系统稳定性的频域判据1
自动控制原理 第五章第七节频域稳定判据(下)

5.7 频域稳定判据(下)课程回顾Z 闭环系统不稳定0>0=闭环系统稳定注意问题2. N 的最小单位为二分之一1. 当[s]平面虚轴上有开环极点时,奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧;[G]平面对应要补充大圆弧2Z P N=−Z: 在右半s 平面中的闭环极点个数P: 在右半s 平面中的开环极点个数N: 开环幅相曲线GH (j ω)包围[G]平面(-1, j0)点的圈数奈奎斯特稳定判据例1已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
NP Z 2−==K (稳定))1T )(1T ()(21++=s s s K s G 1K 000=−=−=−+N N N 00202=⨯−=−=N P Z 2K 110−=−=−=−+N N N 2)1(202=−⨯−=−=N P Z (不稳定)−+−=N N N 对数稳定判据()=∠−︒j0180G K 例2已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
=K (不稳定))1T )(1T )(1T ()(321++−=s s s K s G 1K 000=−=−=−+N N N 10212=⨯−=−=N P Z 2K 21021=−=−=−+N N N 021212=⨯−=−=N P Z (稳定)()=∠−︒j 0270G ∞3K 21121−=−=−=−+N N N 2)21(212=−⨯−=−=N P Z (不稳定))12.0)(25(1000)(2++=s s s s G 思考:单位反馈系统开环传递函数为)15](1)5[(402++=s s s 用频域稳定判据分析系统的稳定性。
(1)在Bode 图上,G (j ω)包围(-1,j0)点的圈数N=N +-N -。
总结(2)N +是正穿越的次数,对应在L (ω)>0的频段范围内沿ω增加的方向,对数相频特性曲线按相角增加的方向(自下而上)穿过-180o 线。
(3)N -是负穿越的次数,对应在L (ω)>0的频段范围内沿ω增加的方向,对数相频特性曲线按相角减小的方向(自上而下)穿过-180o 线。
频域稳定性判据

频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中,需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性,为控制系统设计和优化提供依据 。
此外,频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法,可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时,还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应,可以判断系统是否稳定,以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用,有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂, 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法, 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外,随着人工智能和机器学习 技术的快速发展,可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中, 以实现自适应控制和智能控制。 例如,可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应, 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据,可以快速判断系统的稳定性,并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点,可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中,频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析,如航空航天、电力、化 工等领域。
此外,随着绿色环保理念的普及, 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域,例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
自动控制原理第五章-2

稳定。
Im
1 Kg
wg
Re
(wc )
wc
w
开环对数幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度
-Kg(dB)
Kg(dB)>0
K g (dB) 20 lg
1 20 lg G ( jwg ) H ( jwg ) G ( jwg ) H ( jwg )
若系统稳定,则:Kg>1(K(dB)>0),r>0。 一般,为确定系统的相对稳定性,描述系统的稳定程度, 需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量,缺一不可。 工程上,一般取:
1 T w 1
2 2
(w) arctanTw
M (0) 1, M r 1, wr 0, wb 1/ T ts 3T 3 / wb , tr 2.20T 2.20 / wb
( 0.05)
T 2
2、二阶系统 R(s)
_
2 wn s( s 2wn )
K g (dB) 10dB r 300 ~ 600
(K g (dB) 6dB)
判断系统稳定的又一方法
0
h(dB) 0
h 1
180 G( jc )H ( jc )
h 20 log G ( j g ) H ( j g )
1 h G( j g ) H ( j g )
2. 带宽频率b
当系统闭环幅频特性的幅值M()降到零频率幅值的0.707(或零分贝值以下3dB) 时,对应的频率b称为截止频率。0~b的频率范围称为带宽,它反映系统的快速 性和低通滤波特性。
奈奎斯特稳定判据

