浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期期末数学试题精品解析

嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测高三数学满分150分，时间120分钟.一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|lg(1)}A x y x ==-，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|13}x x -<<B. 3|}1{x x ≤<C. {|23}x x <<D. {|13}x x <<2. 已知数列{}n a 满足13(N )n n a a n *+=∈，且12a =，则123n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 31n -B. 3nC. 131n --D. 13n -3. 已知,R x y ∈，则“||0x y +>”是“0x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.5. 设,l m 是两条不同直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若//l α，m α⊂，则//l mB. 若//l α，//m α，则//l mC. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥D. 若l α⊥，//l m ，则m α⊥6. 已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 3C. 4D. 57. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是（ ）A.π4+B.π42+ C. π2+D.π22+ 8. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A. 576B. 432C. 388D. 2169. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 是其右支上第一象限内的一点，直线2,PO PF 分别交该双曲线左､右支于另两点,A B ，若12|2|PF PF =，且260AF B ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C.3D.10. 对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ） A. (0,e]B. 2(0,e ]C. 2[,e]eD. 22[,e ]e二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______；z =______. 12. 已知抛物线2(0)y mx m =≠焦点为F ，准线方程为2x =-，点0(,4)P x 是抛物线上的一点，则实数m =___________，||PF =___________.13. 已知△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4c =，π3A =，且△ABC，则b =___________；cos C ___________.14. 已知5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；135a a a ++=___________.15. 已知平面向量a 与b 的夹角为120︒，b 在a 上的投影是1-，且满足(2)(3)a b a b +⊥-，则|2|a b +=___________.16. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为34，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为X 元，则甲所获奖金总额的方差()D X =___________.17. 如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.的三､解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()2cos sin()(R)3f x x x x π=-∈.（1）求5()12f π的值； （2）求函数()y f x =的单调递增区间.19. 如图，四棱锥-P ABCD 中，△PAD 为正三角形，//AB CD ，122AD DC AB ===，BC =，3PC =.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求AB 与平面PAD 所成角的正弦值. 20. 已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 21. 已知中心在坐标原点椭圆C ，其焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F，点2(,33P -为椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(6,4)Q -的直线1l 与x 轴交于点(,0)T t ，由点(,0)T t 引另一直线2l 交椭圆C 于,A B 两点.是否存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. 22. 已知函数()(1)ln f x m x =+，2()g x mx x =+，m R ∈. （1）当0m =时，曲线()()()()1ax f x a R g x φ=+-∈在2x =处切线与直线210x y +-=平行，求函数()y x φ=在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最大值(e 为自然对数的底数)；（2）当1m =时，已知0a b <<，证明：()()4()()f a f b aa b g a g b a b->-+--嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测高三数学满分150分，时间120分钟.一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|lg(1)}A x y x ==-，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|13}x x -<<B. 3|}1{x x ≤<C. {|23}x x <<D. {|13}x x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义域求解集合{|1}A x x =>，然后利用交集的定义计算A B详解】{|lg(1)}{|1}A x y x x x ==-=>，则A B ={|13}x x <<故选：D.的.2. 已知数列{}n a 满足13(N )n n a a n *+=∈，且12a =，则123n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 31n -B. 3nC. 131n --D. 13n -【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式算出答案即可.【详解】由13(N )n n a a n *+=∈可得数列{}n a 为等比数列所以()1232133113n n n a a a a -+++⋅⋅⋅+==--故选：A3. 已知,R x y ∈，则“||0x y +>”是“0x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件定义判断即可.【详解】当1x =-时满足||0x y +>，但不满足0x >，所以由||0x y +>推不出0x > 由0x >可以推出||0x y +>所以“||0x y +>”是“0x >”的必要而不充分条件 故选：B4. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A.B.C.