沪教版初三数学相似三角形教案.docx

姓
王瑜上课时间
2016年 9 月 3 日上午 10：10-12 ：10名
辅导科
数学年级九年级课时
3目
课题名
比例线段、相似三角形
称
1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。

2、理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和教学目
更比定理，会用它们进行简单的比例变形；
标
3、理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会
作第四比例项
教学重
相似三角形的判定与性质
点
教学难
比例的基本性质、相似三角形的判定与性及其应用点
教学及辅导过程
◆考点聚焦
1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决
简单的实际问题．
3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描
出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．
◆备考兵法
1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X 型”“母子型”等．
2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转
化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答
实际问题，注意题目的解一定要符合题意．
3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变
换，是较为常见的考法，要注意训练．
◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成 _________，三个角对应 ________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1.若 DE∥BC（A 型和 X 型）则 ______________．
2.射影定理：若 CD为 Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
2，2，2．则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC
=________CD=_______
BC=__ ____
A E D C
D E A
B C B C A D B
3.两个角对应相等的两个三角形 __________．
4.两边对应成 _________且夹角相等的两个三角形相似．
5.三边对应成比例的两个三角形
___________．三、相似三角形的性
质
1.相似三角形的对应边 _________，对应角 ________．
2.相似三角形的对应边的比叫做 ________，一般用 k 表示．
3.相似三角形的对应角平分线，对应边的 ________线，对应边上的 _______?线的
比等于 _______比，周长之比也等于 ________比，面积比等于 _________．
【历年考点例析】
考点一、比例及有关概念 , 比例的基本性质
例 1①在比例尺是 1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则
它的实际长度约为 ______Km。

②若a
=
2
则
a b
=__________ b 3b
③某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得
自己影子长为 0.8m，立即去测量旗杆的影子长为5m，已知他的身高为1.6m，则旗
杆的高度为 ___m。

随堂练习
页脚内容
(1) 已知x∶y∶z=3∶4∶5，①求x y 的值；②若x+y+z=6，求x、y、z.
z
(2) 已知a、b、c是非零实数，且a b c d k ，求k
b c d a c d b a d a b c
的值 .
(3) 若a、b、c是非零实数，并满足a b c a b c a b c，且 x(a b)(b c)(c a) ，
c b a abc
求 x 的值.
考点二、判断四条线段是否成比例
例1 一个钢筋三角架的三边长分别是20cm、60cm、50cm，现要作一个与其相似的钢筋三角形。

因为只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段 ( 允许有余料 ) 作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？提示 : 分三种 . 有一种不成立 , 只有一种最少 .
考点三比例中项与黄金分割
例 1如图，已知线段AB，点 C 在 AB上，且有 AC:AB=BC:AC，则 AC： AB的数值
为______；若 AB的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持
人应站在 _________位置最好。

A C B
考点四相似三角形的识别(判定)方法
例 1 如图，△ABC中，P为 AB上一点，在下列四个条件下，① ∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB；③ AC2=AP·AB；④ AB·CP=AP·CB。

能得出△ ABC∽△ ACP的是 ()
A.①②④
B.①③A④
C. D.P A D
②③④①②③
G
B C
例 1B
C
F
E
练习 1
练习 1:如图18-6，在□ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交 BC于点 F，那么图中相似的三角形 ( 不含全等三角形 ) 共有 ( )
A. 6对
B. 5对
C. 4对
D. 3对
练习 2: 如图 18-8 ，点 D在△ ABC的边 AB上，满足怎
样的条件时，△ ACD与△ ABC相似？试说明理由。

A
D2
1
练习 3: 在直角梯形 ABCD 中.AD=7 AB=2 DC=3 P 为 AD 上一点 , 以 P 、A 、B 的顶
点的三角形与 P 、D 、C 为顶点的三角形相似 , 那么这样的点 P 有几个 ?为什么 ?
提示 : 分两种 .
A
B
P
D C
练习 3
考点五 相似三角形的特征 ( 性质 ) 的应用
例 1 如
图，在△ ABC 中，DE ∥BC ，CD 、BE 相交于 F ，且 EF
2 ，
A
BF
5
则 DE
AE
＝＿＿＿＿ ，若 DE ＝6，则 BC ＝＿＿。

＝＿＿＿，
BC
EC
D
E
F
B
C
例 1
例2 如图在△ ABC中， AB=AC AD是中线， P 是 AD上一点，过点 C作 CF∥ AB，延
长BP交 AC于点 E，交 CF与点 F，试证明： BP2 =PE·PF
A
F
E
P
B C
D
例 2
练习 1: 如图， EF∥BC，FD∥AB，若 AE＝1.8 ，BE＝1.2 ，CD＝1.4 ，则 BD＝＿＿＿＿＿；若 S△CDF＝1，S△AEF＝4，则 S□BDEF＝＿＿＿＿
A D
A
E
E E N
B
M C
B D C
练习 1
练习 2
练习 2 如图，正方形 ABCD的边长为 2，AE＝EB，MN＝1。

线段 MN的两端在 CB、
页脚内容
上滑动，当 CM＝＿＿＿＿时，△ AED与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？
提示 : 分两种 .
考点六利用相似三角形解决简单的实际问题。

例1 △ABC是一块直角三角形余料，∠ C=90°， AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成一个正方形形状，请你说明用下图中的哪种剪裁方法的利用率高。

例 2 如图 , △ABC中，∠ C=90°，BC=8cm，5AC-3AB＝0，点 P 从 B 点出发，沿 BC方
向以 2m/s 的速度移动，点 Q从 C出发，沿
1m/s 的速度移动。

