数学模型第九章灰色系统方法建模--9.1灰色关联度与优势分析

1985 15.64 15.30 16.56 14.04 2.64 100 80 85 16.40 17.95 15.88 16.87 7.54 140 90 4"06 12"72
1986 15.69 15.02 17.30 13.46 2.59 105 80 90 17.05 19.30 15.70 17.82 7.70 140 95 3"99 12"56
ri 1
n
n
i (k )
数学建模
0
k 1
（2）
为比较数列
2012-9-2
X
i
对参考数列 X 的关联度。
由式（2）容易看出，关联度是把各个时刻的关 联系数集中为一个平均值， 即把过于分散的信息集中 处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进 行因素分析。在利用（1）和（2）计算关联度之前， 我们还需要对各个数列做初始化处理。一般来讲，实 际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在 计算关联系数时，要求量纲要相同。因此要首先对各 种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所 有数列有公共的交点。
数学建模
i 15 ,16
依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项 成绩作为参考数列，将上表中的各个数列的初始化数 列代入（1）（2） 、 ，易计算出各数列的关联度，如下表 所示。
r
1
r
2
r
3
r
4
r
5
r
6
r
7
r
8
0.588 0.633 0.854 0.776 0.855 0.502 0.659 0.582
2012-9-2 数学建模
为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变 换。给定数列 X
( X (1), X ( 2 ), , X ( n ))
，称 （3）
X ( 2 ) X (3) X (n) X 1, , , , X (1) X (1) X (1)
为原始数列 X
2012-9-2 数学建模
4、在第 4 列中 r
24=0.809
最大，表明科技对工业影响
最大，而 r 34=0.588 比较小，表明从全面来衡量，还没 有使科技投资与农村经济挂上钩，即科技投资针对的 不是农村需要的科技，r
64=0.584
更小， 表明科技对建
筑业的作用比农业还差； 5、第 3 列的元素普遍比较大，表明农业是个综合性行 业，需要其它方面的配合，例如： r
15=（4"20，4"25，4"10，4"06，
3"99）及数列 X 16=（13"10，13"42，12"85，12"72， 12"56）进行初始化处理时，采用以下公式
X
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i
X i (1) X i (1) X i (1) X i (1) 1, X ( 2 ) , X (3) , X ( 4 ) , X (5 ) i i i i
第九章 灰色系统方法建模
2012-9-2
数学建模
客观世界的很多实际问题，其内部 的结构、参数以及特征并未被人们全部 了解，人们不可能象研究白箱问题那样 将其内部机理研究清楚，只能依据某种 思维逻辑与推断来构造模型。对这类部 分信息已知而部分信息未知的系统，我 们称之为灰色系统。本章介绍的方法是 从灰色系统的本征灰色出发，研究在信 息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实 际问题进行分析和解决。
r
9
r
10
r
11
r
12
r
13
r
14
r
15
r
16
0.683 0.695 0.895 0.705 0.933 0.847 0.745 0.726
2012-9-2 数学建模
由上表易看出，影响铅球运动员专项成绩的前八 项主要因素依次为全蹲、3 公斤滑步、高翻、4 公斤原 地、挺举、立定跳远、30 米起跑、100 米成绩。因此， 在训练中应着重考虑安排这八项指标的练习。减少训 练的盲目性。
X X X X
Y Y
Y Y Y
Y
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根据表中的数据,易计算出各个子因素对母因素的关联 度，从而得到关联矩阵为
0 . 811 0 . 641 0 . 839 R 0 . 563 0 . 819 0 . 795 0 . 770 0 . 624 0 . 828 0 . 552 0 . 780 0 . 812 0 . 648 0 . 578 0 . 720 0 . 542 0 . 649 0 . 714 0 . 743 0 . 809 0 . 588 0 . 616 0 . 707 0 . 584 0 . 920 0 . 680 0 . 735 0 . 535 0 . 875 0 . 613
数学建模
1982 346 205 15.1 29.2 23.5 216.4 80.7 99.83 18.9 5.06 11.98
1983 367 222.7 14.57 30 27.66 235.8 89.85 103.4 22.8 5.78 13.95
308.58 195.4 24.6 20 18.89 170 57.55 88.56 11.19 4.03 13.7
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§1 灰色关联度与优势分析
大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁 多。我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪 些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发 展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。 一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上， 因素间关联性如何、 关联程度如何量化等问题是系统 分析的关键。
2012-9-2 数学建模
例如人们关心的人口问题构成一个系统， 影响人 口发展变化的因素有社会方面的诸如计划生育、 社会 治安、 社会生活方式等； 有经济方面的诸如国民收入、 社会福利、社会保险等；还有医疗方面的诸如医疗条 件、医疗水平等……也就是说，人口是多种因素互相 关联、互相制约的系统，对这些因素进行分析将有助 于人们对人口的未来预测及人口控制工作。
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n