二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时, 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据(奈氏判据) 1. 0型系统(开环没有串联积分的系统)
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的,那么当ω由0→∞时, 若矢量F(j ω)的相角变化量为0,也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点,那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面,系统是稳定的。否则,系统是不稳定的。 这样,系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时,矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上, 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知,幅相曲线不包围(-1,j0)点。 此结果也可以根据ω增加时,幅相曲线自下 向上(幅角减小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(-∞,-1)的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越,正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越,负 穿越次数用N-表示,则R可以用N+和N-之差确定, 即 R= N+- N-
由图可知, N+=1, N-=1,故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
控制系统的频域稳定判据

[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
0+
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中,闭环系统稳定的充要条件是:当w由 0→+∞变化时, G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1,j0)点的次数N=P/2;否则,闭环系统不稳定, 且有Z=P-2N个右极点。
R=P -Z
6
三、奈奎斯特稳定性判据
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) [F]
R→∞
[GH]
-1
0
0
1
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
a.若P=0,且 R=0,即GH曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系 统稳定;
b.若P≠0,且R=P,即GH曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则 闭环系统稳定,否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取: Z=PR
c.若GH曲线通过(-1,j0)点L次,则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
9
例: 一系统开环传递函数为: G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

根据米哈伊洛夫定理推论: arg DK ( j ) n 若闭环也稳定,当由0变化到时:
arg DB ( j ) n
2
2
从而:
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明,若系统开环稳定,则当由0变化到时, F(j) 的相角变化量等于0 时,系统闭环也稳定。
注意到: F ( j) 1 G( j) H ( j) 即:
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明,在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位,便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知,当由0变化到时, D(j)逆时针旋转 90°,即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根,则当由0变化到时:
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性,要求必须知 道闭环系统的特征方程,而实际系统的特征方程是 难以写出来的,另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度,也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据:Nyquist稳定判据(简称
乃氏判据)和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性;
7.4 乃奎斯特稳定性判据
4.4 频域稳定性判据

例题
例题
求系统的相角储备γ和幅值储备Kg(dB)(在图上量取数值,因为是几何法求取稳定性裕量,故有误
差)。
如图所示,当k=10时,系统的相角储备γ=21°,幅值储备Kg(dB)=8dB ,因此该系统虽然稳定,但γ 偏小,故系统的相对稳定性较差。 从图b可见,当k增至l00时,系统的γ=-30°,Kg(dB)=-12dB,即稳定储备皆为负值。对开环稳定的 系统而言,此时闭环系统不稳定。
γ 越小,稳定性越差,一般取 γ=30°~ 60°为宜。若γ过大,则系统灵敏度降低。
4.4.3 稳定性裕量(3)
幅值储备Kg
如图 a所示,开环稳定的奈氏图上,奈氏曲 线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。
幅值储备表明在相角穿越频率 ωg上,使系统 达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即
kg
由此可见,使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的,这样才能保 证系统实际上的稳定性是可靠的。 从奈氏判据可知,当 PR=0 , 开环奈氏曲 线离 临 界点 (-1, j0) 越 远,则闭环稳 定性越好 ,
稳定储备越大,反之越差。它通过开环奈氏曲线对临界点的靠 近程度来表征,定量表
示为相角储备和幅值储备。
4.4.3 稳定性裕量(2)
相角储备γ
如图a所示,开环稳定的奈氏图上,奈氏 曲线与单位圆的交点C与原点O的连线与 负实轴的夹角γ称为相角储备。
相角储备表明在幅值穿越频率 ωc上,使 系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞 后量。
γ =180°+φ(ωc) 若 γ>0(图 a、 b),则系统稳定;若 γ<0(图 c、d),则系统不稳定。
氏判据判定 (ZR =O) ,图 a 、 b 系统的闭环稳定。
系统稳定性频域判据1

