2.位错的弹性理论解析
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2.4 位错的弹性性质
2.4 位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。
它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。
处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。
从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。
我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。
一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。
位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。
1.位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。
在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。
问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。
在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。
用线性弹性理论处理。
即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。
对此，我们仅作一般性的了解。
2.应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。
物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。
它们是：图1 物体中一受力单元的应力分析σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。
如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。
同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。
平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx，σxz =σzx，σyz =σzy。
同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。
位错受力大小计算
位错受力大小的计算方法及其影响一、引言位错是晶体中出现的线性缺陷，对材料的力学性能和变形行为具有重要影响。
为了深入理解位错的性质和行为，我们需要研究位错受力的大小及其影响因素。
本文将详细介绍位错受力大小的计算方法，并分析位错受力对材料性能的影响，以期为相关研究和应用提供参考。
二、位错受力的基本概念位错受力是指晶体中的位错在受到外力作用时所产生的力。
根据位错的类型和晶体结构的不同，位错受力的大小和方向也会有所不同。
位错受力的大小可以通过实验测定或理论计算得到，是研究位错行为和材料性能的重要手段。
三、位错受力大小的计算方法1. 弹性理论计算法：弹性理论计算法是一种基于弹性力学理论的计算方法，可以用来预测位错受力的大小。
该方法通过求解晶体中位错的应力场和位移场，得到位错受力的大小和方向。
这种方法适用于简单晶体结构和规则位错的情况，可以得到较为准确的结果。
2. 原子模拟法：原子模拟法是一种基于计算机模拟的计算方法，可以用来模拟晶体中位错的行为和受力情况。
该方法通过建立晶体和位错的原子模型，运用分子动力学或蒙特卡罗等方法进行模拟计算，得到位错受力的大小和方向。
这种方法适用于复杂晶体结构和不规则位错的情况，可以得到较为详细的结果。
3. 实验测定法：实验测定法是一种直接测定位错受力大小的方法，可以通过对晶体施加外力并观察位错的移动情况来测定位错受力的大小。
该方法需要使用高分辨率显微镜或电子显微镜等设备进行观察，可以得到较为直观的结果。
四、位错受力对材料性能的影响1. 强度：位错受力对材料的强度具有重要影响。
当晶体中存在大量位错时，位错之间的相互作用会导致晶体强度的增加。
但是，如果位错密度过高，会导致晶体变形不均匀，从而降低材料的强度。
因此，在位错密度的控制上需要寻求平衡。
2. 塑性：位错受力对材料的塑性也有重要影响。
当晶体受到外力作用时，位错的移动会导致晶体的塑性变形。
