2.位错的弹性理论解析
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xx yx zx X 0 x y z xy yy zy Y 0 x y z xz yz zz Z 0 x y z
单元体运动时：
2u x xx yx zx X 2 x y z t xy x yy y yz zy z Y 2u y t
2.应力分布与z无关；
3. y>0处为压应力 y<0处为拉应力 4.滑移面（y=0）只有切 应力；
Mx 0 My 0 Mz 0 Fx 0 Fy 0 Fz 0
单元体受力情况
力矩平衡微分方程
由 Mx 0 可得：
yz zy
同理： xy yx
zx xz 即切应力互等
力平衡微分方程
单元体静止时(存在体积力)：
或者
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz σzz =λε xx +λε yy + (λ+ 2G)ε zz σxy = 2Gεxy σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz E 其中G = 2(1 +ν) νE 2G ν = (1 ν )(1 2 ν ) (1 - 2ν)
rr zz
sin D r (rr ) cos r wenku.baidu.comz 0
r D rz
xz zx yz zy 0 xy yx
其中：D=
进一步可由胡克定律求出 应变
刃型位错的应力场分布
1.同时存在正应力分量与 切应力分量；
第二章 位错的弹性理论
位错具有应力场
弹性应力场可由弹性理论计算
包含弹性应力场、能量、线张力、相互
作用力等内容
2.1 弹性力学基本知识 1.弹性连续介质
基本假设： 变形服从胡克定律 是各向同性的 介质完全连续，无结构间隙
已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域
2.记号 （1）应力 用应力均匀分布的六面体单元表示应力
柱坐标下：
σrr =σ =σzz =σ =σzr = 0 θθ rθ σ = Gb θz 2πr ε = b θz 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场及模型
xx yy zz
y(3x2 +y 2 ) D (x2 +y2 )2 y(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) (xx yy ) x(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) Gb 2( 1- )
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中 优点：模型简单 缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux ,u y ,uz (2) 由位移确定 uy ux uz xx ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 xy ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 xz ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 yz ( ) yz 2 z y 2 (3) 由胡克定律求出
2 2
xz zz uz Z 2 x y z t
4. 应变与位移的关系
xx xy xz yz uy ux uz ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 ( ) yz 2 z y 2
6.以位移分量表示平衡方程
静力平衡，无体积力
xx yx zx 0 x y z xy yy zy 0 x y z xz yz zz 0 x y z
考虑应力-应变-位移关系
用位移分量表示的平衡方程 1 2 ux 0 1 2v x 1 2 uy 0 1 2v y
1 uz 0 1 2v z 其中：
2
2 2 2 , xx yy zz x y z
2 2 2 2
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型： 不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
正面正方向为正 负面负方向为正
单元体上的应力分量
其余应力为负
与单元体有关的坐标变换
（2）应变 l ii 正应变 l 伸长为正，缩短为负
ij 切应变 两方向间直角变小为正，变大为负
（3）位移 ux , u y , uz 沿坐标轴正向为正，负向为负
3.平衡微分方程
单元体平衡时
螺位错应力应变场分布
ε xx =ε yy =ε zz =ε yx = 0 b y 4π x 2 + y 2 b x ε yz = 4π x 2 + y 2 ε xz = σxx =σyy =σzz =σyx = 0 Gb y 2π x 2 + y 2 Gb x σyz = 2π x 2 + y 2 没有正应力和正应变，只有切应力和切应变 σxz = -
变形后的形状变化
5. 应力与应变关系
1 εxx [σxx (σyy σzz )] E 1 εyy [σyy (σxx σzz )] E 1 εzz [σzz (σxx σyy )] E 1 εyz σyz 2G 1 εzx σzx 2G 1 εyy σxy 2G
单元体运动时：
2u x xx yx zx X 2 x y z t xy x yy y yz zy z Y 2u y t
2.应力分布与z无关；
3. y>0处为压应力 y<0处为拉应力 4.滑移面（y=0）只有切 应力；
Mx 0 My 0 Mz 0 Fx 0 Fy 0 Fz 0
单元体受力情况
力矩平衡微分方程
由 Mx 0 可得：
yz zy
同理： xy yx
zx xz 即切应力互等
力平衡微分方程
单元体静止时(存在体积力)：
或者
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz σzz =λε xx +λε yy + (λ+ 2G)ε zz σxy = 2Gεxy σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz E 其中G = 2(1 +ν) νE 2G ν = (1 ν )(1 2 ν ) (1 - 2ν)
rr zz
sin D r (rr ) cos r wenku.baidu.comz 0
r D rz
xz zx yz zy 0 xy yx
其中：D=
进一步可由胡克定律求出 应变
刃型位错的应力场分布
1.同时存在正应力分量与 切应力分量；
第二章 位错的弹性理论
位错具有应力场
弹性应力场可由弹性理论计算
包含弹性应力场、能量、线张力、相互
作用力等内容
2.1 弹性力学基本知识 1.弹性连续介质
基本假设： 变形服从胡克定律 是各向同性的 介质完全连续，无结构间隙
已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域
2.记号 （1）应力 用应力均匀分布的六面体单元表示应力
柱坐标下：
σrr =σ =σzz =σ =σzr = 0 θθ rθ σ = Gb θz 2πr ε = b θz 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场及模型
xx yy zz
y(3x2 +y 2 ) D (x2 +y2 )2 y(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) (xx yy ) x(x2 -y 2 ) D 2 2 2 (x +y ) Gb 2( 1- )
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中 优点：模型简单 缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux ,u y ,uz (2) 由位移确定 uy ux uz xx ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 xy ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 xz ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 yz ( ) yz 2 z y 2 (3) 由胡克定律求出
2 2
xz zz uz Z 2 x y z t
4. 应变与位移的关系
xx xy xz yz uy ux uz ,yy ,zz x y z uy 1 ux 1 ( ) xy 2 y x 2 uz 1 ux 1 ( ) xz 2 z x 2 uz 1 uy 1 ( ) yz 2 z y 2
6.以位移分量表示平衡方程
静力平衡，无体积力
xx yx zx 0 x y z xy yy zy 0 x y z xz yz zz 0 x y z
考虑应力-应变-位移关系
用位移分量表示的平衡方程 1 2 ux 0 1 2v x 1 2 uy 0 1 2v y
1 uz 0 1 2v z 其中：
2
2 2 2 , xx yy zz x y z
2 2 2 2
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型： 不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
正面正方向为正 负面负方向为正
单元体上的应力分量
其余应力为负
与单元体有关的坐标变换
（2）应变 l ii 正应变 l 伸长为正，缩短为负
ij 切应变 两方向间直角变小为正，变大为负
（3）位移 ux , u y , uz 沿坐标轴正向为正，负向为负
3.平衡微分方程
单元体平衡时
螺位错应力应变场分布
ε xx =ε yy =ε zz =ε yx = 0 b y 4π x 2 + y 2 b x ε yz = 4π x 2 + y 2 ε xz = σxx =σyy =σzz =σyx = 0 Gb y 2π x 2 + y 2 Gb x σyz = 2π x 2 + y 2 没有正应力和正应变，只有切应力和切应变 σxz = -
变形后的形状变化
5. 应力与应变关系
1 εxx [σxx (σyy σzz )] E 1 εyy [σyy (σxx σzz )] E 1 εzz [σzz (σxx σyy )] E 1 εyz σyz 2G 1 εzx σzx 2G 1 εyy σxy 2G