辽宁省沈阳市高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教B版选修44
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
zz
球 坐 标 系 的 概 念
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这 条曲线上，那么方程就叫这 条曲线的参数方程，联系变 数x,y 的变数t叫做参数，相对 于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系的方程叫做 普通方程
参 数 方 程 和 化普 通 方 程 的 互
• 可以通过消去参数而从参 数方程得到普通方程。
• 如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变 数与参数的关系，那么就 得到曲线的参数方程
伸 • 设点 Px, y 是平面直角
缩
坐标系中的任意一点，在变
变 换 的 定
换
:
x y
x, y,
0 0
Px, y
的作P用x下, y， 点 对应到
点
，称 为平面直
义
角坐标系中的坐标伸缩变换，
简称伸缩变换
极
• 在自坐平极面点O内引取一一条个射定线点OOX，，叫叫做做极极点； 轴标；再选定一个长度单位、一个角 度（系单 通位常（取通逆常时取针弧方度向））及，其这正 样方 就建向
之间建立了一种对应关系，
球 坐 标 系
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间
极坐标系），有序数组(r,, )叫做点P的球坐标， 记作P(r,, ),其中r 0,0 ,0 2
球坐标系
P(r,, )
化互的标坐角直与标坐球
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(r,, )
之间的变换公式为
• 摆线
• 渐开线
将一个圆轴固定在一个
渐
平面上，轴上缠线，拉
开 线
紧一个线头，让该线绕 圆轴运动且始终与圆轴 相切，那么线上一个定
点在该平面上的轨迹就
是渐开线。
直线渐在圆开上线纯滚动时，直线
上一点K的轨迹称为该圆的 渐开线，该圆称为渐开线的 基圆，直线称为渐开线的发 生线。 渐开线的形状仅取决
于基圆的大小，基圆越小， 渐开线越弯曲；基圆越大， 渐开线越平直；基圆为无穷 大时，渐开线为斜直线。
立了一个极坐标系。
• 设M极是平坐面标内一点，极点O与
点M的距离 OM叫做点M的
极径，记为 ；以极轴OX为
始边,射线OM为终边的角
XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 ,对 叫做
点M的极坐标，记做 ,
M
。一般地，不作特
殊说明时，我 们0认为 ，
可取任意实数。
• 建标立极坐坐极标系后，给定
和 ，就可以在平面内
用作与位地
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地位与作用
• 是解析几何与函数、 三角函数、向 量
等内容的综合应用
• 是高中数学课程选修系列
内4—4的第四个专题，包括 容“坐标系”和“参数方程”
两部分内容。
内容
• 第一讲 坐标系 • 一、平面直角坐标系 • 二、极坐标系 • 三、简单曲线的极坐标方程 • 四、柱坐标系与球坐标系简介
内 • 第二讲 参数方程
• 一、曲线的参数方程
容 • 二、圆锥曲线的参数方程
• 三、直线的参数方程 • 四、渐开线与摆线
坐标系的作用
• 坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，使 几何问题代数化成为可能，它是实现几何图 形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画 几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。
坐标系的多样性
• 在不同的坐标系中，同 一个几何图形可以有不 同的表现形式，这使解 决问题的方法有了更多 的选择。
平面直角坐标系
• 教材从一个思考题出发，复习了 建立平面直角坐标系解决实际问 题的方法，并进一步提出思考:这 种方法与用直角坐标刻画点P的位 置有什么区别和联系?你认为哪种 方法更方便?为引入极坐标系埋下 了伏笔。
程方线开渐
渐开线方程为： x=r×cosθ+θ×r×sinθ y=r×sinθ-θ×r×cosθ
式中，r为基圆半径；θ为 展角，其单位为弧度
法画线开渐
摆线
• 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基 线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。
• 当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
• 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时， 就得到内摆线或变幅内摆线。
x r sin cos {y r sin sin
z r cos
曲 线 的 参 数 方 程
• 参数方程是曲线的另一种表现形式，
• 它弥补了普通方程表示曲线的不足，
• 极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供 了工具。
参数方程的概念 • 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 都是x,某y 个变数t的函数 ，
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有