26
解方程 G(j )= 90º arctan( ) arctan(2 ) = 180º
即 arctan(2 ) = 90º arctan( )
两边取正切,得 2 = 1
所以曲线与负实轴交点的频率为
该交点距原点的距离为
27
当 ω = 0 + 时, G(jω)= +∞∠−90° 当 ω = +∞时, G(jω)= 0∠−270°
12
当ω取值由-∞→+∞时,其开环G(jω)H(jω)轨 迹必须逆时针包围(-1, j0)点P次,否则就不稳 定。 P—开环G(s)H(s)在平面[s]右半部的极点个数。
13
G(s)H(s) =
K
, K = 20
(s+1)(s+2)(s+6)
Imaginary Axis
14
G(s)H(s) =
如果恰在L(ω)=0dB处相频曲线穿过-180º线, 系统临界稳定。
30
判断下图系统的稳定性
31
例
32
33
Imaginary Axis Imaginary Axis
G(s) =
10
s(0.1s+1)(0.05s+1)
0
1 0.5 0 -0.5 -1
-1
Nyquist Diagram
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
Real Axis
0+
34
Imaginary Axis
s =re j
= 90°0°90°
0
j
0+
( ) G rej 10 = + e j
自动控制原理稳定性判据知识点总结

自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。
在自动控制系统的设计和分析中,稳定性是一个重要的概念。
本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结,帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下,输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。
一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性,而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。
2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类:时域判据和频域判据。
2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。
在稳定的线性系统中,初始状态被扰动后,系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。
2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。
常用的频域稳定性判据有:奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。
这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。
2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。
常见的非线性稳定性判据有:李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。
2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。
其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零,系统即为稳定的。
2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理,然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。
3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种,用于判断线性系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线,然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。
3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据,用于判断线性系统的稳定性。
电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些
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电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些在电力电子领域中,电力电子系统的稳定性分析是非常重要的,它关乎到电力系统的可靠性和安全性。
电力电子系统的稳定性分析方法涉及到系统的动态特性和稳态特性分析,下面将介绍几种常用的稳定性分析方法。
一、频域法频域法是一种常见的稳定性分析方法,它通过对系统进行频率响应分析,来评估系统的稳定性。
频域法主要使用频率响应函数和Bode图进行分析。
通过绘制系统的频率响应曲线,可以得到系统的幅频特性和相频特性,从而判断系统的稳定性。
二、时域法时域法是另一种常用的稳定性分析方法,它是通过分析系统的时间响应来评估系统的稳定性。
时域法可以采用传递函数法、状态空间法或者直接采用微分方程法进行分析。
通过求解系统的微分方程,可以得到系统的时间响应曲线,从而判断系统的稳定性。
三、根轨迹法根轨迹法是一种图解法,它通过绘制系统传递函数的根轨迹图来判断系统的稳定性。
根轨迹图可以直观地展示系统极点的变化规律,通过观察根轨迹的形状和位置,可以评估系统的稳定性和动态特性。
四、Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是通过绘制系统的Nyquist图进行判断的一种方法。
通过绘制系统的频率响应曲线,可以得到Nyquist图。
根据Nyquist图的形状和位置,可以判断系统的稳定性。
对于闭环系统,如果Nyquist图的曲线不经过-1点,则系统是稳定的。
五、Lyapunov稳定性分析法Lyapunov稳定性分析法是一种通过构造Lyapunov函数来判断系统稳定性的方法。
通过构造适当的Lyapunov函数,可以证明系统是否稳定。
这种方法通常适用于非线性系统的稳定性分析。
综上所述,电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法包括频域法、时域法、根轨迹法、Nyquist稳定性判据和Lyapunov稳定性分析法等。
这些方法可以互相补充,通过不同的角度和方法来对电力电子系统的稳定性进行评估,从而确保电力系统的可靠性和安全性。
线性系统的稳定性分析与判据

线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念,它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示,可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前,我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出:线性系统接收一个或多个输入信号,并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态:系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的,通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应:零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性:一个线性系统是稳定的,当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界,我们称系统是BIBO(Bounded-Input, Bounded-Output)稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性,在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析:特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统,特征值是状态方程的解的指数项;对于离散系统,特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值,可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析:极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零,不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析:稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性,我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析,我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则:Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹,可以判断系统的稳定性。
《自动控制原理》 胡寿松 5-3 频域稳定判据 频域稳定判据