如果位错移动受到阻碍，会导致晶体出现脆性断裂。
材料科学基础_第三章__晶体的缺陷(五)位错的弹性性质
采用直角坐标
取代Displacement:
ux 0
uy 0
uz
b
2
b
2
tg 1 (
y )
x
线应变Strain:
x
dux dx
0
y
duy dy
0
z
duz dz
0
xy( 12)
ux y
uy x
0
xz
uz x
ux z
b y
2 ( x2
y2)
yz
uz y
uy z
b x
2 ( x2
y2)
Stresses: s x x s yy s zz xy yx 0
xy
2
Gb
(1
)
x( x2 y2 ) (x2 y2 )2
zx zy 0
zx z刃y 型0位错周围的应力场
sx
Gb
2 (1 )
y(3 x 2 (x2
y2) y2 )2
s
y
Gb
2 (1
)
y( x2 y2 ) ( x2 y2 )2
s z (s x s y )
xy
Gb
有些材料常数 GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa 工程上用 kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何 形状和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变 （Strain）。材料发生形变时内部产生了大小相等但 方向相反的反作用力抵抗外力．把分布内力在一点的 集度称为应力（Stress），应力与微面积的乘积即微 内力．或物体由于外因（受力、湿度变化等）而变形 时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵 抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回 复到变形前的位置。
位错弹性性质
b ds 2 T sin d 2
ds rd
sin d 22
T Gb 2 ( 弯曲位错 2Βιβλιοθήκη Gb 2r0 .5)
位错弹性性质
5.位错的应力场及与其他缺陷的交互作用
位错的应力场 刃位错上面的原子处于压应力状态，为压应力场; 刃位
错下面的原子处于张应力状态，为张应力场;垂直于位错 线的任一截面上应力分量均相同。
的现象，柯氏气团的形成对位错有钉扎作用，是固溶强化 的原因之一。
位错与空位的交互作用 导致位错攀。高温下十分重要 位错弹性性质
位错与位错的交互作用
f=τb ，f=σb （刃位错）。
同号相互排斥，异号相互吸引。(达到能量最低状态。)
位错弹性性质
§3.2 .4 位错的生成与增殖
一、位错的生成
晶体中的位错来源主要可有以下几种。 （一）晶体生长过程中产生位错。其主要来源有：
位错弹性性质
弗兰克不全位错
弗兰克不全位错的形成：在完整晶
与抽出型层错联系的不全位错通常称负弗兰克不全位错；
体中局部抽出或插入一层原子所形 成。（只能攀移，不能滑移。）
而与插入型层错相联系的不全位错称为正弗兰克不全位错； 弗兰克位错属纯刃型位错。
位错弹性性质
图 正弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
图 负弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
（2）刃位错的应力场
图 刃位错周围的应力场
位错弹性性质
刃位错的应力场的特点： 同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大 小与G和b成正比，与r成反比。 各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在平 行与位错的直线上，任一点的应力均相同。 在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达 到极大值。 正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉 应力。 x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线 处，只有σxx。
第二章 位错的弹性性质A0318
t
t
Fd
t
Fd
t
若在外正应力 的作用下，对刃型位错来说，会在垂直 于滑移面的方向运动，即发生攀移，也称为攀移力(climb force) Fy。 Fy = - b
Fy 的方向与位错线攀移方向一致 为拉应力时，Fy向下
Fy
公式推导
外力τ使长为l的位错移动了ds， τ作功dw1
dw1 (t l ds)b
位错间的作用力
