2018年12月进才中学高三月考数学(附解析)

进才中学高三月考数学试卷

2018.12

一. 填空题

1. 已知集合12

{|log 0}A x x =>，{||1|2}B x x =-<，则A

B =

2. 计算：22

|100|

lim

3n n n →∞-= 3. 复数i

1i

z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第 象限

4. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线的标准方程为

5. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么 这个圆锥的母线长为 cm

6.

二项式5

的展开式中常数项为 （用数字作答） 7. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m = 8. 若数列{}n x 满足：

111

n n

d x x +-=（d 为常数，n ∈*N ），则称{}n x 为调和数列，已知数 列{}n a 为调和数列，且11a =，

12345

11111

15a a a a a ++++=，则数列{}n a 通项为 9. 三角形OAB 中，1P 、2P 、…、n P 是AB 边上的1n +等分点，设OA a =，OB b =，若 2018n =，用a 、b 表示122018OP OP OP ++⋅⋅⋅+，其结果为

10. 已知整数a 、b 、c 满足a b ab +=，2a b c abc ++=，则c 的取值范围是 11. 对任意x ∈R

，函数1

(1)2

f x +=，设2()()n a f n f n =-，n ∈*N ， 数列{}n a 的前15项的和为31

16

-

，则(15)f = 12. 如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都 只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相 交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同 的孤立路一共有 对. （用数字作答）

二. 选择题

13. 已知非零向量a 、b ，“a ∥b ”是“a ∥a b +”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图像关于直线3

x π=对称；③ 在5[

,]6

π

π上 是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A. cos()2

6

x y π=+

B. 5sin(2)6

y x π=+

C. cos(2)3y x π

=-

D. sin(2)6

y x π

=- 15. 记方程①：2110x a x ++=，方程②：2210x a x ++=，方程③：2310x a x ++=，其中1a 、2a 、3a 是正实数，且1a 、2a 、3a 成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（ ）

A. 方程①有实根或方程②无实根

B. 方程①有实根或方程②有实根

C. 方程①无实根或方程②无实根

D. 方程①无实根或方程②有实根 16. 设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，且{}[]x x x =-，则方程1

{}{}1x x

+=（ ） A. 方程无实根 B. 方程存在整数解 C. 方程存在无理数根 D. 方程有两个以上有理数根

三. 解答题

17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .

（1）若3

B π=

，b =ABC 的面积S =

a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C .

18. 已知函数11

()f x x a x b

=

---（a b <）. （1）若1a =，3b =，求证：函数()y f x =在[2,3)上是增函数； （2）设集合{(,)|()}M x y y f x ==，2

{(,)|(),}2

a b N x y y x λλ+==-

∈R ，若 M

N =∅，求实数λ的取值范围.

19. 由于浓酸泄漏对河流形成污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐

步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为16

8022424x x y x x x ⎧-

-+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩

，

只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河 中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最 大值.

20. 已知椭圆2

2

14

y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，

焦距为的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T .

（1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为一定值；

（3）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤，

求22

12S S -的取值范围.

21. 已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：对任意的i 、

j （1i j n ≤<≤），i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A .

（1）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：11a =，且

12111

12n

n n

a a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+； （3）证明：当5n =时，1a 、2a 、3a 、4a 、5a 成等比数列.