【精准解析】山东省烟台市第三中学(等级赋分)2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

【点睛】等比数列的判定方法
(1)定义法：若
an1 an
q(q
为非零常数)，则{an} 是等比数列；
(2)等比中项法：在数列{an} 中， an
0
且
a2 n1
an aa 2
，则数列{an} 是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an cqn (c, q 均是不为 0 的常数)，则{an} 是等比数
n 1
C. 2n 2
【答案】A 【解析】
【分析】
裂项得到
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
，计算前
n
项和，化简得到答案.
n 1 D. n 2
【详解】
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
前
n
项和为：
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
...
1 n
n
Leabharlann Baidu1
2
1 2
1 1
1 2
1 n 1
n
1
x 1
x 1
x 1
当且仅当
x 1
1
，即
x 1
x
2 时等号成立
∴
x
1 x 1
的最小值为 3 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中 “物不知数问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯
列；
(4)前 n 项和公式法：若数列{an} 的前 n 项和 Sn kqn k(q 0, q 1, k 为非零常数)，则
{an} 是等比数列.
4.已知
x
1 ，则
x
1 x 1
的最小值为（
）
2
A. 4
B. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
配凑、利用基本不等式可得到答案.
C. 2
D. 1
【详解】当 x 1 时， x 1 x 1 1 1 2 x 1 1 1 3
C. 136
D. 137
【分析】
由题意得出 an 15n 14 ，求出 an 15n 14 2019 ，即可得出数列的项数.
【详解】因为能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数，故 an 15n 14 .
由 an 15n 14 2019 得 n 135 ，故此数列的项数为135 ，故答案为 B.
2
4
3n2 5n 4(n 1)(n 2)
故选 A
【点睛】本题考查了数列的前
n
项和，变换
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
是解题的关键.
8.在各项均为正数的等比数列an 中 a6 3 ，则 4a4 a8 （ ）
A. 有最小值 12
B. 有最大值 12
C. 有最大值 9
值9
【答案】A
【解析】
【详解】不等式
ax2
bx
2
0
的解集是
x
|
1 2
x
1
3
则根据对应方程的韦达定理得到： b 1 1 即 b 1 a 23 a 6
故选 D
【点睛】本题考查了不等式的系数关系，转化为对应方程的根与系数的关系是解题的关键.
2.已知 1 a 0 ， b 0 ，则 b ， ab ， a2b 的大小关系是（ ）
D. 1,1
【答案】C 【解析】 【分析】
构造函数 g(x) f x sin x ，判断其单调递减，计算 g(0) 1 ，代入不等式计算得到答
案.
【详解】构造函数 g(x) f x sin x ，则 g '(x) f ' x cos x 0 ，g(x) 在 1, 单
调递减.
g(0) f 0 0 1
A. b a2b ab
B. b ab a2b
C. a2b b ab
D.
a2b ab b
【答案】A 【解析】
【分析】
用特值法，取符合条件的 a ， b 代入进行比较即可．
【详解】取特殊值：
a
1 2
，
b
1 ，则
ab
1 2
，
a2b
1 4
，
故 b a2b ab ，
故选：A．
1
【点睛】本题考查不等式比较大小，属于基础题．
【详解】因为 Sn 3n k ，所以当 n 2 时 an =Sn Sn1 3n 3n1 2 3n1 ，当 n 1 时
a1=3+k ，
若an是等比数列，则 a1=3+k =2 30， k 1,
若 k =
－1，则
an
=
2
3n1
,
(n
1),
an1 an
3
an
是等比数列.因此选 B.
【分析】
利用等比数列的通项结合均值不等式即可得解.
【详解】解： an 各项均为正数的等比数列
D. 有最小
4a4
a8
4a6 q2
a6 q 2
得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”
讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5
除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an ，则此数列的项数为（ ）
A. 134 【答案】B 【解析】
B. 135
山东省烟台市第三中学（等级赋分）2019-2020 学年度第一
学期高二期中学业水平诊断（数学）
一、选择题
1.若不等式
ax2
bx
2
0
的解集是
x
|
1 2
x
13
，则
b a
（
）.
A. 1 12
1
B.
12
C. 1 6
1
D.
6
【答案】D 【解析】
【分析】
根据不等式对应方程的韦达定理得到 b 1 1 ，计算得到答案. a 23
3.已知数列an 的前 n 项和 Sn 3n k (k为常数) ，那么下述结论正确的是 （ ） A. k 为任意实数时，an 是等比数列 B. k = －1 时，an 是等比数列 C. k =0 时，an 是等比数列 D. an 不可能是等比数列
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据等比数列求 k －1，再验证 k = －1 时，an 是等比数列.
f x sin x 1等价于 g(x) g(0) ，故 x 0
故选 C
【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，构造函数 g(x) f x sin x 是解题的
关键.
7.数列
n
1 n
2
的前
n
项和为（
）.
3n2 5n A. 4(n 1)(n 2)
3n2 5n B. 2(n 1)(n 2)
【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学
的转化与化归思想.属于中等题.
6.定义在 1, 上的函数 f x 满足 f x cos x 0 ，且 f 0 1，则不等式
3
f x sin x 1的解集为（ ）.
A. , 0
B. 1,0
C. 0,