通过彼此的应力场实现：
1）两平行螺位错的交互作用
由于应力场中只有切应力分量，所以只受到径向作用力fr：
fr
t1b2
Gb1b2
2 r
排斥
吸引
2）两平行刃位错的交互作用
在位错e1的应力场中存在切应 力和正应力，分别导致e2沿x方 向滑移和沿y方向攀移
沿x方向的切应力分量（滑移）：
dW
1 2
z
z
dV
dV 2r dr L
z
Gb
2r
z
b
2r
dW 1 Gb b 2r dr L 2 2r 2r
Gb 2 dr L
4r
3 作用在位错上的力 force on a dislocation
在外切应力 t 的作用下，位错的移动可以理解为有一个垂直于位错线 的力 Fd 作用于位错线上。Fd = t b
结果：
应变：y
b
2r
— —仅轴向有应变
应力： z
z
Gz
Gb
2r
rr zz r r ry yr 0
晶体缺陷5-位错的弹性性质
1）单位长度位错线的应变能U为：
U＝αGb2
取值中限0.75
＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2
＝18.75×10－10J/m
2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为： U＝18.75×10－10×1011 ＝187.5J/cm3
换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为： U＝（187.5/8.9）J/g
4
ln r0
3、混合位错的弹性能
U刃
1
1
U螺
3 2 U螺
U混
Gb2
4k
ln
R r0
Gb2
其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1
结论
UT U el Gb 2
（1）总应变能 UT=U0+Uel
Uel∝lnR/r0
长程,
U0
1 10
UT
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢
似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即 tz t z
t z t θz
t z t θz
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，
便能看出在离开中心r处的切应变为
t z
t z
G
Gb
2r
b 2 r
yL
r0
z
r P tz θ t z b
t z
L
x
过P点取平面展开
t z
b
2 r
P
z
t z t z
t z
课前复习
1.什么是应力，其表达式是什么？
应力是作用在单位面积上的力 σ＝F/A
2.螺位错应力场的应力分量的极坐标表示。
0 0
第二章 位错的弹性行为.ppt
s xx t xy t xz
t yx s yy t yz
t
zx
t zy
s
zz
s rr t r t rz t r s t z t zr t z s zz
返回
• 平衡状态，有切应力互等定 律。否则六面体将发生转动。
t yx t xy t xz t zx t yz t zy t r t r t rz t zr t z t z
第二章 位错的弹性行为
位错的弹性交互作用 与材料强度的关系
返回
章目录:
2.1 位错的应力场与应变能 2.2 位错的受力与交互作用 2.3 位错的运动与增殖 2.4 实际晶体中的位错
返回
2.1 位错的应力场与应变能
一、应力场
1、应力分量 • 弹性体受力后，其内部各点
处的应力状态不同。为了研 究物体内应力随位置的变化 规律，首先取坐标定位。
x
★ 显然两根平行的同号螺位 错将排斥。异号位错将吸 引，最后消失。
返回
s xx t xy 0 t yx s yy 0
2、平行刃位错间的作用力（只考虑滑移力） 0 0 s zz
• 刃位错应力场中,有σxx 、σyy 、 σzz，它们只能引起第二根位错 发生攀移，不考虑。
• 还有τxy和τyx两个切应力分量，
• 虎克定律是联系应力与应变的桥梁
s E t Gr
y
b
tyx
yx
b a
t
yx
Gb a
a
x
z
返回
2、螺位错的应力场
• 在位错中心区域应变很大，不能用虎克定律讨论，只有在较远处 才能用其作近似讨论。
• 取各向同性的空心圆柱体，圆柱中线选为z轴，沿xz平面切开后,
2 章 位错的弹性理论
正负号：正面正方向为正，负面负方向为正。 正面负方向为负，负面正方向为负。
由于位错产生的畸变往往具有
轴对称性，有时采用圆柱坐标 系更为方便，如图2.2所示 。 某一点M的直角坐标可用圆柱 坐标表示为： x=rcosθ, y=rsinθ, z=z
反之，圆柱坐标也可用直角坐
图2.2 直角坐标和圆柱坐标 的关系
