别为、、、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设个数分别为、、、，则()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；9.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量、无关系； 3）求 ；4）把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.10.综合法与分析法的关系（1）分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．11.算法(1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“＝”．1．将四个数字随机填入右边的方格中﹐每个方格中恰填一个数字﹐且数字可重复使用．则事件“方格的数字大于方格的数字，且方格的数字大于方格的数字”的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【要点回扣】古典概型．2．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是．【答案】【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且，又，，所以；【要点回扣】1．几何概型；2．互斥事件；3．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是☆．【答案】【解析】由已知三角形的面积为，阴影部分的面积为，故某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是【要点回扣】几何概型4．已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（）A． B． C． D．【答案】D【要点回扣】线性回归方程的定义5．在样本频率分布直方图中，样本容量为，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且则中间一组的频数为．【答案】32【解析】设中间一组频数为x，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则另外10组频数为，因为样本容量为160，所以，所以．【要点回扣】频率分布直方图．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．0 1 2 31 3 5 7【答案】25【解析】试题分析：由题可知，区间在［2500，3000）之间出现的频率为，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有；【要点回扣】频率分布直方图的计算7．在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入的值为1，然后输出的值为N，则的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.这是一个循环结构，循环的结果依次为：.最后输出3.所以在区间上随机选取一个数M，则的概率为，选C.【要点回扣】程序框图.8．执行右面的程序框图，若输出结果为，则可输入的实数值的个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为3．【要点回扣】程序框图及对数的运算．9.为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简的结果是A．B． C．D．【答案】A【解析】；；；；；即值具有周期性，周期为3；而；所以输出值为2；则．【要点回扣】程序框图与诱导公式．10．用秦九韶算法求多项式 ,当时,的值为（）A.27B.86C. 262D.78【答案】C【解析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可.，故，当x=3时，。
(完整版)推理证明与概率统计小题
一.推理证明小题（一）命题特点和预测：分析近7年的全国卷1的高考题,7考2，与数列等知识结合考查归纳推理、类比推理合情推理方法,难度有基础题，如14年14题,有压轴题,如17年12题，2018年仍可能考查合情推理与演绎推理知识，若单考合情推理，难度不大，若与其他知识结合，可能为中档题.（二）历年试题比较：年份题目答案2017年(12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4,1，2，4，8，1，2, 4，8，16，…,其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N >100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．110A2014年(14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为。
【解析与点睛】（2017年）【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k kk++++=项和为1(1)1(12)(122)222k kk kS k++⎛⎫=+++++++=--⎪⎝⎭（2014年）【解析】∵丙说:三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说:我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ。
（三)命题专家押题题号试题1。
甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利。
甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞 B。
2019年高考数学全国统一考试概率统计分类详细解析及简易逻辑
数学分类解析一概率统计各地高考题.选择题：1.（安徽理）（10）.设两个正态分布N （#i ，。
；）（0>0）和b ；）（%>0）的密度函数图像如图所示。
则有（A ）A. 旧 v %b\ <a 2B. 丹 <穴2，0 >。
2C. "\>D. "\> 瞄％>2.（福建理）（5）某一批花生种子,2粒发芽的概率是 （B ）16 96 192 256A.--- B. --- C. --- D.---625 625 625 62543.（福建文）（5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为石，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(C)16 48k --- C.---125 1254.（广东理）（3）.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A. 24B. 18C. 16D. 12一年级二年级三年级女生373Xy男生377370Z5.（湖南理）4.设随机变量：服从正态分布N （2,9），若P （<>c+l ）=P （〈<c —1）,则c=（B ）A.lB.2C.3D.46.（江西文）（11）.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C）A.11801B .----2881C.---3601D ，4807. (辽宁理文)(7) . 4张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C )112 3A. — B. — C. — D.—3 2 3 48. (山东理)(7)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3, 18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(B .)(A) — (B ) — (C)---51 68 3069. (山东理)(8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶 图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为(B)(A) 304.6(B) 303.6 (C)302.610.(山东文)9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(B )(D)14082 9115 83 02 63 10 2 4 7(D)301.6分数54321人数2010303010A.n 2面D .----------5C. 38D.-510. (陕西文)(3).某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(C )A. 30B. 25C. 20D. 1511. (重庆理)(5)已知随机变量〈服从正态分布M3, a ),则P(〈＜3)= (D)2(A)-(B) -(C) -(D)-5 4 3 212. (重庆文)(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(D)(A)简单随机抽样法(C)随机数表法(B)抽签法(D)分层抽样法13.（重庆文）（9）从编号为1,2,・“,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的最大号码是6的概率为（B）2 3(C)y(D)y二.填空题：1.（广东文）（11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为［45,55）,[55,65),[65,75),[75,85),［85,95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在［55,75）的人数是13.2.（海南宁夏理文）（16）.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：甲品种:271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352乙品种:284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:①;②•以下任填两个：（1）.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.（2）.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散•（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.（3）.甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm.（4）.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）夕卜，也大致对称，其分布较均匀.3.（湖北文）11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是10.4.（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是0.98.5.（湖南理）15.对有n（nN4）个元素的总体｛1,2,3,…刀｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…,m｝和（m+l>m+2,…,n｝（m是给定的正整数,且2WmWn-2）,再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用坊表示元素i和f同时出现在样本中的4概率，则P|,,=--------；所有PiQWiVjW77）的和等于鱼.m（n—ni）6.（湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：序号⑺分组睡眠时间组中值（G,）频数（人数）频率(Fj)1[4,5) 4.560.122[5,6) 5.5100.203[6,7) 6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为6.42.9.（上海理文）（7）.在平面直角坐标系中，从六个点:A（0,0）、B（2,0）、C（l,l）、D（0,2）、3E（2,2）、F（3,3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是j（结果用分数表示）10.（上海理文）（9）.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、》的取值分别是10.5和10.511.（上海文）8.在平面直角坐标系中，从五个点：A（O,O）,3（2,0）,C（L1）,D（0,2）,4£（2,2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是；（结果用分数表示）.12.（天津文）（11）.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人.13.三.解答题：1.（安徽理）（19）.（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。
专题六 第一讲 概率与统计、推理证明、算法与复数
一、选择题1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：设y 对x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， 因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12， a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝12x ＋88. 答案：C2．(2011·南昌模拟)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲>x 乙B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定 D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定解析：依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2，s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定．答案：A3．(2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.5解析：依题意得，样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4.答案：C4．(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110 B.310 C.35D.910解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P ＝1－P (没有白球)＝1－110＝910.答案：D 二、填空题5．(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3 000×0.2＝600.答案：6006．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．解析：由于Δ＝m 2－4(34m ＋1)<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0.在数轴上表示为，故所求概率为45.答案：457．(2011·江西高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x －＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.2 三、解答题8．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件，甲不在现场时，510件产品中，合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．解：(1)2×2列联表如下.由列联表看出|ac －bd |＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“甲在不在场与产品质量有关”．(2)由2×2列联表中数据，计算K 2＝1 500×(982×17－493×8)21 475×25×510×990≈13.097＞6.635.所以，约有99%的把握认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关系”．9.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如右图所示的统计图，根据统计图回答下列问题： 茎叶图甲 乙 85 6(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．解：(1)甲网站的极差为：73－8＝65；乙网站的极差为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝0.286.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．10．(2011·天津高考)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.1 2 4 95 4 02 183 6 714 2 2 58 55 47 6 46 13 2 07 1。
高考数学总温习——真题试题及解答分类汇编之概率统计统计案例推理与证明
高考数学总温习——真题试题及解答分类汇编 之概率、统计、统计案例、推理与证明一、选择题1．（2021全国新课标Ⅰ文、理）某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例．取得如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。
答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为，种植收入为.建设后经济收入则为2，种植收入则为，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为x 0.6x x 0.3720.74x x ⨯=a 2a 60a 37%2a ⋅4%a ⋅5%2a ⋅30%a ⋅30%2a ⋅故不正确的是A.2．（2021全国新课标Ⅱ文）从2名男同窗和3名女同窗中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同窗的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2．【答案】D【解析】设2名男同窗为，，3名女同窗为，，，从以上5名同窗中任选2人总共有，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同窗的情况共有共，，三种可能则选中的2人都是女同窗的概率为，故选D ．3．（2021全国新课标Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73.答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B.二、填空1．（2021江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．1．【答案】900.60.50.40.31A 2A 1B 2B 3B 12A A 11A B 12A B 13A B 21A B 22A B 23A B 12B B 13B B 23B B 12B B 13B B 23B B 30.310P ==【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数别离为89，89，90，91，91，故平均数为．2．（2021江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．2．【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方式，其中恰好选中2名女生的方式有3种，因此所求概率为．3. （2021上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）4．（2021全国新课标Ⅲ文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大不同．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方式是________．14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大不同，故采取分层抽样法.三、解答题8989909191905++++=3103101．（2021北京文）电影公司随机搜集了电影的有关数据，经分类整理取得下表：（1）从电影公司搜集的电影中随机选取1部，求这部电影是取得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估量这部电影没有取得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将致使不同类型电影的好评率发生转变．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生转变，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得取得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1．【答案】（1）；（2）；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是．第四类电影中取得好评的电影部数是，故所求概率为． （2）设“随机选取1部电影，这部电影没有取得好评”为事件．没有取得好评的电影共有部． 由古典概型概率公式得． （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．2．（2021北京理）设n 为正整数，集合A =．对于集合A 中的任意元素和，记M （）=．（Ⅰ）当n =3时，若，，求M （）和M （）的值；01．01．0025．0814．140503002008005102000+++++=20002550⨯=．5000252000=．B 14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()162808142000P B ==．12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=12(,,,)n x x x α=12(,,,)n y y y β=αβ，111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--(1,1,0)α=(0,1,1)β=,αα,αβ（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且知足：对于B 中的任意元素，当相同时，M （）是奇数；当不同时，M （）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且知足：对于B 中的任意两个不同的元素，M （）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2（共14分）解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M (α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2， M (α，β）= [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）设α=（x 1，x 2，x 3，x 4）∈B ，则M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．所以B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}知足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k =( x 1，x 2，…，x n ）|( x 1，x 2，…，x n ）∈A ，x k =1，x 1=x 2=…=x k –1=0）（k =1，2，…，n )，S n +1={( x 1，x 2，…，x n ）| x 1=x 2=…=x n =0}， 则A =S 1∪S 1∪…∪S n +1．对于S k （k =1，2，…，n –1）中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k （k =1，2 ，…，n –1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．,αβ,αβαβ，,αβαβ，,αβαβ，1212⊆所以B 中元素的个数不超过n +1.取e k =( x 1，x 2，…，x n ）∈S k 且x k +1=…=x n =0（k =1，2，…，n –1）.令B =（e 1，e 2，…，e n –1）∪S n ∪S n +1，则集合B 的元素个数为n +1，且知足条件. 故B 是一个知足条件且元素个数最多的集合．3．（2021江苏）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，若是当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全数排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3．【答案】（1）2，5；（2）时，．【解析】（1）记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，所以，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．（2）对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置取得的排列，所以．为计算，当1，2，…，的排列及其逆序数肯定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．当时，，5n ≥()2222n n n f --=()abc τabc ()123=0τ()132=1τ()213=1τ()231=2τ()312=2τ()321=3τ()301f =()()33122f f ==()()()()433322105f f f f =++=()4n n ≥12n ()01n f =12n ()11n f n =-()12n f +n 1n +1n +()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=因此，时，．4．（2021天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数别离为240，160，160．现采用分层抽样的方式从中抽取７名同窗去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同窗别离用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同窗承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同窗来自同一年级”，求事件M 发生的概率．4．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取3人，2人，2人； （2）①答案观点析；②． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方式从中抽取7名同窗，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取3人，2人，2人．（2）①从抽出的7名同窗中随机抽取2名同窗的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．②由（1），不妨设抽出的7名同窗中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，则从抽出的7名同窗中随机抽取的2名同窗来自同一年级的所有可能结果为，，，，，共5种． 所以，事件发生的概率为．5．（2021全国新课标Ⅰ文）某家庭记录了未利用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和利用了节水龙头50天的日用水量数据，取得频数散布表如下：未利用节水龙头50天的日用水量频数散布表5n ≥()2222n n n f --=5213:2:2{},A B {},A C {},A D {},A E {},A F {},A G {},B C {},B D {},B E {},B F {},B G {},C D {},C E {},C F {},C G {},D E {},D F {},D G {},E F {},E G {},F G A B C D E F G {},A B {},A C {},B C {},D E {},F G M ()521P M =（（2）估量该家庭利用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估量该家庭利用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）5．答案：略解答：（1）（2）由题可知用水量在的频数为，所以可估量在的频数为，故用水量小于的频数为，其概率为. （3）未利用节水龙头时，天中平均每日用水量为：， 一年的平均用水量则为. 利用节水龙头后，天中平均每日用水量为：， 一年的平均用水量则为， ∴一年能节省.6．（2021全国新课标Ⅱ文、理） 下图是某地域2000年至2021年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地域2021年的环境基础设施投资额，成立了与时间变量的两个线性回归模型．按照2000年至2021年的数据（时间变量的值依次为）成立模[0.3,0.4]10[0.3,0.35)530.35m 1513524+++=240.4850P ==5031(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=30.506365184.69m ⨯=5031(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=30.35365127.75m ⨯=3184.69127.7556.94m -=y y t t 1,2,,17型①：；按照2021年至2021年的数据（时间变量的值依次为）成立模型②：． （1）别离利用这两个模型，求该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你以为用哪个模型取得的预测值更靠得住？并说明理由．6．【答案】（1）模型①亿元，模型②亿元；（2）模型②，观点析．【解析】（1）利用模型①，该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．利用模型②，该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．（2）利用模型②取得的预测值更靠得住．理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2021年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2021年的数据成立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的转变趋势．