序数组(, , z)叫做P的柱坐标，记作P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱坐标系
P(,, z)
z
o
y
x
x
Q
化互的标坐角直与标坐柱
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(, , z)
之间的变换公式为
x cos {y sin
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时， 若两圆外切，就得到外摆线或变幅外 摆线
• 当一个圆沿着一条定直线无滑动地
摆 滚动时，圆周上一个定点P的轨迹 线 叫做平摆线，又叫旋轮线。
P A
O
B
sin( ) 0 sin(0 )
重点 —— 过极点的直线
念 概 的 系 标 坐 柱 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,用(, ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组(, , z)(z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 (, , z)之间的一种对应关系。
参
• •
求直数方程常线用的曲参线数的方参程数方程
• 圆的锥曲线的参数方程
• 渐应开线与摆线
用
圆锥曲线的参数方程
• 椭圆的参数方程 • 双曲线的参数方程 • 抛物线的参数方程
直线的参数方程
• 经过点
，倾斜
角为 的直线的参数方
程M是 x0ຫໍສະໝຸດ Baidu, y0
x
y
x0 y0
t cos t sin
参数方程曲线欣赏
化 互 的 标• 设坐M是角平直面内和任标意一坐点极，它
的直角坐标是 x, y ，极坐标
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x cos
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲
线C上任意一点f 的,极 坐0标中至少有一个
满足方程
f ，,并 且0 坐标适合
方程
的点都在曲线C上f ，,那 0
么方程
叫做曲线C的极坐标方程。
程方标坐极的圆 r
• 圆心在极点的圆的极坐标方 程为
• 圆心不在极点，但经asi过n 极 点
的圆的极坐标a方程是
其中 是非零数， 是常数
直线的极坐标方程
a cos b sin c 0
•
其为 a,b, c 常数
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
找到它的极坐标 , 。
• 请注意：这里没有强调一 一对应！
,
不
, 2k k Z
惟 • 一般地，极坐标
与
表示同一个点。特别地，0,极 点 OR的
一坐标为
和直角坐标不同，
性平面内一个点的极坐标 有无数种
表示
“惟一性” • 如果规定 0 ，0 2 那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的
球 坐 标 系 的 概 念
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这 条曲线上，那么方程就叫这 条曲线的参数方程，联系变 数x,y 的变数t叫做参数，相对 于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系的方程叫做 普通方程
参 数 方 程 和 化普 通 方 程 的 互
• 可以通过消去参数而从参 数方程得到普通方程。
• 如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变 数与参数的关系，那么就 得到曲线的参数方程
伸 • 设点 Px, y 是平面直角
缩
坐标系中的任意一点，在变
变 换 的 定
换
:
x y
x, y,
0 0
Px, y
的作P用x下, y， 点 对应到
点
，称 为平面直
义
角坐标系中的坐标伸缩变换，
简称伸缩变换
极
• 在自坐平极面点O内引取一一条个射定线点OOX，，叫叫做做极极点； 轴标；再选定一个长度单位、一个角 度（系单 通位常（取通逆常时取针弧方度向））及，其这正 样方 就建向
之间建立了一种对应关系，
球 坐 标 系
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间
极坐标系），有序数组(r,, )叫做点P的球坐标， 记作P(r,, ),其中r 0,0 ,0 2
球坐标系
P(r,, )
化互的标坐角直与标坐球
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(r,, )
之间的变换公式为
• 摆线
• 渐开线
将一个圆轴固定在一个
渐
平面上，轴上缠线，拉
开 线
紧一个线头，让该线绕 圆轴运动且始终与圆轴 相切，那么线上一个定
点在该平面上的轨迹就
是渐开线。
直线渐在圆开上线纯滚动时，直线
上一点K的轨迹称为该圆的 渐开线，该圆称为渐开线的 基圆，直线称为渐开线的发 生线。 渐开线的形状仅取决
于基圆的大小，基圆越小， 渐开线越弯曲；基圆越大， 渐开线越平直；基圆为无穷 大时，渐开线为斜直线。
立了一个极坐标系。
• 设M极是平坐面标内一点，极点O与
点M的距离 OM叫做点M的
极径，记为 ；以极轴OX为
始边,射线OM为终边的角
XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 ,对 叫做
点M的极坐标，记做 ,
M
。一般地，不作特
殊说明时，我 们0认为 ，
可取任意实数。
• 建标立极坐坐极标系后，给定
和 ，就可以在平面内
用作与位地
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地位与作用