长度拉长（△l>0）的同时要变细（△d<0），
所以前边加负号，以使ν 为正值。
3. 平衡微分方程
为研究物体的平衡问题，取一小的平行六面微
分体进行研究，其受力情况见图2.5。其六个面 垂直于各轴，棱边的长度分别为dx，dy，dz。
作用在前后两面上的 应力相差是 xx dx ， x 其余类推。 作用在微分六面体上 的体积力为： Xdxdydz，Ydxdydz， Zdxdydz。
5. 应力与应变的关系
设弹性体为均匀各向同性，当σ < σ e时，符合
胡克(Hooke)定律： 用σ 表示ε ： xx 1 xx yy zz
yy
E 1 yy xx zz E 1 zz xx yy E 1 xy 2 1 xz 2 1 yz 2
1. 弹性体(Elastic Solid)及弹性连续介质 去掉外力后恢复原状的物体称为弹性体。 弹性连续介质是对晶体作了简化假设之后提出的模型， 用它可以推导出位错的应力场及有关弹性参量函数。 这个模型对晶体作了如下假设： 1）完全服从胡克定律，即不存在塑性变形； 2）是各向同性的； 3）为连续介质，不存在结构间隙。 显然，这样的假设是不符合晶体实际情况的。因为晶 体的质点不是连续分布的；晶体中也不存在完全没有 塑性变形的情况；至于各向异性更是晶体的一个特征。 但是对晶体作这样的简化之后，推导出的弹性力学函 数，除了对位错中心存在严重畸变的区域不适用外， 对大部分存在弹性变形的点阵区域都是合适的。
位错理论3-位错的弹性性质资料
x2
x
y2
s xx s yy s zz s xy s yx 0
11
Stress field of screw dislocation ➢螺位错应力场特点：
只有切应力（ sqz、szq分量），无正
应力分量 应力场对称于螺位错的位错线——轴
对称：切应力分量大小只与距位错线 中心的距离r有关，与q无关。
➢ 因为只有sqz和eqz：
➢ 所以：
W V
1 2
s
qz
e qz
1 Gb
2 2r
b
2r
Gb 2
8 2r 2
➢ 考虑位错微元：半径为r，厚度dr，长度L的管
状体元
dW
1 2
s
eqz qz
dV
1 2
Gb
2r
b
2r
d (2r dr L)
Gb 2L
4r
dr
➢ 设位错中心半径为r0,应力场范围半径为R，所
s ii s ij
Eeii Geij
G
E
2(1
)
6
目录
➢弹性理论基础 ➢位错的应力场 ➢位错的应变能 ➢位错所受的力 ➢位错的线张力 ➢位错间的相互作用力
7
Stress field of dislocation
➢ 位错晶格畸变应力场 ➢ 以位错中心的某点为定点，应力场描述为：
or
4
Basis of elasticity theory
➢应变分量（应变张量strain tensor）：
➢只err,有eq6q个, e独zz, 立erq分, e量rz,：eqez；xx, eyy, ezz, exy, exz, eyz；
第3章晶体缺陷(3)-位错的运动与弹性性质
一、位错运动的方式
位错在晶体中运动有两种方式：滑移和攀 移，其中滑移最为重要。
攀移
滑移
1、位错的滑移
图 刃型位错与螺型位错的滑移
图 刃型位错滑移导致晶体塑性变形的过程 图 螺型位错滑移导致晶体塑性变形的过程
位错的滑移是在切应力作用下进行的，只有
当滑移面上的切应力分量达到一定值后位错才能 滑移。
图 位错的线张力
b ds 2T sin d
2
ds rd
sin d
22
T Gb2 (弯曲位错 0.5)
2
Gb
2r
保持位错线弯曲所需的切应力与曲率半径成反比。
4、作用在位错上的力
刃型位错的切应力方向垂直与位错线； 螺型位错的切应力方向平行于位错线； 使位错攀移的力为正应力。
（3）位错墙。一系列同号位错在垂直于滑移 面的方向排列起来，上方位错的拉应力场与下方 位错的压应力场相重叠而部分抵消。
本节重点与难点
1、位错的运动——滑移与攀移； 2、位错运动的交割； 3、位错的割阶与扭折； 4、位错与点缺陷、其它位错的作用； 5、位错的应力场、应变能、线张力、作用在
位错上的力。
F b 位错滑移时的力
F b 位错攀移时的力
力的方向与位错线运动方向一致，垂直于位错线方向。
四、位错与其他缺陷的交互作用
1、位错与点缺陷的交互作用
（1）柯氏气团：通常把溶质原子与位错交互作用后， 在位错周围偏聚的现象成为柯氏气团；气团的形成对位错 有钉扎作用，是固溶强化的原因之一；当溶质原子分布在 位错周围时使位错的应变能下降，这样位错的稳定性增加 了，位错由易动变得不容易移动，使晶体的塑性变形抗力 （屈服强度）提高。
位错的弹性性质
z
而相应的切应力便为
b 2r
z z G z
Gb 2r
G称为剪切模量，其余应力分量均为0。
rr zz r r rz zr 0