2021年相对2021年的环境基础设施投资额有明显增加，2021年至2021年的数据对应的点位于一条直线的周围，这说明从2021年开始环境基础设施投资额的转变规律呈线性增加趋势，利用2021年至2021年的数据成立的线性模型可以较好地描述2021年以后的环境基础设施投资额的转变趋势，因此利用模型②取得的预测值更靠得住．（ii ）从计算结果看，相对于2021年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①取得的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②取得的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②取得的预测值更靠得住．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由都可得分．7．（2021全国新课标Ⅲ文、理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．按照工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）按照茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高？并说明理由；ˆ30.413.5y t =-+t 1,2,,7ˆ9917.5yt =+226.12565．30.413.5192ˆ26.1y =-+⨯=ˆ9917592565y =+⨯=．．30.413.5y t =-+ˆ99175y t =+．（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）按照（2）中的列联表，可否有99%的把握以为两种生产方式的效率有不同？附：，．7.答案：观点析解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =， ∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据取得80m =，∴列联表为（3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99% 的把握以为两种生产方式的效率有不同.m m m m m 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥。
2021年高考数学三轮考点总动员 专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法 文(含解析)
2021年高考数学三轮考点总动员专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法文（含解析）1．古典概型计算三注意：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．4. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．5.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；6.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设个数分别为、、、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设个数分别为、、、，则()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；7.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量、无关系；3）求 ；4）把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.8.综合法与分析法的关系（1）分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．9.算法(1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“＝”．1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由五个小球随意的取出两个，共有10种情况，其中符合情况（1,2）；（1,6）；（2,4）三种.所以所求概率是.故选D.【要点回扣】1.分类的思想.2.古典概型.2．从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为A． B． C． D．【答案】B【要点回扣】利用古典概型求随机事件的概率.3．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是．【答案】【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且，又，，所以；【要点回扣】1．几何概型；2．互斥事件；4．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x,y），则点P的坐标满足不等式的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】满足不等式组的区域如图内部（含边界），由于直线与垂直，与圆的公共部分如图阴影部分是圆，则点落在圆内的概率为.【要点回扣】1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.5．已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（）A． B． C． D．【答案】D【要点回扣】线性回归方程的定义6．在样本频率分布直方图中，样本容量为，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且则中间一组的频数为．【答案】32【解析】设中间一组频数为x，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则另外10组频数为，因为样本容量为160，所以，所以．【要点回扣】频率分布直方图．7．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图0 1 2 31 3 5 7（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．【答案】25【解析】由题可知，区间在［2500，3000）之间出现的频率为，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有；【要点回扣】频率分布直方图的计算8．执行右边的伪代码后，输出的结果是．【答案】28【解析】试题分析：i=1,x=4;1<10成立，x=6,i=4;4<10成立，x=14,i=7;7<10成立，x=28,i=10;10<10不成立，所以输出的x的值为28；【要点回扣】算法与程序语句；9．执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是 .【答案】【解析】该程序框图的功能是求的值域，当时，；当时，；所以输出的所在区间是.【要点回扣】1.程序框图；2.分段函数的值域.10．定义某种运算，的运算原理如右图：则式子_________.【答案】14【解析】由于，故，，故，故结果是14.【要点回扣】新定义在程序框图的应用.11.正偶数列有一个有趣的现象：①；②；③按照这样的规律，则xx在第个等式中。
概率统计推断专项练习题(经典)
概率统计推断专项练习题(经典)1. 问题描述请考虑以下概率统计问题：在某个国家的某个城市中，每天下午4点到5点之间，人们出行的方式主要分为两种：步行和骑自行车。
假设在一个特定的工作日，该城市的人口中有60%的人选择步行，40%的人选择骑自行车。
我们抽取了该城市的100名居民，记录了他们在这个时间段内的出行方式。
我们想要用这个样本来推断整个城市的人口分布比例。
2. 统计推断问题在这个推断问题中，我们想要估计整个城市的人口分布比例。
为了实现这个目标，我们可以使用置信区间来表示估计的不确定性。
3. 数据收集我们抽取了100名城市居民的样本，记录了他们在下午4点到5点期间的出行方式。
4. 数据分析我们将统计分析样本数据，并使用统计学上置信区间的方法，给出对整个城市人口分布比例的估计。
5. 结果解释基于样本数据，我们得出结论：在下午4点到5点期间，该城市人口中选择步行和骑自行车的比例分别为60%和40%。
同时，我们使用统计学的方法计算了置信区间，用于表示估计的不确定性。
6. 结论根据样本数据和统计分析结果，我们对整个城市的人口分布比例进行了推断。
然而，需要注意的是，我们的推断仅基于样本数据，并带有一定的不确定性。
因此，在做决策时，我们应当综合考虑其他因素，以获得更准确的结论。
7. 可能的进一步研究为了提高推断的准确性，我们可以考虑增加抽样的样本数量，以及在不同的时间和地点进行多次抽样。
这样可以更全面地了解人口的出行方式分布情况。
8. 引用[1] 统计推断的基本方法. (xxxx年x月x日). 在xxx上检索自xxx网址。
[精]高二下理科数学期末复习专题推理证明与统计终稿+答案
![[精]高二下理科数学期末复习专题推理证明与统计终稿+答案](https://img.taocdn.com/s3/m/400f7ef1a5e9856a57126003.png)
17． > <； 20. 7 21
18． b1b2 bn b1b2 b17 n(n 17, n N *) ； 19． n 2 2n 3
．③
22.
1 3 5 7 9， 5
23、解 :(1) 根据所给样本数据可画出 2×2 列联表如下 :
患病
服药 10
未服药
合计
20
30
未患病
45
30
75
合计
55
50
105
(xi x )2
i1
n
xi yi nx y
i1 n
； a? y b?x
xi2 nx 2
i1
回归直线必过样
本点中心 ( x, y) .
(3) 对已知 x 预报 y ---- 带入回归方程即可得 .
2、判断线性相关关系的强弱 : ----- 相关系数 r
n
(xi x )( yi y )
i1
n
n
( xi x )2 ( yi y) 2
5 组数据如下表：
D ．③④
x 10 20 30 40 50 y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得回归方程为
=0.67x+54.9 ，
现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为（
）
A ． 67
B ．68
C ． 69
D． 70
6．若 P= +
， Q=
+
（a≥０），则 P， Q 的大小关系是（
i1
i1
① r>0, 正相关 ; r<0, 负相关；② |r|→ 1,线性相关性越强， |r|→ 0,几乎不存在线性相关关系 .
