奥数-绝对值-第4讲师

第四讲 绝对值

一、基础知识

●

绝对值的定义与性质（注意它的非负性）

定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)

a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

性质： ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=|

|||b a （b ≠0）； ④2

22||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

● 绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 ①) a 表示a 点到0点的距离

②) a b -表示a 点到b 点的距离

③) a b +表示a 点到-b 点的距离

● 分类讨论思想（零点分段法）

利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。 例 设a 是有理数，求a a +的值

二、例题

第一部分 定义和性质

例1. 若a,b 为有理数，那么，下列判断中：

（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。正确的是________。（填序号）

解：（4）

例2. 已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______． (第14届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 (1)由已知条件求出a 、b 、c 的值，注意条件a>b>c 的约束；2或0；(2)若注意到9+16=25这一条件，结合绝对值的性质。问题可获解．-7

例3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么|

|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．

A ．0

B ．1或一1

C ．2或一2

D ．0或一2

(2003年山东省竞赛题)

思路点拨 根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． A 例4. 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式

)

2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值. 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a 、b 的值．

20032004

例5. 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？

解：2或3或5或6

例6. 已知|11-x |+|22-x |+|33-x |+…+|20022002-x |+|20032003-x |=0,求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值。

解：6

第二部分 几何意义

例7. 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值

解：当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为-3

例8. 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

例9. 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

解：c-a

例10. 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是

多少？

解：当x=96时，y 取最大值211

例11. 已知a 为有理数，那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值?如果有，试求

出这个最小值；如果没有，请说明理由．

思路点拨 a 在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉,为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值． 解：当a=2时，最小值为4。

第三部分 化简（零点分段法、讨论思想）

例12. 化简

(1)|2x-1|；

(2)|x-1|-|x-3|；

(3)||x-1|-2|+|x+1|．

思路点拨 (1)就2x 一1≥0，2x 一1

解：（1）原式=121(x>=)211-2x(x<)2x ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩；（2）原式=42(1)2(13)24(3)x x x x x -<⎧⎪<=<⎨⎪->=⎩；（3）原式=22(1)22(11)4(13)22(3)

x x x x x x x --<-⎧⎪+-<=<⎪⎨<=<⎪⎪->=⎩ 例13. 化简121x x --++

解：原式22,(1)22,(11)4,(13)22,(3)

x x x x x x x --<-⎧⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩ 例14. 若20a -≤≤，化简22a a ++-

解：4

第四部分 解方程

例15. 解方程 1、4329x x +=+

2、324x x -+=

解：1，x=3或x=-2；2，x=1或x=-1.5

例16. 解下列方程

1、4835x x +-=

2、33258x x x +--=+

解：1，无解；2，133

x =- 三、练习题

1. 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求

2x y x y +-的值 解：-1000

2. a 与b 互为相反数，且|a-b|=54,那么。________1

2=+++-ab a b ab a 解：425

3. 已知|a|=5,|b|=3,且|a －b|=b-a,那么a+b=________.

解：-2或-8

4. 已知a 是任意有理数，则|-a|-a 的值是( )．

A.必大于零

B.必小于零 C ．必不大于零 D ．必不小于零