的D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//l α，m α⊂，则//l m B. 若//l α，//m α，则//l m C. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D. 若l α⊥，//l m ，则m α⊥ 【答案】D 【解析】 分析】根据线面平行的性质，可判断AB 选项；根据线面垂直的性质及判定定理，可判断CD 选项. 【详解】已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，A 选项，若//l α，m α⊂，则l 与m 可能异面或平行，故A 错；B 选项，若//l α，//m α，则l 与m 可能异面、平行或相交，故B 错；C 选项，若l m ⊥，m α⊂，则l 与α可能平行、相交或线在面内，故C 错；D 选项，若l α⊥，则l 垂直平面α内的任意一条直线；又//l m ，则m 也垂直平面α内的任意一条直线，所以m α⊥，故D 正确. 故选： D.6. 已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ， 所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；的（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是（ ）A.π4+B.π42+ C. π2+ D.π22+ 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成，利用圆柱和棱柱的体积公式代入计算即可．【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成 则则该几何体的体积是21112222422V ππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+ 故选：A8. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A. 576 B. 432C. 388D. 216【答案】B 【解析】 【分析】先选2个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.【详解】由题意，先选2个女生捆绑看做一个整体：236A =，然后将男生全排列再将女生插空：323461272A A ⋅=⨯=，所以不同的排法有672=432⨯种. 故选：B.9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 是其右支上第一象限内的一点，直线2,PO PF 分别交该双曲线左､右支于另两点,A B ，若12|2|PF PF =，且260AF B ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C.3D.【答案】A 【解析】 【分析】利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12PF AF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率.详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =. 连接1AF 、2AF ，根据双曲线的对称性可得12PF AF 为平行四边形，260B AF ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，ce a∴== 故选：A.【点晴】方法点睛：（1）当双曲线当中出现双曲线上一点到两焦点的距离时，多数情况下要结合定义；（2）当双曲线中出现双曲线上一点与原点连线且延长交双曲线于另一点时，此时这两点与双曲线的焦点会构成平行四边形；（3）求双曲线离心率的方法常有：一、通过构造,,a b c 的关系求；二、通过构造222,,a b c 的等量关系求.10. 对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ） A. (0,e] B. 2(0,e ]C. 2[,e]eD. 22[,e ]e【答案】B 【解析】 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围．【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)，则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______；z =______.【答案】 (1). 1i + (2).【解析】 【分析】由复数除法计算出z ，可得其共轭复数，再由模的计算公式计算模．【详解】由已知22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，∴1z i =+，z ==故答案为：1i -．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数和模的概念，属于基础题．12. 已知抛物线2(0)y mx m =≠的焦点为F ，准线方程为2x =-，点0(,4)P x 是抛物线上的一点，则实数m =___________，||PF =___________.【答案】 (1). 8 (2). 4 【解析】 【分析】由准线方程可求得4p =，即可求出m ，将0(,4)P x 代入抛物线方程可求得02x =，再利用焦半径公式即可求出||PF 【详解】准线方程为2x =-，22p∴=，即4p =， 28m p ∴==，将0(,4)P x 代入抛物线方程可得2048x =，解得02x =，0||42pPF x ∴=+=. 故答案为：8；4.13. 已知△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4c =，π3A =，且△ABC ，则b =___________；cos C ___________.【答案】 (1). 1 (2). 13- 【解析】 【分析】先由三角形的面积公式求得b ，再根据余弦定理求得边a 和cos C .【详解】因为4c =，π3A =，且△ABC ，所以11sin 4sin 223ABCS bc A b π==⨯⨯=，解得b =1，由余弦定理得222222141cos 22142c b a a A bc +-+-===⨯⨯，解得213a =，所以22222cos2a b c C ab +-===故答案为：1；14. 已知5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；135a a a ++=___________.【答案】 (1). 1- (2). 0 【解析】 【分析】求出()51x +展开式的通项，从而求得m ；再令1x =和1x =-，可得答案.【详解】因为5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+其中()51x +展开式的通项为15r r r T C x +=，令1r =，则11255T C x x ==，令2r，则2223510T C x x ==，所以()()51+1mx x +展开式中2x 项为2210+55x mx x x ⋅=，故1m =-， 令1x =则()()()()5026135++11110a a a a a a ++++-+==， 令1x =-则()()()()5026135+1+1101a a a a a a +++-+-==，所以135a a a ++=0， 故答案为：1-；0.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.15. 已知平面向量a 与b 的夹角为120︒，b 在a 上的投影是1-，且满足(2)(3)a b a b +⊥-，则|2|a b +=___________. 【答案】72【解析】 【分析】由条件算出2b =，32a =，然后可得答案. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为120︒，b 在a 上的投影是1-， 所以cos1201b ︒=-，所以2b =因为(2)(3)a b a b +⊥-，即(2)(3)0a b a b +⋅-=，即222530a a b b -⋅-= 所以225120a a +-=，解得32a = 所以()()2934924144424a b +=+⨯⨯-+⨯=，所以|2|a b +=72故答案为：7216. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为34，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为X 元，则甲所获奖金总额的方差()D X =___________. 【答案】60 【解析】 【分析】设甲获胜的局数为Y ，则35,,84YB X Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由方差的性质和二项分布的知识可得答案. 【详解】设甲获胜的局数为Y ，则35,,84Y B X Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()31()646456044D X D Y ==⨯⨯⨯= 故答案为：6017. 如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦【解析】 【分析】根据,AP BP 与底面DEF 所成的角相等可得2PE PD =，以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，可得点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动，由3tan PFθ=可求出范围. 【详解】连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=，即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =，NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：3,102⎡+⎢⎣⎦.【点睛】本题解题的关键是得出点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r 的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).三､解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()2cos sin()(R)3f x x x x π=-∈.（1）求5()12f π的值； （2）求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】（1（2）π5[,],(Z)1212k k k πππ-+∈. 【解析】 【分析】（1）首先化简函数()y f x =的解析式得()sin(2)32f x x π=--，然后代入计算；（2）根据函数解析式利用整体法计算函数的单调增区间. 【详解】（1）π1()2cos (sin coscos sin )sin 2cos 2)sin(2)3323f x x x x x x x ππ=-=-+=-所以55()sin(2)12123f πππ=⨯-=.（2）由（1）可知()sin(2)32f x x π=--，因此函数()y f x =的单调递增区间满足222,(Z)232k x k k πππππ-≤-≤+∈，解得5,(Z)1212k x k k ππππ-≤≤+∈， 即函数()y f x =的单调递增区间为π5[,],(Z)1212k k k πππ-+∈. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式. 19. 如图，四棱锥-P ABCD 中，△PAD 为正三角形，//AB CD ，122AD DC AB ===，BC =，3PC =.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求AB 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】 【分析】（1）取AD 中点O ，连结,,OP OC AC .由平几及解三角形知识可证得AD OC ⊥， AD OP ⊥，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可得证.（2）方法一：过点C 作CH ⊥平面PAD ，则垂足H 必在直线PO 上，由解三角形的知识可求得平面PAD 所成角的正弦值.方法二：过点O 作直线Oz OC ⊥，则Oz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系.运用线面角的空间向量求解方法可求得答案.【详解】（1）取AD 中点O ，连结,,OP OC AC .因为122AD DC AB ===，BC =由平几及解三角形知识得(222222422cos cos 2422AC AC BAC ACD ACAC+-+-∠==∠=⨯⨯⨯⨯ ，解得2AC = ，所以60ADC ∠=︒，因此△ADC 为正三角形，故AD OC ⊥，又因为△PAD 也是正三角形，因此AD OP ⊥，又OC OP O =，所以AD ⊥平面POC ，而PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥.（2）方法一：因为//AB CD ，所以AB 与平面PAD 所成角即CD 与平面PAD 所成角，记作θ. 由（1）得AD ⊥平面POC ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面POC ， 平面PAD平面POC PO =，故过点C 作CH ⊥平面PAD ，则垂足H 必在直线PO 上，此时CDH θ=∠，在正△PAD 中，PO AD ==，而OC =3PC =， 所以在△POC 中，由余弦定理可得120POC ∠=︒，所以3sin 602CH OC =⋅︒=，又2CD =， 所以3sin sin 4CH CDH CD θ=∠==，所以AB 与平面PAD 所成角的正弦值为34. 方法二：由（1）知AD ⊥平面POC ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面POC ⊥平面ABCD ， 平面POC平面ABCD OC =.故过点O 作直线Oz OC ⊥，则Oz ⊥平面ABCD ，又AD CO ⊥，故可如图建立空间直角坐标系.又1OD =，OC =OP =120POC ∠=︒，可求得各点坐标：(0,0,0)O ，(1,0,0)D ，C ，3(0,)2P ，设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n OD n OP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(,,)(1,0,0)03(,,)(0,)02x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，故03022x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，故(0,3,1)n =，又(1,CD =， 记CD 与平面PAD 所成角为θ，则33sin cos ,224||||n CD n CD n CD θ⋅-====⨯⋅.又因为//AB CD ，故AB 与平面PAD 所成角的正弦值为34. 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法： 1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.2. 向量法：直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n .直线a 的方向向量和平面α所成的角θ满足:||sin .||||n m n m θ⋅=⋅20. 已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 【答案】（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出 1211(1)22(1)2n n n nn c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明.