3、刻画模型的拟合效果 :
(完整版)概率统计难题选解(一)
概率统计难题选解（一）1。
在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点,连接起来又得一弦。
求这两弦相交的概率. 解 设圆周长为1,设圆周上一点坐标位置为0 ，逆时针绕圆一周后坐标位置为1.不妨设第一条弦的一个端点位置为0 ,另一个端点位置为X ，第二条弦的两个端点位置为Y 和Z .X ，Y 和Z 可以看作是3个相互独立的服从]1,0[上均匀分布的随机变量.当且仅当10≤≤≤≤Z X Y 或10≤≤≤≤Y X Z 时,两弦相交。
所以，两弦相交的概率为}10{≤≤≤≤=Z X Y P p }10{≤≤≤≤+Y X Z P⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101010d d d d d d x y z x z y x x x x ⎰⎰-+-=1010d )1(d )1(x x x x x x 31d )(2102=-=⎰x x x 。
2.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌,直至抽出的牌包含了全部四种花色为止.求这时正好抽了n 张牌的概率。
解 设4种花色为A 、B 、C 、D.{P 抽n 次只抽到A n⎪⎭⎫⎝⎛=41} 。
{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂn⎪⎭⎫⎝⎛=42} 。
{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ}{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ{}P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ}nn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=41242414142 .{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃn⎪⎭⎫⎝⎛=43} .{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ}{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃ{}P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ} {P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｃ}{P -抽n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ} {P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ{}P -抽n 次只抽到Ｃ}n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-413412423n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43nn ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-413423 。
条件概率推理练习
条件概率推理练习
本文档将为您提供一些条件概率推理练，帮助您更好地理解和应用条件概率的概念。
练一
假设有一批电子产品，其中有200部手机和300部平板电脑。
这些产品被分为两个仓库，仓库A和仓库B。
根据记录，仓库A 中有150部手机和50部平板电脑，仓库B中有50部手机和250部平板电脑。
现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果我们从仓库A中随机选择一部设备，那么它是手机的概率是多少？
2. 如果我们从仓库B中随机选择一部设备，那么它是平板电脑的概率是多少？
练二
假设有一批学生，其中有60%是女生，40%是男生。
我们还知道，在所有女生中，有30%是年龄小于18岁的，而在所有男生中，有20%是年龄小于18岁的。
现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果我们随机选择一个学生，那么他/她是女生且年龄小于
18岁的概率是多少？
2. 如果我们随机选择一个学生，那么他/她是男生且年龄小于
18岁的概率是多少？
练三
假设某城市的天气有三种状态：晴朗、多云和雨天。
根据历史
数据，我们知道在一年365天中，晴朗的天数占比40%，多云的天
数占比30%，雨天的天数占比30%。
现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果今天是雨天，那么明天是多云天气的概率是多少？
2. 如果今天是晴朗天气，那么明天是雨天的概率是多少？
这些练可以帮助您巩固条件概率的概念和运用，希望能对您有所帮助！。
08专题八 数学文化下概率统计与推理
专题八数学文化下概率统计与逻辑推理1．(2013年新课标理数全国卷1)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样2．(2014年新课标理数全国卷1)．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A．18B．38C．58D．783．(2014年新课标理数全国卷2) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454．(2015年新课标理数全国卷1)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.3125．(2015年新课标理数全国卷2)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6．(2016年新课标理数全国卷1)某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 7．(2016年新课标理数全国卷2)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( )（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn8．(2016年新课标理数全国卷3)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
高三二轮复习之概率统计推理证明
高三二轮复习之概率统计推理证明 第1讲 计数原理、二项式定理考点一 两个原理[核心提炼]分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[例1] (1)(1)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( ) A ．72 B ．120 C ．192D ．240D [将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．故选D.](2)(2018·成都七中下学期三诊)已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．600种C [用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，①当领导丙在位置15②当领导丙在位置2时，不同的排法有C 13 A 44＝72种； ③当领导丙在位置3时，不同的排法有A 22A 33＋A 23A 33＝48种； ④当领导丙在位置4时，不同的排法有A 22A 33＋A 23A 33＝48种； ⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有C 13A 44＝72种；⑥当领导丙在位置6时，不同的排法有A 55＝120种． 由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种． 故选C.][方法归纳]应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．[对点训练]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种C[首先分类计算假如甲赢，比分3∶0是1种情况；比分3∶1共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种情况，就是说前4局2∶2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况．甲一共有1＋3＋6＝10种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有10＋10＝20种情况．故选C.]2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920A[分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．故选A.]考点二排列与组合[核心提炼][例2](1)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析方法1：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种，故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．方法2：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案16(2)(2018·岳阳一中一模)岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有()种()A．24 B．36C．42 D．60D[若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A33＝6种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有C23C23A22A22＝36种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有C13A33＝18种；综上，这3个同学的不同进站方式有60种，故选D.][方法归纳]求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[注]解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．[对点训练]1．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有()A．A23·A22种B．3A22种C．2A33种D．A44·A22D[根据题意，分两步分析：①由于甲、乙两人必须站在一起，将甲、乙两人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A22种情况；②将这个整体与其余3人全排列，有A44种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有A22A44种排法，故选D.]2．(2018·西北师大附中冲刺诊断)第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A ．540B ．300C ．180D ．150D [将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分成1,1,3时，有C 35·A 33种分法；分成2,2,1时，有C 35·C 23A 22 ·A 33种分法，由分类计数原理得，共有C 35·A 33＋C 35·C 23A 22·A 33＝150种不同的分法，故选D.]考点三 二项式定理[核心提炼]1．通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k(k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫做二项式系数．