清华大学微积分课件(全)x64

即曲线积分是点M ( x, y)的函数, 记作
下面证明f可微, 且 f v
f ( x , y)
( x, y) ( x0 , y0 )
Xdx Ydy
f ( x x, y) f ( x, y)
( x x , y ) ( x0 , y0 )
f f Y ( x , y) X ( x , y ), 首先证明 y x y

由( 2)
L

L
Xdx Ydy
L1
2
Xdx Ydy Xdx Ydy
L1 L 2
Xdx Ydy 0
即在区域D内 曲线积分与路径无关 , 若起点M 0 ( x0 , y0 )固定, 则积分只依赖于
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终点M ( x , y )的坐标.
6
Y X 即 0 ( ( x , y ) D ) x y
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( 2) (1)
在 D 中任意取一条逐段光滑的有向闭曲线 L
用 DL表示L 所包围的区域 ,由格林公式得到
Y X L Xdx Ydy ( x y )dxdy 0 DL
于是沿任意逐段光滑的 有向闭曲线 L 都有
x , [解] X ( x , y) 2 2 x 4y
X 8 xy 2 , 2 2 y ( x 4 y )
ay Y ( x , y) 2 x 4 y2 Y 2axy 2 x ( x 4 y 2 ) 2
(1) 当a 4, L不包围原点时
记L所包围的区域为D
令x 0, 则 x, 于是由X ( x, y)的连续性知
f f ( x x , y ) f ( x , y ) lim lim X ( , y ) x x x 0 x X ( x, y) f Y ( x , y) 同理可证 y
下面证明f ( x, y)在D内可微
x 2 2
u( x, y) e cos y x y c
x 2 2
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[例2] 计算曲线积分
其中L为抛物线 y x 从点( 0, 0)到点B( 2, 4)
2
I ( 2 x 6 y )dx ( 6 x y )dy
2 L
的一段弧. [解] X 2 x 2 6 y, Y 6 x y,
2
则下列命题等价： (1) v X ( x, y)i Y ( x, y) j 是D上的保守场;
( 2) 对D内任一分段光滑的封闭曲线L, 有
X ( x , y )dx Y ( x , y )dy 0 L ( 3) v X ( x, y)i Y ( x, y) j 在D上是有势场. 即存在可微函数 f ( x, y), 使得 f v .
M ( x , y ) N ( x x , y )
( x, y) ( x0 , y0 )
Xdx Ydy
Xdx Ydy
Xdx


M 0
D

( x x , y )
( x, y)
Xdx Ydy
x xoຫໍສະໝຸດ 7xx积分中值定理
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X ( , y)x
X Y y x
X Y Y X 假设在点( x0 , y0 )处, ,即 0 y x x y
Y X 不妨设 k0 x y 由X ( x , y ), Y ( x , y )连续可微知, 存在点( x0 , y0 )的
首先考察向量场是否为保守场
X Y 经计算知 66 0 y x
2
v Xi Yj
( x, y) R
2
所以曲线积分在R 上与路径无关
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取折线OAB路径计算曲线积分 y
I ( 2 x 6 y )dx ( 6 x y )dy
是否为某个二元函数 u( x, y) 的梯度场 ?
若是, 求出 u( x, y )
[解] ( x, y) R , 有
2
X Y x 4 xy e sin y y x
2 2 x
所以 ( e cos y 2 xy )dx ( 2 x y e sin y)dy
x
是某个二元函数u( x, y)的全微分
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如何求 u( x, y) ?
[方法1] : 利用曲线积分求原函数
u( x, y)
( x, y)
( 0, 0 )
( e cos y 2 xy )dx
x 2
( 2 x y e sin y )dy
2 x
因为积分与路线无关 , 选一条特殊的路线
y

M ( x , y)
则 D 为单连通域
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Y X 0, ( x , y) D x y
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v Xi Yj 无旋场 保守场
xdx aydy 2 0 2 L x 4y
y
L L1
D1
( 2) 当a 4, L包围原点时
o
x
利用格林公式

o
u( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 )
M( x , y )
0 0 0
A( x , y0 )
x
Xdx Ydy
y y0
X ( x , y0 )dx Y ( x , y)dy
x0
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x
Y ( x0 , y)dy X ( x , y)dx
因此函数f ( x , y)在D内可微
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f f 由X ( x , y), Y ( x , y)的连续性知, , 在D内连续 x y
f f gradf i j Xi Yj v x y
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( 3) (1) : 由( 3) 存在函数f ( x, y), 使得 f v
L
L1
Y X ( )dxdy 0 x y D1
L1
x cos t 1 y 2 sint


L

2
0
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cos t sint cos t sint dt 0 2 2 cos t sin t 22
( 3) 当a 4时,
f f 即 Y ( x , y) X ( x , y), y x 对任意一条以A为起点, 以B为终点的逐段光滑
有向曲线L, 设其参数方程为
并且
x x( t ), y y( t ) ( t ) A ( x( ), y( )), B ( x( ), y( ))
( e cos y 2 xy )dx ( 2 x y e sin y)dy
x 2 2 x
( e cos ydx e sin ydy)
x x
( 2 xy dx 2 x ydy)
2 2
d ( e cos y) d ( x y )
x 2 2
d ( e cos y x y )


L
Xdx Ydy [ X ( x( t ), y( t )) x( t ) Y ( x( t ), y( t )) y( t )]dt

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df dt f ( B) f ( A) dt
即积分与路径无关！保守场 9
定理 2 : 设 D R 是单连通域. v X ( x , y ) i Y ( x , y ) j 是D上的连续可微
由定理1 推出 v Xi Yj 为保守场
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L Xdx Ydy 0
二、求原函数的方法
（1）利用积分与路径无关
（2）凑微分
（3）求不定积分
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(1) 取折线路径,计算曲线积分求原函数
y
B( x0 , y)

M ( x , y)

通
知
为了予防SARS,近三周对微积分(3)授课学时及授课 方式调整如下：
1.将每周4学时调整为2学时； 2.周三第一大节化工系及散选同学上课，地点不变； 周五第三大节环境系同学上课，地点不变，内容同 周三； 3.取消第十二周的机考。 希望同学们加强防范意识，但不要过度恐慌，同心 协力做好予防工作。
祝同学们身体健康！ 2013-7-28
Xdx Ydy Xdx Ydy 0
L2
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L1
D B
E L
L2
L1
Xdx Ydy 0
L
L1
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( 2) ( 3) :
设 L1 , L2是D内有相同起点M 0 和终点M的任意两条分段光滑
M0
L1
D M
L2 有向曲线 则L L1 L2是一条分段光滑有向封闭曲线
y0 x0
y
x
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[例1] 验证 : x 2 2 x ( e cos y 2 xy )dx ( 2 x y e sin y)dy
2 x 或者等价地 ( e cos y 2 xy )i ( 2 x y e sin y) j
x 2
是否为某个二元函数 u( x, y) 的全微分 ?
[证] (1) ( 2)
由(1) v Xi Yj 是保守场 v Xi Yj 有势函数 f ( x , y ) 由定理1
f X , x f Y y
Y 2 f 2 f X x xy yx y