定程度(相对稳定性),还可以用于分析系统的
动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。
因此,奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用
的稳定性判据,工程上应用十分广泛。
1
奈氏判据的数学基础
数学基础:复变函数中的幅角原理。
(1)幅角原理
F (s) 1 G(s) H (s) 为s的有理分式,分子分母同阶。
s平面任选一点s=σ+jω,通过F(s) 映射,在F(s)平
s s
(s z )ds (s z )ds 0
2 2
12
s
s 21
同理,对于未被闭合曲线Γ包
围的其它零、极点zi, pj,均有:
( s zi ) ( s p j ) 0
于是在右图中有:
F ( s) ( s z1 ) ( s z2 ) ( s zn ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn ) 2 (2 ) (2 )(1 1) 0
N (s) M ( s) F ( s) 1 G(s) H ( s) N (s)
K
(s z )
i i 1 i
n
(s p )
i 1
n
式中,z1,z2 ,…,zn和p1,p2,…,pn分别为辅助函数
F(s)的零点和极点。
辅助函数F(s)具有以下特点:
①F(s)的零点、极点的个数相同,均为n个; ②F(s)的零点zi为闭环极点,极点pi为开环极点; ③F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差常量1。
F ( s) 1 G( s) H ( s)
K ( s zi )
i 1
《频域稳定性判据》课件

实例分析和讨论
通过实例分析具体问题,讨论如何利用频域稳定性判据解决现实生活中的功 率电子系统稳定性问题。
总结和展望
总结课程内容,并展望频域稳定性判据在未来的发展方向和应用前景。
频域稳定性分析方法
介绍不同的频域稳定性分析方法,如极点分布法和小波分析法等,以及它们 的优缺点和适用场景。
频域稳定性判据的原理
解释频域稳定性判据的原理,包括如何利用频域分析结果来判断系统的稳定 性。
频域稳定性判据的应用
提供频域稳定性判据பைடு நூலகம்实际工程中的应用案例,展示它在系统设计和控制中 的重要性。
《频域稳定性判据》PPT 课件
频域稳定性判据的PPT课件,旨在介绍频域稳定性分析方法及其应用,帮助听 众对该主题有深入的了解。
背景介绍
频域稳定性判据的背景和意义。讲述频域分析在稳定性研究中扮演的角色, 以及为何需要频域稳定性判据。
频域分析基础知识
对频域分析的基本概念进行介绍,包括傅里叶变换和频谱分析等,为后续内 容做铺垫。
§6.5系统稳定性及其判定 《信号与系统》课件

Me
h
d
如果满足 ht dt M ,则
rt MeM
充分性得证。
必要性
如果 ht d t无界,则至少有一个 有界的e(t)产生无界
的r(t)。选择如下信号:
1
e t sgnht 0
1
ht 0 ht 0 ht 0
这表明 etht ht ,则响应 rt
r
tLeabharlann hetdr0
h
e
d
h
d
此式表明: 若
必要性得证。
ht
d
t无界,则
r0也无界
由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1.稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面(不包括虚 轴),则可满足
lim h(t) 0
t
系统是稳定的。
例如
1 , p0 s p
系统稳定;
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定;
2.不稳定系统
稳定性是系统自身的性质之一,系统是否稳定 与激励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系 统函数从两方面表征了同一系统的本性,所以能从 两个方面确定系统的稳定性。
定义(BIBO)
一个系统,如果对任意的有界输入,其零
状态响应也是有界的,则称该系统有界输入
有界输出(BIBO)稳定的系统,简称稳定系
系统稳定性判据某连续时间系统的系统函数但t很大时这个正指数项超过其他项并随着t的增大而不断增大实际的系统不会是完全线性的这样很大的信号将使设备工作在非线性部分放大器的晶体管会饱和或截止一个机械系统可能停车或发生故障等
号与系统 信
§6.5 系统稳定性及其判定
1.系统的稳定性
2.系统稳定性判据
机械控制工程资料-----5-6频域稳定判据奈氏判据