[注意] T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项． 2．各二项式系数之和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.考向1 二项展开式通项的应用[例3] (1)(2018·全国Ⅲ卷)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．80C [⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.故选C.] 考向2 二项式系数的性质及应用[例4] (2018·芜湖5月模拟)已知(1＋2x )n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋2x )n 展开式中常数项为________．解析 ∵(1＋2x )n 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即C 3n 最大，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 3n ＞C 2n C 3n ＞C 4n，解得5＜n ＜7，又n ∈N *，∴n ＝6， 则⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋2x )n 展开式中常数项为C 06＋C 26·22＝61. 答案 61考向3 二项式定理与其它知识的交汇[例5] (2018·山东K12联盟开年迎春考)已知a ＝⎠⎛2－2||x 2－2x d x ，在(1＋x )a (1－y )a 2的展开式中，记x m y n 的系数为f (m ，n )，则f (2,3) ＋f (7,2) ＝( )A ．－64B ．64C ．－160D ．160A [a ＝⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20－2＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝8，所以(1＋x )a ·(1－y )a 2＝(1＋x )8(1－y )4，由已知有f (2,3)指x 2y 2的系数，f (7,2)指x 7y 2的系数，所以f (2,3)＋f (7,2)＝C 28(－C 34)＋C 78C 24＝－64，故选A.][方法归纳]与二项式定理有关问题的求解策略 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值法”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．[对点训练]1．(2018·达州四模)二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1x x 8展开式中，有理项项数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．9B [由题可得：通项为C r 8x 8－52r ，要为有理项，则8－52r 为整数，故r 可取0,2,4,6,8故有5项有理数，故选B.]2. (1＋x )(1－x )5的展开式中x 4的系数是( ) A ．－35 B ．－5 C ．5D ．35B [(1－x )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝(－1)r ·C r 5x r ，所以(1－x )5展开式中x 4的系数是(－1)4C 45＝5，x 3项的系数是(－1)3C 35＝－10，所以(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4项的系数是1×5＋1×(－10)＝－5，故选B.]3．(2018·洛阳三模)若(1－2018x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017 (x ∈R )，则a 12018＋a 22018＋…＋a 201720182017( )A ．20182017B ．1C ．0D ．－1D [根据(1－2018x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R )， 令x ＝0，可得a 0＝1.再令x ＝12018，可得1＋a 12018＋a 22018＋…＋a 201720182017＝0，故a 12018＋a 22018＋…＋a 201720182017＝－1，故选D.]课时作业(十八)1．已知二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12ax 9的展开式中x 3的系数为－212，则⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋a x d x 的值为( ) A.e 2＋12B.e 2－32C.e 2＋32D.e 2－52B [二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12ax 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎫12ax r ＝⎝⎛⎭⎫12a r C r 9x 9－2r ， 令r ＝3可得x 3的系数为⎝⎛⎭⎫12a 3·C 39＝212a 3. 由题意得212a 3＝－212，解得a ＝－1.所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫x ＋a x d x ＝⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x e1＝e 2－32.故选B.] 2．(2018·绍兴5月质检)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A ．7B ．5C ．4D ．3A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n ＝20，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 20(3x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝(3)20－r C r20x 20－23r ，展开式的有理项满足：20－23r ＝k (k ∈Z )，则r MOD3＝0(0≤r ≤20，r ∈Z )，据此可得：r 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18.共有7个．故选A.]3．(2018·上饶三模)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( )A. 2 B ．2 C ．±2D ．±2C [(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项是由⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5的展开式中常数项与(x 2＋2)的二次项，由⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5的展开式中二次项与(x 2＋2)的常数项所组成的． ∵⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5的展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－mx )r ＝(－m )r C r 5x 3r －10， 令3r －10＝0，解得r ＝103，不合题意，应舍去；令3r －10＝2，解得r ＝4，∴(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－mx 5的展开式中x 2项的系数为2·(－m )4C 45＝40，即m 4＝4， 解得m ＝±2.故选C.]4．(2018·孝义一模)设(1－2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 3＋a 4＝0，则a 5＝( ) A ．－32 B ．64 C ．－128D ．256A [由题得二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r n (－2x )r ＝C r n (－2)r x r ，∵a 3＋a 4＝0，∴C 3n (－2)3＋C 4n (－2)4＝0.∴n ＝5.∴a 5＝C 55(－2)5＝－32.故选A.]5．(2018·潍坊二模)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种A [当“数”排在第一节时有A 22·A 44＝48排法，当“数”排在第二节时有A 13·A 22·A 33＝36种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A 22·A 33＝12种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A 12·A 22·A 33＝24种排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120种排法，故选A.]6．(2018·莆田质检二)若⎝⎛⎭⎪⎫x －23x n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160B [根据二项式系数和的性质，可知2n＝32，解得n ＝5，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －23x n的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝⎛⎭⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 5x 5－r 2－r 3，令5－r 2－r3＝0，解得r ＝3，所以其展开式的常数项为(－2)3C 35＝－80，故选B.]7．(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中等于30的概率是( )A.112 B.114 C.115D.118C [不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115.故选C.]8．(2018·钦州质检三)二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式前三项系数成等差数列，则n ＝( )A ．6B ．8C ．7D ．9B [展开式的通项为T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12rC r nxn －32r 其前三项的系数分别是1，n 2，14C 2n ，据已知得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8，故选B.]9．(2018·大同、阳泉质监二)若二项式(3－x )n (x ∈N * )中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋ab的最小值为( )A ．2 B.52 C.136D.92 B [令x ＝1，可得二项式(3－x )n (n ∈N *)中所有项的系数之和为a ＝2n ，令x ＝－1，可得(3－x )n的所有项的系数的绝对值之和为b ＝4n，则b a ＋a b ＝4n 2n ＋2n 4n ＝2n ＋12n 故当n ＝1时，ba＋a b 取得最小值52，故选B.] 10．(2018·重庆三诊)山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( )A ．12B ．24C ．36D ．48B [因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4种，所以一共有4A 33＝24，故选B.]11．(2018·龙岩4月质检)已知二项式⎝⎛⎭⎫1＋1x －2x 4，则展开式的常数项为( ) A ．