若用直角坐标表示
螺型位错的应力场具有以下特点：
（1）只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错 不引起晶体的膨胀和收缩。
第二个下标代表应力方向。
例如
xy
表示作用在x面上沿y轴方向的应力（所谓x 面就是外法线沿x轴方向的平面。
x x , y y 和 z z 三个正应力通常简写为 x , y 和 z
从以上讨论可知，要确定一点的应力状态，需要给出通 过该点的3个正交平面上的9个应力分量。
x , x y , x z , பைடு நூலகம் y , y x , y z , z , z x , z y
体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就 是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。 如果作用力平行于作用面，则此力称为剪力（切力），单 位面积上的剪力就称为剪应力，它力图改变物体的形状，而不
改变体积。
在一般情形下，作用力和作用面即不垂直，也不平行，此 时它所引起的应力就可以分为正应力和剪应力 。
物体中任意一点的应力状态均可用九个应力分量描述，图分
别用直角坐标和圆柱坐标说明这九个应力分量的表达方式。
(a)直角坐标； (b)圆柱坐标的正应力及切应力表示办法 物体中一点(图中放大为六面体)的应力分量
下面我们讨论应力的标注方 法及其意义。
表示正应力， 表示剪应力。
不同面和方向的应力下标区别， 第一个下标代表应力的作用面，
的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的
位错的弹性性质
z z
式中G为剪切模量。
Gb G z 2r
由于圆柱只在Z方向有位移，X和Y方向无位移， 所以其余应力分量均为0。
rr zz 0 r r rz zr 0
如果采用直角坐标系表示，则如式(7-15)。
xx yy zz 0 xy yx 0
(1) 位错的应力场 从材料力学知识，我们已知固体中任一点的应 力状态可用下图所示的9个应力分量来表示： 正应力分量：
xx , yy , zz
剪切应力分量：
xy , yz , zx yx , zy , xz
单元体各面上的应力描述
要准确地对晶体中位错周围的弹性应力场进行
定量计算是复杂而困难的，为简化起见，通常采用
弹性连续介质模型来进行计算。该模型作了以下假
设：
a. 晶体是完全弹性体； b. 晶体是各向同性的； c. 晶体中没有空隙，由连续介质组成。因此晶体 中的应力应变是连续的，可用连续函数表示。
① 螺型位错的应力场
力学模型：取外半径 为R，内半径为r0的各向同 性材料的圆柱体，圆柱中 心线作为z轴坐标，将圆柱 沿xoz面切开，使切面沿z 轴方向相对位移b，再把 切面粘起来，这样在圆柱 体内就产生了一个螺位错。
Fr zb2
Gb1 把 z 代入，则有： 2r
Gb1b2 Fr 2r
结论：同号位错相互排斥，异号位错相互吸引。它们 之间的作用力服从牛顿第三定律。
② 两平行刃位错的交互作用
两平行刃位 错的交互作 用
位错I位于坐标原点，位错II在点(x,y)处。由刃 位错的应力场公式可求得位错II受到的滑移力Fx和 攀移力Fy：
2）切应力径向对称分布：在包含位错线的任 何径向平面上切应力都是 z 趋于0，与θ角无关。 当r趋于0时，τθZ趋于无穷大，显然与实际情 况不符。因此，在制作连续介质模型时要去掉中心 部分的原因。通常把r0取为0.5~1nm。
东北大学材料科学基础_第三章__晶体的缺陷(五)位错的弹性性质
复习 应力
一、应力：
受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。
P1 P2 2 mΔ A
K
ΔF
P P3 3
P P4 4
K
Fk
s
m
F Fk A0 A lim
控制 Fk 复杂，按理论力学上分成两个分量
Fk
剪应力 MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
（a） 直角坐标系（xyz）
3个正应力分量(σxx， σyy σzz) 和 6个切应力分量 (τxy=τyx, τyz=τzy , τxz=τzx ) ； 下标中第1个字母表示应力 作用面的外法线方向 ，第 2字母表示应力的指向。
（b） 圆柱坐标系(
r z )
3 个正应力分量 (σθθ、
σzz、σrr) 和六个切应力分量
c. 单位长度混合位错的应变能：3.15式（P99）
简化上述各式得3.16式
结论：(P100)
(1) －(5)
（1） 刃型位错We 假设 x→x+dx ，那么 b'→ b'+db'.