【详解】（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---， 所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅.所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅， 即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面，111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n nn T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅， 故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． （4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.21. 已知中心在坐标原点的椭圆C ，其焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F，点2(3P -为椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(6,4)Q -的直线1l 与x 轴交于点(,0)T t ，由点(,0)T t 引另一直线2l 交椭圆C 于,A B 两点.是否存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，23t =. 【解析】【分析】（1）根据条件算出153PF =，273PF =，然后利用抛物线定义求出答案即可； （2）分直线2l 的斜率为零、直线2l 的斜率不为零两种情况讨论，当直线2l 斜率不为零时，可设直线2l 的方程为x ny t =+，11(,)A ny t y +，22(,)B ny t y +，由2QA QB QT k k k +=可得21212(2128)(6)(64)()0nt n n y y t t n y y --+---+=，联立直线2l 的方程与椭圆的方程消元可得12y y +，12y y ⋅，代入即可求解.【详解】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可求得153PF =，273PF = 由椭圆定义可知122||||4a PF PF =+=，所以2a =，而1c =，故2223b a c =-=故所求椭圆C 的方程为22143x y += （2）假设存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，即满足2QA QB QT k k k +=①当直线2l 的斜率为零时，此时直线2l 与椭圆C 的交点是椭圆C 长轴的端点不妨设(2,0)A -，(20)B ,，此时12QA k =-，1QB k =-，46QT k t =- 由于2QA QB QT k k k +=，故141226t --=⋅-，解得23t = ②当直线2l 斜率不为零时，可设直线2l 的方程为x ny t =+11(,)A ny t y +，22(,)B ny t y +，联立方程组22143x y x ny t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得222(34)63120n y nty t +++-= 22222(6)4(34)(312)034nt n t t n ∆=-+->⇒<+，故1222122634()31234nt y y n t y y n -⎧+=⎪⎪+*⎨-⎪⋅=⎪+⎩而1146QA y k ny t +=+-，2246QB y k ny t +=+-，46QT k t =-，又2QA QB QT k k k += 故1212448666y y ny t ny t t +++=+-+-- 整理得21212(2128)(6)(64)()0nt n n y y t t n y y --+---+=将()*代入上式可得，整理得(64)(64)0n t n t ---=，对于任意n 该等式恒成立故640t -=，解得23t = 综合①②，可知存在实数23t =，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列 【点睛】方法点睛：涉及抛物线的弦长、中点、距离、斜率等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22. 已知函数()(1)ln f x m x =+，2()g x mx x =+，m R ∈.（1）当0m =时，曲线()()()()1a x f x a R g x φ=+-∈在2x =处的切线与直线210x y +-=平行，求函数()y x φ=在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最大值(e 为自然对数的底数)；（2）当1m =时，已知0a b <<，证明：()()4()()f a f b a a b g a g b a b->-+--. 【答案】（1）241e +；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）求出'21()a x x x φ=-，利用'1(2)2φ=-，解得4a =，判断函数4()ln 1x x x φ=+-的单调性，可得()()(){}2max max ,x e e φφφ⎡⎤=⎣⎦，进而可得答案；（2）要证明原不等式成立，只需证明22(1)ln ()1b b a b a a->+成立.令b x a=， 1x >，只需证明22(1)ln (1)1x x x x ->>+成立，构造函数2()(1)ln 22(1)F x x x x x =+-+>，利用导数证明()(1)0F x F >=，从而可得答案.【详解】（1）当0m =时，()ln 1a x x x φ=+-，因此'21()a x x xφ=-，而曲线()y x φ=在2x =处的切线与直线210x y +-=平行， 故'11(2)242a φ=-=-，解得4a =. 所以4()ln 1x x x φ=+-，'24()x x xφ-=， 故当[),4x e ∈时，'()0x φ<，即函数()y x φ=在[),4e 上递减，当(24,x e ⎤∈⎦时，'()0x φ>，即函数()y x φ=在(24,e ⎤⎦上递增， 所以()()(){}2max max ,x e e φφφ⎡⎤=⎣⎦，而()4e e φ=，()2241e e φ=+， 故()()222(2)0e e e e φφ--=>，即()()2e e φφ>， 所以函数()y x φ=在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为241e+. （2）当1m =时，()2ln f x x =，2()g x x x =+，由于0a b <<， 故要证明()()4()()f a f b a a b g a g b a b->-+--成立. ⇔证明22ln ln 2b a a b a a b ->-+成立⇔证明222()ln ln a b a b a a b-->+成立， ⇔证明22(1)ln ()1b b a b a a->+成立.令b x a=，因为0a b <<，则1x >， 即只需证明22(1)ln (1)1x x x x ->>+成立 ⇔证明2(1)ln 220(1)x x x x +-+>>即可，下面证明该不等式成立.设2()(1)ln 22(1)F x x x x x =+-+>，求得'1()2ln 2F x x x x x=++-， 因为1x >，所以12x x +>=， 所以当1x >时，'()2ln 222ln 0F x x x x x >+-=>，因此函数()y F x =是(1,)+∞上的增函数，故()(1)0F x F >=，这就证明了当1x >时，2(1)ln 220x x x +-+>恒成立，故原命题成立.【点睛】方法点睛：不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形构造函数，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。