－1 B ．1 C ．－47D ．49B [二项式⎝⎛⎭⎫1＋1x －2x 4＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1x －2x 4 ＝1＋4⎝⎛⎭⎫1x －2x ＋6⎝⎛⎭⎫1x －2x 2＋4⎝⎛⎭⎫1x －2x 3＋⎝⎛⎭⎫1x －2x 4 ∴二项式中的常数项产生在1,6⎝⎛⎭⎫1x －2x 2，⎝⎛⎭⎫1x －2x 4中， 分别是1,6×2[1x·(－2x )]，C 24·⎝⎛⎭⎫1x 2·(－2x )2， 它们的和为1－24＋24＝1，故选B.]12．(2018·衡水金卷)已知曲线y ＝x 3－3x 和直线y ＝x 所围成图形的面积是m ，则(y ＋x ＋m )5的展开式中x 3项的系数为( )A ．480B ．160C ．1280D ．640D [由题意得到两曲线围成的面积为2∫20(4x －x 3)d x ＝22x 2－14x 4|02＝8(y ＋x ＋m )5＝(x ＋y ＋8)5⇒C 3582＝640.故选D.]13．(2018·天津河东区二模)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)解析 根据题意，分2步完成：①将三名女生全排列，有A 33＝6种顺序，②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这三个空位中任选2个，安排2名男生，有A 23＝6种情况，则有6×6＝36种符合题意的排序方式． 答案 3614．(2018·益阳5月统考)现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为________．解析 若选取的三本书没有数学杂志，有1种选法； 若选取的三本书有1本数学杂志，有C 15＝5种选法； 若选取的三本书有2本数学杂志，有C 25＝10种选法； 若选取的三本书有1本数学杂志，有C 35＝10种选法； 故不同选法的种数为26 答案 2615．(2018·南昌三模)已知(x ＋2)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6，则a 3＝________.解析 ∵(x ＋2)6＝[1＋(x ＋1)]6＝C 06·(x ＋1)0＋C 16·(x ＋1)＋…＋C 66·(x ＋1)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6，∴a 3＝C 36＝20.答案 2016．2018年6月份上合峰会在青岛召开，面向高校招募志愿者，中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名．若将这8名同学分成甲乙两个小组，每组4名同学，其中大一的两名同学必须分到同一组，则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有________种．解析 根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为C 23＝3种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为C 12·C 12＝4种，故有3×4＝12种；第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为C 13＝3种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为C 12·C 12＝4种，这时共有3×4＝12种；根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的分组方式．答案 24第2讲 概率、随机变量及其分布列 考点一 古典概型与几何概型[核心提炼]1．古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 所包含的基本事件数基本事件总数[说明] 求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组合的相关知识 2．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[例1] (1)(2018·湘潭四模)食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( )A.13B.23C.310D.710C [已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，基本事件总数n ＝C 25＝10，∴它们相克的概率为p ＝310.故选C.](2)(2018·全国Ⅰ卷)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3A [∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC .∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总.∴p 1＝p 2.故选A.] [方法归纳]1．古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识；(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及其关键(1)适用条件：当构成试验的结果区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)关键：寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[对点训练]1．(2018·南昌二模)在《周易》中，长横“_”表示阳爻，两个短横“_ _”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是( )A.18B.14C.38D.12C [在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n ＝23＝8，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m ＝3，∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p ＝m n ＝38.故选C.]2．(2018·景德镇一中等盟校二联)下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD 的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点，有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为( )A.25m 4nB.4m nC.4m 25nD.25m nD [∵小正方形边长为2，所以圆半径为1，圆面积为π，又∵大正方形的棱长为5，所以正方形面积为25，∴由几何概型概率公式可得π25≈m n ，π≈25mn，故选D.]考点二 相互独立事件与独立重复试验[核心提炼]1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率： P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B )．3．独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p 2(1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . [例2] (1)(2018·上饶三模)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )A ．0.48B ．0.4C ．0.32D ．0.24D [由题得P ＝0.8·0.6·(1－0.5)＝0.24.故该选手只闯过前两关的概率为0.24.故选D.] (2)在一次实验中，同时抛掷 枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是 ( )A ．3B ．4C ．1D.1516A [抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为C 34⎝⎛⎫124＝14，因为ξ～B ⎝⎛⎭⎫16，14，所以ξ的方差是16×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝3，故选A.] [例3] 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解析 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以，随机变量X 的分布列为(2)设Y 的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.[方法归纳]求相互独立事件和独立重复试验概率的策略(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(4)牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义． [对点训练]1．(2018·湘潭四模)若X ～B ⎝⎛⎭⎫5，15，则( ) A ．E (X )＝1且D (X )＝45B ．E (X )＝15且D (X )＝1C ．E (X )＝1且D (X )＝15D ．E (X )＝45且D (X )＝1A [根据二项分布的期望与方差的公式，即可得E (X )＝np ＝5×15＝1，D (X )＝npq ＝5×15×⎝⎛⎭⎫1－15＝45，故选A.] 2．现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率． 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰好有i 人去参加甲项目联欢”为事件Ai (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ·⎝⎛⎭⎫234－i .(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.考点三 离散型随机变量的分布列、期望与方差[核心提炼]1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为实数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为实数)． 2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[例4] (2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一相产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求E (X )；②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2·(1－p )18.因类f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1. 当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )＞0； 当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )＜0. 所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.①令Y 表示余下的180件产品中不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .所以E (X )＝E (40＋25Y )＝40＋25E (Y )＝490. ②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元． 由于E (X )＞400，故应该对余下的产品作检验．[方法归纳]求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量从二项分布，则可直接使用公式求解．