(c)由于ν=2,从 0点逆时针
=0 补画半径为无穷大的半园。
Re
P=0, N=-1,Z=2
0
K 该闭环不系统稳定。
Gc (S) S 2 (TS 1)
Im
Gd
(S)
10 S(TS 1)
(d)ν=1,从 0 点逆时针
补画半径为无穷大的1/4园。
记为半次正(半次负)穿越。
右图中 N 2 N 2
N N N 22 0
- +- + -1 0
Re
幅相曲线在负实轴(-.-1)
区间的正负穿越如图所示 R 2N
4
Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是:闭合曲线ГGH曲线不穿 过(-1,j0) ,且逆时针绕(-1,j0)点的圈数R等于 G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P圈。
( x ) G jx H jx 180 0
h
1
G jx H jx
00
h
1
Im
1
h
x
- +
1 c
00
h1
Im
c
Re x
-
-1
Re
G( j)
G( j)
1 h
(a)稳定系统
(b)不稳定系统 20
20lg G( jc )H( jc ) 0dB
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
h(t)
h(t)
自动控制原理--控制系统的频域稳定判据

n
F ( s)
1
G(s)H(s)
1
Q(s) P(s)
P(s) Q(s) P(s)
K*
n
s
i 1
s
ri pi
i1
➢F(s)的零点就是系统的闭环极点; ➢F(s)的极点就是系统的开环极点.
Y s
Rs
Gs
Y s
H s
利用图解的方法来确定F(s)位于s右半平面的零点, 从而得到判别系统稳定性与否的奈氏判据。
那些零点和极点相应的 向量的净相角变化等于 零,
j
s 平面
s p1
s• s r1
r1
p1
p3
p2
r3
s r2
r2
被 包围的零点,
其相角变化了 2。
故 顺 时针绕坐标原点 一圈。
若 顺时针包围F(s)的1个零点,则 顺时'针包围F(s)的
原点1圈。
j
s 平面
s p1 s• s r1 r1
p1
例4 绘制如下系统的奈氏曲线,并分析其闭环系统的稳定
性。
K
G(s)H(s) sT1s 1T2s 1
解:(1)奈氏曲线的起点和终点
G( j0 )H j0 ,G( j0 )H j0 90
G( j)H j 0,G( j)H j 270
(2)与负实轴的交点
2
arctanT1
arctanT2
-0.6
-0.8
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
可见,乃氏图不包围(Re-al 1Axis,j0)点,系统稳定
例2 试绘制如下四阶0型系统的奈氏图,判别其闭环系统的稳定
常用的频域稳定判据

