概率统计(1-1)(a)

序言2002.7.20

科学研究的对象是客观现象的规律性。概率统计是研究客观现象，只对现象的发生或不发生感兴趣，并不涉及现象的内在性质。人们在研究自然界和人类社会中各种事物运动的变化规律时会发现两类很不相同的现象。一类现象是在一定的条件之下，事物运动变化的规律是确定的．一旦认识了这些规律就可以事先作出正确的预言。例如太阳从东方升，２＋３＝５，等等．这一类现象我们称之为确定性现象．早期的科学家就是研究这一类现象规律性，所用的数学工具是几何，代数，微积分等．但是在自然界和人类社会中还广泛地存在着与确定性现象有着本质不问的另一类现象，

例如：（１）抛掷一枚硬币事先并不能正确地预言结果是出现正面或反面；

（２）打桥牌时事先无法预料是否能分到有四张A的，

这类现象共同特点是在基本条件不变的情况下作一系列试验或观察会得到各种不同的结果．换句话说，仅仅就一次试验或观察而言它会时会出现这种结果，时而出现那种结果，呈现出一种偶然性，这种现象称为随机现象．

概率统计是研究随机现象的数量规律性的一门数学学科。概率统计具有严密、深刻的理论体系。然而，它又是一门应用学科，在工业、农业、军事、医学、公共事业及尖端科学等几乎所有科学技术领域获得越来越重要的应用．今天，概率论已成为有广泛应用的，有深刻理论基础的，蓬勃发展的一个数学学科了．

具体地，概率论是研究随机现象的数量规律性，其主要内容：

古典概型独立试验序列概型

( 十七世纪)( 十八世纪)

极限定理严格数学基础、深刻的

(十八、九世纪) 理论研究及实际的应用

( 二十世纪)

数理统计学是关于数据资料的收集、整理、分析和推理的科学，侧重与应用研究随机现象的本身的规律性来考虑资料的收集、整理、分析，从而找出相应随机本来的分布律或它的数字特征，尽可能作出较合理精确的推断。它包括二大类内容：

（1）试验的设计和研究：如何更合理更有效获得观察资料的方法；

（2）统计推断：如何利用一定的资料对所关心的问题尽可能作出合理可靠的结论。

本书前五章是概率论，后几章是数理统计，两者紧密联系，概率论是数理统计的理论基础。

第一章 随机事件与概率

§1 随机事件与事件的运算：

一. 随机试验:

概率论是一门研究随机现象量的规律性的数学学科．为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察和试验，我们把这种观察和试验统称为试验．概率论中所研究的试验具有下列特点：

(1) 可以在相同的条件可重复进行。

(2) 试验的可能结果不止一个，并且在试验前能明确可知所有可能的结果。

(3) 试验前无法预知哪一个结果出现。

我们把具有上述特点的试验称为随机试验．在重复进行试验时个别结果发生与否具有偶然性，但当重复试验次数相当大时，总有某种规律性出现．

例如： 抛—枚均匀硬币，观察其出现正反面朝上情况，一次试验就是抛一枚硬币，这是随机试验， 试验的可能结果有两个：

出现正面、出现反面．

在试验前无法断言哪个结果出现，但重复多次后，“出现正面”这个结果的相对频率却呈现出稳定性(即接近0．5)，这便是规律．

二．随机事件：

１．随机事件的粗略定义：在随机试验中可能发生的结果或可能不发生结果称为随机事件，简称为事件，常用字Ａ、Ｂ、表示．

【例1】 【例１】抛—枚均匀硬币，“正面朝上”这个事件（记作Ａ）是一个随机事件 ，简写为

Ａ＝“正面朝上”，

＂

同样地，有 Ｂ＝ “正面朝下”．

２．常用与最基本事件：

（１）基本事件与复合事件： 在一随机试验中，它的每一个最简单不能再分解的结果称为基本随

机事件，简称基本事件。例如：掷一枚骰子这一试验，出现

“１点”， “２点”，“３点”，“４点”，“５点”，“６点”，

都是基本随机事件，可分别用

A i ＝“i 点” (1,2,,6)i =

表示．

在一个试验中，由两个或两个以上基本事件复合而成，称它为复合随机事件。简称复合事件． 例如：掷一枚骰子这一试验，出现偶数点是一复合事件，它是由出现

“２点”，“４点”， “６点”，

三个基本事件，而且当且仅当上述三个基本随机事件中的一个发生，出现偶数点这一复合随机事件发生，可用246A A A ++表示．

（２）必然事件：在一定条件下必然会发生的事情称之为必然事件，记为Ω．

（３）不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事情称为不可能事件，记为φ．

【注意】◆ 随机事件、必然事件、不可能事件都是相对一定试验条件而言，例如：掷一枚骰子这一

试验，出现“７点”是不可能事件，但如果试验条件改为掷两枚骰子就不是不可能事件．

◆ 为讨论方便，必然事件、不可能事件都视为随机事件，作为极端情况．

三．样本点与样本空间：

为研究方便起见，事件之间的关系及运算利用集合工具是有益的．

（１） 样本点：随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，记为ω．

（２） 样本空间：由所有样本点组成的集合称为样本空间或称为基本事件空间，记为Ω． 样本空间也就是必然事件，这是因为在每次试验必然出现Ω中的某个基本事件，也即必然发生，

因此，仍用Ω表，而任何一个随机事件Ａ都是样本空间Ω的一个子集.

【例２】 在【例１】中，令ω1＝“正面朝上”， 2ω＝“正面朝下”， 则有

Ω ＝{ω1， 2ω};

又若 令 0=“正面朝上”， 1=“正面朝下”， 则有 Ω ＝{0， 1

} 【例３】 从标号为1，2，…，10的十个完全相同的球中任取一个，

令 ωi ＝“取得i 号球 ” (1,2,

,10)i =，则样本空间 Ω ＝{ω1，2ω， 10,ω }

【例４】掷两枚骰子，其样本空间

Ω(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(6,1),(6.2),

(6.6)⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭， 共有３６个样本点． 【例５】 你的一个同学约定在某天晚上7点到８点之间来你家作客。

令 ωt ＝“来到你家的时间”，则

Ω ＝{}1920t t ωω≤≤

四．事件的关系和运算

1． 事件的包含和相等： 设有事件Ａ及Ｂ，如果Ａ发生，那么B 必发生，

则称事件Ｂ包含事件A ，记为

Ａ⊂Ｂ 或 Ｂ⊃Ａ,

如果事件Ａ包含事件Ｂ，同时事件Ｂ也包含事件Ａ 则称事件Ａ与Ｂ相等，记为

Ａ＝Ｂ

特别地， 对任一个事件A ，有 A φ⊂⊂Ω ．

２ 事件的和（并）：两事件Ａ与Ｂ中至少发生一个，这一事件称为事件Ａ与事件B 的和或并，记作

Ａ＋Ｂ 或 ＡＢ