[对点训练]1．(2018·洛阳三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望．解 (1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P ＝C 14C 22C 36·C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫13＋C 24C 12C 36C 13⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 34C 36C 03·⎝⎛⎭⎫133＝31135. (2)m 的所有取值有1,2,3.p (m ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (m ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (m ＝3)＝C 34C 36＝15，故E (m )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可知n ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 故E (n )＝3×23＝2.而X ＝15m ＋10n ，所以E (X )＝15E (m )＋10E (n )＝50.课时作业(十九)1．(2018·西北师大附中冲刺诊断)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为( )A.14 B.13 C.12D.23C [在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上，由0≤sin x ≤1得0≤x ≤π2，所以P ＝π2－0π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝12.故选C.] 2．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)＜P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.故选B.]3．(2018·烟台一模)在区间[－6,7]内任取一实数m ，f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点的概率为( )A.213B.413C.713D.913D [∵函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图像与x 轴有公共点， ∴Δ＝m 2＋4m ≥0，解得m ≤－4或m ≥0. 由几何概型概率公式可得所求概率为P ＝－4－(－6)＋(7－0)7－(－6)＝913.故选D.]4．(2018·皖江八校八联)2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆．全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )A.411 B.712 C.511D.1112C [如图，时间轴点所示，概率为P ＝55121＝511故选C.]5．(2018·昆明5月适应性检测)一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12.若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域的概率为( )A.38B.34C.37D.67C [设一个“”的 面积为1，在一个显示数字8的显示池中，有7个“”， 故深色区域面积为7，因为点A 落在深色区域内的概率为12，设矩形的面积为S ，所以7S ＝12，∴S ＝14.在一个显示数字0的显示池中有6个“”， 故深色区域面积为6，所以若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域的概率为614＝37.故选C.] 6．(2018·重庆市綦江区5月预测调研)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ，在区间(0,1)上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“ f (x )·f (y )≤e ”的概率，p 2为事件“g (x )＋g (y )≤－ln 2”的概率，则( )。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一.推理证明小题（一）命题特点和预测：分析近7年的全国卷1的高考题，7考2，与数列等知识结合考查归纳推理、类比推理合情推理方法，难度有基础题，如14年14题，有压轴题，如17年12题，2018年仍可能考查合情推理与演绎推理知识，若单考合情推理，难度不大，若与其他知识结合，可能为中档题. （二）历年试题比较： 年份 题目答案 2017年（12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2， 4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110A2014年（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .【解析与点睛】（2017年）【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭（2014年）【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.（三）命题专家押题题号试题1. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺2. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（）中国古代的算筹数码A. B. C. D.3 魔术师用来表演的六枚硬币中，有 5 枚是真币， 1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知和共重 10 克，共重 11 克，共重16 克，则可推断魔术币为( )A. B. C. D.4 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（ ）年A. 丙酉B. 戊申C. 己申D. 己酉5在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则1214S S =.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则12V V ＝________.6《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（ ）A.B. C. D.7如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点()1,0处标1，点()1,1-处标2，点()0,1-处标3，点()1,1--处标4，点()1,0-处标5，点()1,1-处标6，点()0,1处标7，以此类推，则标签22017的格点的坐标为（ ）A. ()2017,2016B. ()2016,2015C. ()1009,1008D. ()1008,10078下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是 ①“数轴上两点间距离公式为，平面上两点间距离公式为”，类比推出“空间内两点间的距离公式为“；②“代数运算中的完全平方公式”类比推出“向量中的运算仍成立“；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立； ④“圆上点处的切线方程为”，类比推出“椭圆上点处的切线方程为”.A. 1B. 2C. 3D. 49设()()22x f x e x x =+，令()()1'f x f x =， ()()'1n n f x f x +=，若()()2x n n n n f x e A x B x C =++，则数列1n C ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，当112018n S -≤时， n 的最小整数值为（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 202010将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11B. 10C. 9D. 8【详细解析】1.【答案】A【解析】因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.2.【答案】C【解析】由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.3.【答案】C4.【答案】D【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故选：D5.【答案】1 27【解析】由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体P－ABC的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球的球心，则AE＝a，PE＝a.设OA＝R，OE＝r，则r＝a－R，又在Rt△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝2＋2，∴R＝a，r＝a，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是31，故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于127，即＝.6.【答案】C【解析】由条件可得，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h ，则所得截面,所以，由祖庚原理可得，又，所以，故选：C7.【答案】C【解析】由图形规律可知，由0（记为第0圈）开始，第n 圈的正方形右上角标签为()2211n +-，坐标为(),n n ，所以标签为22017的数字是标签为220171-的右边一格，标签为220171-的坐标为()1008,1008，所以标签为22017的为()1009,1008，故选C 。
8.【答案】C9.【答案】A 【解析】由题意得()()()()22122242x x x f x x e x x e x x e =+++=++， ()()()()222244266x x x f x x e x x e x x e =++++=++， ()()()()2232666812x x x f x x e x x e x x e =++++=++，……由此可得1232,6,12C C C ===， 故可归纳得()1n C n n =+， ∴()111111n C n n n n ==-++， ∴1111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题意得11112018n S n -=≤+，解得2017n ≥．∴n 的最小整数值为2017．选A ． 10.【答案】 B二.概率与统计小题（一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现，7年6考，每年1题，主要考查抽样方法、互斥事件的和概率公式、相互独立事件的积概率公式、古典概型、几何概型，难度为容易题，2018年高考仍将有1个小题，仍重点考查抽样方法、互斥时间的和概率公式、相互独立事件的积概率公式、几何概型，难度为容易题．（二）历年试题比较： 年份 题目答案 2017年(2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4B2016年（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 B2015年 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。