2018年12月进才中学高三月考数学(附解析)

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高三数学-2018届上海市进才中学高三数学精练试卷-新课标[原创] 精品

2018届高三第二学期数学周练（八）2018.04.10一、填空题（每小题5分，共50分）1．不等式3212212-<x x C C 的解集是 . 2．若︒=15sin 2||，||︒=15cos 4，与的夹角为30°，则⋅的值为 . 3. 点M 、N 在圆04222=-+++y kx y x 上，且点M 、N 关于直线01=+-y x 对称，则该圆的半径等于 .4. 已知直线0=++c by ax 被圆M ：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 所截得的弦AB 的长为32，那么MBMA ⋅的值等于 .5．设一个四面体的体积为1V ，且它的各条棱的中点连线构成一个凸多面体，其体积为2V ，则12V V = .6．有6根细木棒,其中较长的两根分别为a 3, a 2,其余4根均为a , 用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . 7．平面直角坐标系内，动点),(b a P 到直线L 1:x y 21=和L 2:x y 2-=距离之和是4，则 22b a +的最小值为．8．113)23(x x -展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率为 .9．如图，现有一种跳格游戏，从第1格跳到第8格，每次可跳一格或两格，那么不同的跳法有 . 10. 给出以下命题：① 函数))(sin(R k k x y ∈+=π不可能是偶函数；② 已知数列{}n a 的前n 项和)0,(1≠∈-=a R a a S n n ，则数列{}n a 一定是等比数列； ③ 若函数)(x f 的定义域是R ，且)(,3)2()(x f x f x f 则=++是以4为周期的周期函数； ④ 过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交. 其中所有正确的命题有 .（填出所有正确命题的序号）二、选择题（每小题5分，共25分）11.函数)(x f y =的图象如图甲所示,则)(log 2.0x f y =的示意图是( )甲图（A ）（B ）（C ）（D ）12．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC )1(λλ-+=, 其中R ∈λ，则点C 的轨迹是( )(A) 直线 (B) 椭圆 (C) 圆 (D) 双曲线13．已知平面内一点},16)sin 2()cos 2(|),{(22R y x y x P ∈=-+-∈ααα，则满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积为（）（A ）π36 （B ）π32 （C ）π16 （D ）π4 14.在a ccb A ABC (22cos ,2+=∆中、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则△ABC 的形状为( ) (A) 直角三角形 (B) 等腰三角形或直角三角形(C) 等腰直角三角形 (D) 正三角形15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是332的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（A ）π33 （B ）π23 （C ）π3 （D ）π365（）三、解答题（共14+14+15+16+16=75分）16．已知角α、β满足65πβα=+且20πβ≤≤，求βα22cos sin 2--=M 的最值.17．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象过),(11y t A 、),(22y t B 两点，且满足0)(21212=+++y y a y y a .（1）证明：a y -=1或a y -=2；（2）证明：函数)(x f 的图象必与x 轴有两个交点；（3）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集}|{m x n x x ><或（0<<m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx .18．平面直角坐标系内的点集}12|),{(+==x y y x M ，点列)(),(*N n M b a P n n n ