复旦附中高二期末(2018.06)

复旦附中高二期末数学试卷

2018.06

一. 填空题

1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是

2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是

3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=

4. 在9()2a

x x -的展开式中，3x 的系数为94

，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为

6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为

7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是

8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为

9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是

10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=

11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且

AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当

三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =

12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是

二. 选择题

13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）

A. 336项

B. 337项

C. 338项

D. 1009项

14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）

A. 42

B. 93+

C. 33+

D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）

A. 12个

B. 14个

C. 16个

D. 18个

16. 已知椭圆方程为22

1425

x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩

的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）

A. 21V V =

B. 2132V V =

C. 2154

V V = D. 21,V V 无明确大小关系

三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .

（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.

18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？

（1）3名女生排在一起；

（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；

（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；

（4）每两名女生间至少有两名男生；

（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.

19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.

（1）求平面EFG 的一个法向量；

（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；

（3）求点A 到平面EFG 的距离.

20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.

（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；

（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.

21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .

（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；

（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求

q p

的取值范围.

参考答案

一. 填空题

1. 16

2.

3. 20183

4. 4

5.

6. (2,4)(4,)-+∞U

7.

212ππ

+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题

13. B 14. A 15. B 16. C

三. 解答题

17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；

（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.

19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2

π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).