• 是解析几何与函数、 三角函数、向 量
等内容的综合应用
• 是高中数学课程选修系列
内4—4的第四个专题，包括 容“坐标系”和“参数方程”
两部分内容。
内容
• 第一讲 坐标系 • 一、平面直角坐标系 • 二、极坐标系 • 三、简单曲线的极坐标方程 • 四、柱坐标系与球坐标系简介
内 • 第二讲 参数方程
• 一、曲线的参数方程
容 • 二、圆锥曲线的参数方程
• 三、直线的参数方程 • 四、渐开线与摆线
坐标系的作用
• 坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，使 几何问题代数化成为可能，它是实现几何图 形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画 几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。
坐标系的多样性
• 在不同的坐标系中，同 一个几何图形可以有不 同的表现形式，这使解 决问题的方法有了更多 的选择。
平面直角坐标系
• 教材从一个思考题出发，复习了 建立平面直角坐标系解决实际问 题的方法，并进一步提出思考:这 种方法与用直角坐标刻画点P的位 置有什么区别和联系?你认为哪种 方法更方便?为引入极坐标系埋下 了伏笔。
程方线开渐
渐开线方程为： x=r×cosθ+θ×r×sinθ y=r×sinθ-θ×r×cosθ
式中，r为基圆半径；θ为 展角，其单位为弧度
法画线开渐
摆线
• 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基 线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。
• 当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
• 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时， 就得到内摆线或变幅内摆线。
x r sin cos {y r sin sin
z r cos
曲 线 的 参 数 方 程
• 参数方程是曲线的另一种表现形式，
• 它弥补了普通方程表示曲线的不足，
• 极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供 了工具。
参数方程的概念 • 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 都是x,某y 个变数t的函数 ，
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有
序数组(, , z)叫做P的柱坐标，记作P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱坐标系
P(,, z)
z
o
y
x
x
Q
化互的标坐角直与标坐柱
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(, , z)
之间的变换公式为
x cos {y sin
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时， 若两圆外切，就得到外摆线或变幅外 摆线
• 当一个圆沿着一条定直线无滑动地
摆 滚动时，圆周上一个定点P的轨迹 线 叫做平摆线，又叫旋轮线。
P A
O
B
sin( ) 0 sin(0 )
重点 —— 过极点的直线
念 概 的 系 标 坐 柱 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,用(, ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组(, , z)(z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 (, , z)之间的一种对应关系。
参
• •
求直数方程常线用的曲参线数的方参程数方程
• 圆的锥曲线的参数方程
• 渐应开线与摆线
用
圆锥曲线的参数方程
• 椭圆的参数方程 • 双曲线的参数方程 • 抛物线的参数方程
直线的参数方程
• 经过点
，倾斜
角为 的直线的参数方
程M是 x0ຫໍສະໝຸດ Baidu, y0
x
y
x0 y0
t cos t sin
参数方程曲线欣赏
化 互 的 标• 设坐M是角平直面内和任标意一坐点极，它
的直角坐标是 x, y ，极坐标
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x cos
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲
线C上任意一点f 的,极 坐0标中至少有一个
满足方程
f ，,并 且0 坐标适合
方程
的点都在曲线C上f ，,那 0
么方程
叫做曲线C的极坐标方程。
程方标坐极的圆 r
• 圆心在极点的圆的极坐标方 程为
• 圆心不在极点，但经asi过n 极 点
的圆的极坐标a方程是
其中 是非零数， 是常数
直线的极坐标方程
a cos b sin c 0
•
其为 a,b, c 常数
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
找到它的极坐标 , 。
• 请注意：这里没有强调一 一对应！
,
不
, 2k k Z
惟 • 一般地，极坐标
与
表示同一个点。特别地，0,极 点 OR的
一坐标为
和直角坐标不同，
性平面内一个点的极坐标 有无数种
表示
“惟一性” • 如果规定 0 ，0 2 那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的