常用的频域稳定判据
频域稳定判据是用来判断线性时不变系统在频域中是否稳定的方法。
常用的频域稳定判据有以下几种:
1. Nyquist判据:对于开环传递函数G(s),判断闭环系统是否稳定的方法是通过绘制Nyquist曲线。
当Nyquist曲线不经过点(-1,0)时,系统稳定;当Nyquist曲线经过点(-1,0)时,系统不稳定。
2. Bode判据:对于开环传递函数G(s),通过绘制Bode图来判断系统稳定性。
Bode图是将传递函数G(s)的振幅与相位分别绘制在对数频率和对数振幅的坐标系上。
在Bode图中,当相位曲线超过-180°时,系统不稳定。
3. Nyquist稳定判据:对于开环传递函数G(s),通过计算开环传递函数G(s)的极点和零点,可以使用Nyquist稳定判据来判断系统稳定性。
Nyquist稳定判据是通过计算开环传递函数的闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数来判断系统稳定性。
若闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数等于开环传递函数G(s)的极点个数减去零点个数,则系统稳定。
4. Routh-Hurwitz判据:对于开环传递函数G(s),通过构造Routh-Hurwitz矩阵来判断系统稳定性。
Routh-Hurwitz矩阵是由开环传递函数的特征多项式构成的矩阵,通过判断所有主元的符号是否为正来确定系统的稳定性。
若所有主元的符号都为正,则系统稳定。
这些是常用的频域稳定判据,可以根据具体情况选择适合的方法来判断系统稳定性。
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开环传递函数
G(s)H(s) =
闭环传递函数 G (s ) 1+G(s)H(s)
= 1+
B1(s) A (s) B1(s )B
(s ) A1 (s)A2(s)
2
B1(s)A2(s) = A 1(s)A (s)+ B (s)B 2 1
2
(
闭环稳定
闭环传递函数右极点个数为0 B1(s)A2(s)
A 1(s)A2(s)+ B1(s)B2(s)
F(s)有m个零点,n个极点, 在[s]平面上的C顺时针包围了 其中z个零点和p个极点,
则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
——映射定理
反馈控制系统
B1(s) B2(s) G(s) = , H(s) = A 1(s) A2(s)
G(s)
H(s)
B1(s)B2(s) A1 (s)A2(s)
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
, K = 20
Imaginary Axis
K G(s)H(s) = (s+1)(s+2)(s+6)
Imaginary Axis
, K = 200
Imaginary Axis
G(s)H(s) =
8 (s )(s+2)(s+3) 1
例:下图所示反馈控制系统,K为何值时稳定?
判断下图系统的稳定性
例
Imaginary Axis
10 G (s) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
Imaginary Axis 0
Nyquist Diagram 1 0.5 0 -0.5
-1
-1 -0.8 -0.6
Real Axis
-0.4
-0.2
0
0+
= 90° 0° 90°
e s
s(s +1)
K
G1 = 180+arctan
1
G2( j) = e
G2 =1 K
j
G2 = G= 180+ arctan 1
1 G = 2 +1
K
G2 =1
K
1 2 +1
G2 =
1
1 G = 2 +1
G= 180+ arctan 1
j
= 90°0° 90°
GH =180°0° 180°
0 0+
(e )
j 2
4
=
4
2
ej2
Imaginary Axis
顺时针2圈,不稳定
延时环节
K满足什么条件时系 统闭环稳定?
G1( j) = K 1 = K j( j +1) + j1 G1 = K 1 2 +1
该交点距原点的距离为
ω = 0 + 时, G(jω)= +∞∠−90° 当 ω = +∞时, G(jω)= 0∠−270°
当
-0.67
例:某反馈控制系统开环传递函数为 K G (s) = s(0.1s+1)(0.05s+1)
判断当K=10和40时的稳定性
令 = 0.05
G ( j ) = K j 20 ( j + 1)(2 j + 1)
s =re j
G( re j
G= 270° 180° 90°
Im [s]
0Im
) re10
j
= +j e
j
0+
O D
j
Re
-1 O
Re
0+
开环右极点有1个,乃氏图逆时针包围 (-1,j0)1圈,稳定
G( s) =
Imaginary Axis
40 s(0.1s+1)(0.05s+1)