Gb x( x 2 y 2 ) xy 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
zx zy 0
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 )2
zx zy 0
y2 ) )2
zx zy 0
刃位错应力场特点： ① 正应力分量和切应力分量同时存在。 ② 各应力分量都是x、 y的函数，而与z无关。 ③ 应力场以多余半原子面对称。 ④ y=0时, σ=0只有切应力而无正应力,切应力最大值Gb/[2(1υ)x] ⑤ y>0 时, σxx<0；y<0时, σxx>0 。说时正刃位错滑移面上部 受压,下部分受拉。 ⑥ 应力场中任意一点位置, |σxx| > |σyy| ⑦ x = ±y时及y轴上 σyy = τxy = 0，说明在直角坐标系中的对 角线处只有σxx ,而且在每条对角线的两侧, τxy及σyy 的符号相 反。 ⑧ 上述公式不能适用于刃位错的中心区。
2.位错的弹性理论
x y z
➢单元体运动时：
xx
x
yx
y
zx
z
X
2ux t 2
xy
x
yy
y
zy
z
Y
2uy t 2
xz
x
yz
y
zz
z
Z
2uz t 2
4. 应变与位移的关系
xx
ux x
,yy
uy y
,zz
uz z
xy
1 (ux 2 y
uy x
)
1 2 xy
xz
1 (ux 2 z
uz x
)
1 2 xz
zz
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型：
不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中
优点：模型简单
缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux,u y,uz
(2) 由位移确定
xx yx zx 0
x y z
考虑应力-应变-位移关系
xy yy zy 0
x y z
xz yz zz 0
x y z
➢ 用位移分量表示的平衡方程
2ux
1 1 2v
x
0
2uy
1 1 2v
y
0
2uz
1 1 2v
z
0
其中：
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
xx
yy
r x2 y2
2.P-N位错的能量
W =We+Wm
➢单元体运动时：
xx
x
yx
y
zx
z
X
2ux t 2
xy
x
yy
y
zy
z
Y
2uy t 2
xz
x
yz
y
zz
z
Z
2uz t 2
4. 应变与位移的关系
xx
ux x
,yy
uy y
,zz
uz z
xy
1 (ux 2 y
uy x
)
1 2 xy
xz
1 (ux 2 z
uz x
)
1 2 xz
zz
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型：
不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中
优点：模型简单
缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux,u y,uz
(2) 由位移确定
xx yx zx 0
x y z
考虑应力-应变-位移关系
xy yy zy 0
x y z
xz yz zz 0
x y z
➢ 用位移分量表示的平衡方程
2ux
1 1 2v
x
0
2uy
1 1 2v
y
0
2uz
1 1 2v
z
0
其中：
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
xx
yy
r x2 y2
2.P-N位错的能量
W =We+Wm
位错的弹性性质
9
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
3
三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
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2
二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
3
三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
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2
二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
《材料科学基础》课件3.2.4位错的弹性性质
fy
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )32
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )2
2
1
4
3
2
1
4
平行刃位错和螺位错间的交互作用 因为平行的刃位错和螺位错的应力场没有重叠的分量，所
以，它们间的交互作用为零。
ES
Gb 2
4
ln
R r0
(2) 刃型位错应变能
单位长度刃型位错应变能
Ee
Gb2
4 (1
v)
ln
R r0
（3）混合位错的应变能
设混合位错的柏氏矢量b与位错线交角为θ，则：
be b sin, bs b cos
EM Ee ES
Gb2 sin2 lnR Gb2 cos2 lnR
4(1r) r0
a) 位错的应力场 位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产 生应力场。 （1）位错中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围 （2）中心区外，应力场用各向同性连续介质弹性理论来处理。 （3）分析位错应力场时，常设想把中心区挖去，而在中心区以 外的区域采用弹性连续介质模型导出应力场公式。 假设：1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；