k
k 1
n
2
( k )2 / n
k 1
j n
sign
sign
，则 X
，则 X
数学建模
i
和 X j 为正关联； 和 X j 为负关联。
j n
i
三、优势分析 当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个 时，则需要进行优势分析。 假设有 m 个参考因素， 记为 Y 比较数列， 记为 X
下面我们考虑一个实际问题。某地区有 6 个母因 素 Y 、5 个子因素 X 为
i
j
X 1
：固定资产投资 ：工业投资 ：农业投资 ：科技投资 ：交通投资
Y 1
Y 2
：国民收入
X 2 X 3 X 4 X 5
：工业收入 ：农业收入 ：商业收入 ：交通收入
Y 3 Y 4 Y 5 Y 6
：建筑业收入
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1
1
, Y2 , , Ym ， 再设有 n
个
, X 2 , , X
n
。 显然， 每个参考数列对 n 个
j
比较数列有 n 个关联度， rij 表示比较数列 X 对参考数 设 列 Y 的关联度，可构造关联矩阵 R
i
( rij ) m n 。根据矩阵 R
的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影 响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为
( X (1), X ( 2 ), , X ( n ))
的初始化数列。
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数学建模
二、铅球运动员专项成绩的因素分析 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获 得其 1982~1986 年每年最好成绩及 16 项专项素质和 身体素质的时间序列资料，见下表。
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数学建模
数学建模
其数据列于下表。
1979
X
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
1980 310 189.4 21 25.6 19 174 70.74 70 13.28 4.26 15.6
1981 295 187.2 12.2 23.3 22.3 197 76.8 85.38 16.82 4.34 13.77
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数学建模
应该指出的是，公式（1）中的
X 0 (k ) X i (k )
不能
区别因素关联是正关联还是负关联，可采取下面办法 解决这个问题。记
i
n n n
kX
k 1
i
(k )
n

k 1
X i (k )
k n
k 1

i sign 则当 n
i sign 当 n
2012-9-2 优势因素。 数学建模
再进一步，当某一列元素大于其他列元素时，称 此列所对应的子因素为优势子因素；当某一行元素均 大于其他行元素时，称此行所对应的母元素为优势母 元素。如果矩阵 R 的某个元素达到最大，则此行所对 应的母元素被认为是所有母子因素中影响最大的。
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数学建模
i k i 数学建模 k
X 0 (k ) X i (k )
X 0 ( k ) X i ( k ) max max
X 0 (k ) X i (k )
（1）
为比较数列 X 对参考数列 X 在 k 时刻的关联系数，其
i 0
中 [ 0 , ) 为分辨系数。一般来讲，分辨系数 [ 0 ,1] ， 由（1）容易看出， 越大，分辩率越大； 越小，分 辩率越小。 式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数 列在某时刻关联程度的一种指标， 由于各个时刻都有一 个关联系数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为 此我们给出
1983 14.01 13.00 16.36 12.70 2.49 85 65 70 15.30 18.40 14.50 15.54 7.56 125 85 4"25
1984 14.54 15.15 16.90 13.96 2.56 90 75 75 16.24 18.75 14.66 16.03 7.76 130 90 4"10 12"85
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数学建模
因素分析的基本方法过去主要是采用回归分析 等办法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量 数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以 上弊病， 本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分 析。
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数学建模
一、灰色关联度 选取参考数列
X 0 { X 0 ( k ) k 1, 2 , , n } ( X 0 (1), X 0 ( 2 ), , X 0 ( n ))
指 铅球专项成绩 4 公斤前抛 4 公斤后抛 4 公斤原地 立定跳远 高翻 抓举 卧推 3 公斤前抛 3 公斤后抛 3 公斤原地 3 公斤滑步 立定三级跳远 全蹲 挺举 30 米起跑 100 米
标
X 0 X 1
1982 13.60 11.50 13.76 12.21 2.48 85 55 65 12.80 15.30 12.71 14.78 7.64 120 80 4"20 13"10
从关联矩阵 R 可以看出
2012-9-2 数学建模
1、第 4 行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影 响不大，即商业是一个不太需要依赖外资而能自行发 展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资 多收入的观点看，这是优势； 2、 r 15=0.920 最大，表明交通投资的多少对国民收入 的影响最大； 3、 r 55=0.875 仅次于 r 15，表明交通收入主要取决于交 通投资，这是很自然的；
其中 k 表示时刻。 假设有 m 个比较数列
X i { X i ( k ) k 1, 2 , , n } ( X i (1), X i ( 2 ), , X i ( n )) ( i 1, 2 , , m )
则称
i (k )
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min min
i k
X 0 ( k ) X i ( k ) Biblioteka Baidu max max
X 2 X 3
X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13
X 14 X 15 X 16
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数学建模
13"42
我们对表中的 16 个数列进行初始化处理。 注意， 对于前 14 个数列，随着时间的增加，数值的增加意 味着运动水平的进步，而对后两个数列来讲， 随着时 间的增加，数值（秒数）的减少意味着运动水平的进 步。因此，在对数列 X