在[s]平面作包围右半平面的D形曲线, 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点 的圈数等于开环右极点的个数, 则系统稳定。 (1) 开环右极点个数如何判断?——劳斯判据
(2) 开环在虚轴上有零极点?——绕道
(3) 开环无右极点——不包围 (4) 乃氏判据也适用于有延时环节的情况
G= 180+ arctan 1 > 180
1 G = 2 +1
K
令
=1
2 +1 = K
arctan
1例如 =1ຫໍສະໝຸດ ms <10 rad/s K <100 =1 ms < 31.6 rad/s
phase [rad]
>
K <1000
Nyquist稳定判据
乃氏图的负频段-对称原理
令 从 增长到 0 ,
相应得出的乃氏图是 与从 0 增长到 +
得出的乃氏图以实轴 对称的,例如图4-24 所示的乃氏图。
= 的乃氏图 +
例
∠G(jω)= −90º −arctan(ω)−arctan(2ω)
当 当
ω = 0+
时, G(jω)= +∞∠−90°
Im
[F] F(s) = 1 s a
O
Re
C
Im
O
Re
如果 C 包围 a ,则 C’ 逆时针包围原点1圈; 如果 C 不包围 a ,则C’不包围原点。
F(s) =(s 1)(s 2) a a
Im [s]
(s az)
Im [F]
O C
Re
O
Re
C ?
顺时针绕原点1圈,角度增量 2
∠G(jω)= −90º−arctan(ω´)−arctan(2ω´) = −180º
所以曲线与负实轴交点的频率为
2 = 2
= 10 2
G ( j10 2 ) =
K 10 w 3 3 2
K = 30
对数频率特性的乃氏判据
系统稳定的充要条件是:在开环波德图上L(ω)>0dB 的所有频段内,相频特性曲线φ(ω)在-180º 线上正负 穿越次数之差等于P/2。P为开环右极点数,如果 P=0,则正负穿越次数应相等。 在波德图上, L(ω)>0dB下的相频曲线自下而上穿 过-180º 线是幅角增大为正穿越,反之,为负穿越。 如果恰在L(ω)=0dB处相频曲线穿过-180º 线, 系统临界稳定。
其传递函数为 Y(s)
P(s)
2.切削过程的传递函数 若工件名义进给量为uo(t),由于主轴的变形, 实际进给量为u(t),于是 u(t) = uo(t) (t) y 若主轴转速为n,刀具为单齿,则刀具每转 一周需要时间 =1/n 。 刀具在每转动一周中切 削的实际厚度为[u(t)-u(t-τ)] 。 令kc为切削阻力系数(它表示切削力与切 削厚度之比),则
C 为顺时针方向
Im
a
[s]
Im
[F]
F(s) = s a
C C Re O
O
如果 C 包围 a ,则 C’ 顺时针包围原点1圈; 如果 C 不包围 a ,则C’不包围原点。 如果 C 经过 a ?
1 2.F(s) = s a
Im
[F]
F(s) = 1 s a
O
Re
1 F(s) = s a
系统稳定性的频域判据
(第五章)
劳斯判据的不足: • 必须知道系统的闭环传递函数 • 定性——不能从量上判断系统的稳定程度 • 对含有延迟环节的系统无效 • 不能对改善系统稳定性给出提示 Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性
s F(s) 1. F(s) = s a
a 为复数
F(s) = s a
0 + g
2
2
0 = k (180 )
如已知最小相位系统的开环传递函数为 G ( s) H ( s ) = 绘制系统的奈奎斯特图
K s(Ts + 1)
绘制开环轨迹的一些问题:
1. 镜像对称原理:当ω由值由- ω变到+ ω时, G(jω)H(-j ω)与G(jω)H(j ω)的幅值相同而幅角相异。 当ω由-∞→0-与0+→∞所确定的开环轨迹是依实轴 而对称的。 2. 幅角的确定 计算幅角时,一定要将复数的虚部与实部正、负号考虑 进去,以便确定其所在的象限。
j
R =
F(s) =1+G(s)H(s)
[F ]
-1 j
F '(s) = G(s)H(s)
F(s)包围原点的圈数 = F ’(s)包围-1点的圈数
Nyquist稳定判据 ——充要条件
闭环系统稳定的充要条件:
如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围 (-1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数P, 则系统稳定。
ω = +∞时, G(jω)= 0∠−270°
其相角范围从-90º ~-270º ,因此必有与负实轴 的交点。
解方程 G(j)= 90º arctan() arctan(2) = 180º
即
arctan(2) = 90º arctan()
两边取正切,得
2=
1
所以曲线与负实轴交点的频率为
O
从原点右边绕,开环右极点个数为0; 乃氏图顺时针包围(-1,j0) 2 圈,不稳定
Imaginary Axis
例:某系统开环传递函数为
( ) (
4(0.05s+1) )G s H s = s2(0.3s+1)(0.05s2 +0.2s+1)