定量计算2个位错间交互作用力的简单方法：把其中一个位错 （A）的应力场看作是另一位错（B）的“外加应力场”，这应力 场对B位错的作用力就是A位错对B位错的作用力。
两个平行螺位错间的交互作用
➢ S1和S2是2个平行z轴的螺位错，它们的柏氏矢量分别为b1和b2， S1位错在z轴， S2位错处在(r,θ)处。
如果作用力平行于作用面，则此力为剪力（切力），单位 面积上的切力被称为切应力。它力图改变物体的形状，而不 改变体积。
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6.以位移分量表示平衡方程
静力平衡，无体积力
xx yx zx 0 x y z xy yy zy 0 x y z xz yz zz 0 x y z
考虑应力-应变-位移关系
用位移分量表示的平衡方程 1 2 ux 0 1 2v x 1 2 uy 0 1 2v y
变形后的形状变化
5. 应力与应变关系
1 εxx [σxx (σyy σzz )] E 1 εyy [σyy (σxx σzz )] E 1 εzz [σzz (σxx σyy )] E 1 εyz σyz 2G 1 εzx σzx 2G 1 =σzr = 0 θθ rθ σ = Gb θz 2πr ε = b θz 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场及模型
xx yy zz
y(3x2 +y 2 ) D (x2 +y2 )2 y(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) (xx yy ) x(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) Gb 2( 1- )
1 uz 0 1 2v z 其中：
2
2 2 2 , xx yy zz x y z
2 2 2 2
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型： 不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
或者
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz σzz =λε xx +λε yy + (λ+ 2G)ε zz σxy = 2Gεxy σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz E 其中G = 2(1 +ν) νE 2G ν = (1 ν )(1 2 ν ) (1 - 2ν)
螺位错应力应变场分布
ε xx =ε yy =ε zz =ε yx = 0 b y 4π x 2 + y 2 b x ε yz = 4π x 2 + y 2 ε xz = σxx =σyy =σzz =σyx = 0 Gb y 2π x 2 + y 2 Gb x σyz = 2π x 2 + y 2 没有正应力和正应变，只有切应力和切应变 σxz = -
2 2
xz zz uz Z 2 x y z t
4. 应变与位移的关系
xx xy xz yz uy ux uz ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 ( ) yz 2 z y 2
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中 优点：模型简单 缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux ,u y ,uz (2) 由位移确定 uy ux uz xx ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 xy ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 xz ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 yz ( ) yz 2 z y 2 (3) 由胡克定律求出
2.应力分布与z无关；
3. y>0处为压应力 y<0处为拉应力 4.滑移面（y=0）只有切 应力；
第二章 位错的弹性理论
位错具有应力场
弹性应力场可由弹性理论计算
包含弹性应力场、能量、线张力、相互
作用力等内容
2.1 弹性力学基本知识 1.弹性连续介质
基本假设： 变形服从胡克定律 是各向同性的 介质完全连续，无结构间隙
已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域
2.记号 （1）应力 用应力均匀分布的六面体单元表示应力
xx yx zx X 0 x y z xy yy zy Y 0 x y z xz yz zz Z 0 x y z
单元体运动时：
2u x xx yx zx X 2 x y z t xy x yy y yz zy z Y 2u y t
rr zz
sin D r (rr ) cos r z 0
r D rz
xz zx yz zy 0 xy yx
其中：D=
进一步可由胡克定律求出 应变
刃型位错的应力场分布
1.同时存在正应力分量与 切应力分量；
Mx 0 My 0 Mz 0 Fx 0 Fy 0 Fz 0
单元体受力情况
力矩平衡微分方程
由 Mx 0 可得：
yz zy
同理： xy yx
zx xz 即切应力互等
力平衡微分方程
单元体静止时(存在体积力)：
正面正方向为正 负面负方向为正
单元体上的应力分量
其余应力为负
与单元体有关的坐标变换
（2）应变 l ii 正应变 l 伸长为正，缩短为负
ij 切应变 两方向间直角变小为正，变大为负
（3）位移 ux , u y , uz 沿坐标轴正向为正，负向为负
3.平衡微分方程
单元体平衡时