若 P、Q同时分别从 B、C 多少时间△ CPQ与△ CBA相似？提示 : 分两
A
Q
CA方向以
出发，经过
种.
B
P C
例 2
考点七相似与函数
1
例1 如图 18-16 ，直线 y=
x+2 分别交 x、y 轴于点 A、C，P 是该直线上在第一象
2
限内的一点， PB⊥x 轴， B 为垂足， S△ABP＝9
①求点 P 的坐标；
②设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。

作RT⊥x 轴， T 为垂足，当△ BRT与△ AOC相似时，求点 R 的坐标。

y
P
C
B
x
A O
课后作业
一、选择题
1. 已知点 C是 AB的黄金分割点 (AC >BC)，若 AB=4cm，则 AC的长为（）
(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm(C)( 5 –1)cm
(D)(3- 5 )cm
AD AE
2. 若 D 、E 分别是 ABC 的边 AB 、AC 上的点，且 AB = AC ，那么下列各式中正确的
是（
）
AD DE
AB AE
DB AB
AD AE
(A) DB = BC (B) AD =
AC (C) EC =
AC (D) DB =
AC
3. 若 k a 2b b 2c c 2a
，且 a +b +c ≠0，则 k 的值为（ ）
c a b
(A)-1
(B)
1 (C)1
(D)-
1
2
2
4．如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ，那么下列结论正确的是（ ）
A ． AD
BC ． BC DF ． CD BC ． CD AD
DF CE
B AD
C EF BE
D
AF
CE
EF
A
B
A
C D
D
F
E
B 4 题 C
（第 5 题
5. 如图所示，给出下列条件： ①
③
B ACD ；
② ADC ACB ；
AC AB ； ④ AC 2
AD AB ．
CD
BC
其中单独能够判定 △ ABC ∽△ ACD 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3 D
．4
6. 已知 △ABC ∽△ DEF ，且 AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与 △DEF 的面积之比为（
）
A ．1：2
B ．1：4
C ．2：1
D ．4：1
7. 如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：
（ 1）DE=1，（2）△CDE ∽△ CAB ，（3）△ CDE 的面积与△ CAB 的面积之比为 1：4.
其中正确的有：（）
A．0 个B．1个C．2个D．3个8、如图，已知矩形OABC的面积为100，它的对角线OB与双曲线y k 相交于点D，
3x
且 OB : OD5:3 ，则 k（）．A．6B．12 C．24D．36y
C B
D
O A x
二、填空题
1、已知： x：(x+1)=(1 —x) ：3，求 x=。

5x+y1x x+y
2、已知
3x-2y= 2，则y =,x-y =
;
22y
3、若 x -3xy+2y=0, 求x =
4、若a c e 2 ，求 a c =， 2a3c4e =
b d f 5
b d2b3d 4 f
5、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，
画△ ABC 的位似图形△ A B C ，使△ ABC 与△ A B C 的相似比等于1
，则点 A 的坐标2
为．
6、如图，Rt△ABC中，ACB90°，直线 EF ∥ BD，交 AB 于点 E，交 AC 于点 G，交 AD 于
点若1，CF
F，S△AEG．
S
四边形 EBCG 则
AD
3
7、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成
的三个小三角形△ 、△ 、△ （图中阴影部分）的面积分别是4，9 和 49．则
123
△ABC的面积是．
A
E G F
B
C
D
第 6
8、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边 AC上，记为点B′，折痕为 EF．已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C为顶点的三角形与
△ABC相似，那么 BF的长度是．
A
E B
A
B F C
（第 8 题图）
E
C
F B
第 9 题
9、如图，A、 B 两处被池塘隔开，为了测量A、 B 两处的距离，在AB 外选一适当的点 C ，连接 AC、BC ，
并分别取线段AC、 BC 的中点 E、F ，测得 EF =20m，则 AB =__________m．
10、如图，直线y3x 交双曲线 y k （x 0）于点D，点A在直线上，且OD 2AD，
x
过 A 作AC∥y轴交双曲线y k （x 0）于C，且S△
ACD10，则k_______________．
x
A
y
D
C
O x
三、简答题
1、已知线段x、 y，如果 (x+y) ∶ (x-y) ＝ a∶ b，求 x∶ y.
2、已知： a
＝
c
＝ e ＝ 3( 且有 b+d+f ＝ 0) ，求证：
a c ＝ c e
＝ 3.
bd
f
b d d
f
A
D E
3、如图，在 D ABC 中，已知 DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，
（1）求 AD
的值，（ 2）求 BC 的长
AB
B
C
4、如图 1，在 Rt △ ABC 中， BAC 90°， AD ⊥ BC 于点 D ，点 O 是 AC 边上一点，连
接 BO 交 AD 于 F ， OE ⊥ OB 交 BC 边于点 E ．
（ 1）求证： △ ABF ∽△COE ；
（2）当 O 为 AC 边中点， AC 2 时，如图 2，求 OF AB
OE （ 3）当 O 为 AC 边中点，
AC
n 时，请直接写出
OF
AB
OE
的值；
的值．
B
B
D
D
F
E
F
E
A
O C
A
O C
图 1
图 2
5、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM
交 AC于 F，ME交 BC于 G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4 2，AF＝3，求FG的长．
A M B
G
F
C
D
第 8 题图E
6、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点 G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB6cm，EF4cm ，
求 CD 的长．
D C
E F
A
B G
10
7、如图，已知反比例函数y k （x 0，k是常数）的图象经过点 A (1，4 )，点 B ( m，n )，
x
其中 m 1 ， AM ⊥ x 轴，垂足为M， BN⊥y 轴，垂足为 N ，AM与 BN 的交点为 C ．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
y
A
B
N
O M x。