分类讨论思想ppt课件演示文稿
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专题一
数 学 思 想 方 法
1．分类讨论的思想方法的原理及作用 在研究与解决数学问题时，如果问题不能以 统一的同一种方法处理或同一种形式表述、 概括，可根据数学对象的本质属性的相同和 不同点，按照一定的原则或某一确定的标准， 将数学对象划分为若干既有联系又有区别的 部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结 论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解 决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
当n 1时，a1 S1 4，满足an 4n， 故数列an 的通项公式为an 4n(n N* )． 同理，当n 1时，b1 T1 2 b1，所以b1 1. 所以2bn bn 1， 1 所以数列bn 成等比数列，其首项为1，公比为 ， 2 1 n 1 所以bn ( ) ( n N* )． 2 当n 2时，bn Tn Tn 1 2 bn 2 bn 1 ，
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
a 0 解析： 1 若f 0 1，则 a a 1 2 a 1 a 1.故a的取值范围是(， 1]．
2 当x a时，f x 3x 2 2ax a 2，
则f x min
2 f a a 0 2a a 2a 2 f a 0 3 3
3 3 A．在[0， )， ( ， ]上递增，在[ ， )， ( ， 2 ]上递增 2 2 2 2 3 3 B．在[0， )， [ ， )上递增，在( ， ]， ( ， 2 ]上递减 2 2 2 2 3 3 C．在( ， ]， ( ， 2 ]上递增，在[0， )， [ ， )上递减 2 2 2 2 3 3 D．在[ ， )， ( ， 2 ]上递增，在[0， )， ( ， ]上递减 2 2 2 2
综上，f x min
【思维启迪】由数学概念引起的分类讨论： 如绝对值的定义、不等式的定义、二次函 数的定义、直线与平面所成的角、直线的 倾斜角、两条直线的夹角、定比分点坐标 公式、两异面直线所成的角等．本题的讨 论是根据绝对值的定义及二次函数的对称 轴位置进行讨论的．
1 cos 2 x 变式题：函数f x cosx
例2.已知数列an 的前n项和Sn 2n2 2n， 数列bn 的前n项和Tn 2 bn，则数列an 的通项公式为an ______________ ，数列
bn 的通项公式为bn ______________ .
意验证n 1的结果是否在n 2的结果中．
又因为y tan x在(k ，k )(k Z )上单调递增， 2 2 3 3 所以f x 在[0， )， ( ， ]上递增，在[ ， )， ( ， 2 ]上递减． 2 2 2 2 选A.
考点2 由运算的要求或性质、定理、 公式的条件引起的分类讨论
wenku.baidu.com点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
a 0 a 0 ；
当x a时，f x x 2 2ax a 2， 则f x min f a a 0 2a 2 a 0 2 . a 0 f a a 0 2a 2a 2 a 0 2 2a . a 0 3
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一， 在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列 为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置． 分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题 型覆盖广、知识点较多、综合性强等特点，而且 还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定 的分析能力、分类技巧，对学生能力的考查有着 重要的作用．分类讨论的思想的实质就是把数学 问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响 而采取的化整为零、各个突破的解题手段．
数 学 思 想 方 法
1．分类讨论的思想方法的原理及作用 在研究与解决数学问题时，如果问题不能以 统一的同一种方法处理或同一种形式表述、 概括，可根据数学对象的本质属性的相同和 不同点，按照一定的原则或某一确定的标准， 将数学对象划分为若干既有联系又有区别的 部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结 论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解 决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
当n 1时，a1 S1 4，满足an 4n， 故数列an 的通项公式为an 4n(n N* )． 同理，当n 1时，b1 T1 2 b1，所以b1 1. 所以2bn bn 1， 1 所以数列bn 成等比数列，其首项为1，公比为 ， 2 1 n 1 所以bn ( ) ( n N* )． 2 当n 2时，bn Tn Tn 1 2 bn 2 bn 1 ，
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
a 0 解析： 1 若f 0 1，则 a a 1 2 a 1 a 1.故a的取值范围是(， 1]．
2 当x a时，f x 3x 2 2ax a 2，
则f x min
2 f a a 0 2a a 2a 2 f a 0 3 3
3 3 A．在[0， )， ( ， ]上递增，在[ ， )， ( ， 2 ]上递增 2 2 2 2 3 3 B．在[0， )， [ ， )上递增，在( ， ]， ( ， 2 ]上递减 2 2 2 2 3 3 C．在( ， ]， ( ， 2 ]上递增，在[0， )， [ ， )上递减 2 2 2 2 3 3 D．在[ ， )， ( ， 2 ]上递增，在[0， )， ( ， ]上递减 2 2 2 2
综上，f x min
【思维启迪】由数学概念引起的分类讨论： 如绝对值的定义、不等式的定义、二次函 数的定义、直线与平面所成的角、直线的 倾斜角、两条直线的夹角、定比分点坐标 公式、两异面直线所成的角等．本题的讨 论是根据绝对值的定义及二次函数的对称 轴位置进行讨论的．
1 cos 2 x 变式题：函数f x cosx
例2.已知数列an 的前n项和Sn 2n2 2n， 数列bn 的前n项和Tn 2 bn，则数列an 的通项公式为an ______________ ，数列
bn 的通项公式为bn ______________ .
意验证n 1的结果是否在n 2的结果中．
又因为y tan x在(k ，k )(k Z )上单调递增， 2 2 3 3 所以f x 在[0， )， ( ， ]上递增，在[ ， )， ( ， 2 ]上递减． 2 2 2 2 选A.
考点2 由运算的要求或性质、定理、 公式的条件引起的分类讨论
wenku.baidu.com点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
a 0 a 0 ；
当x a时，f x x 2 2ax a 2， 则f x min f a a 0 2a 2 a 0 2 . a 0 f a a 0 2a 2a 2 a 0 2 2a . a 0 3
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一， 在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列 为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置． 分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题 型覆盖广、知识点较多、综合性强等特点，而且 还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定 的分析能力、分类技巧，对学生能力的考查有着 重要的作用．分类讨论的思想的实质就是把数学 问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响 而采取的化整为零、各个突破的解题手段．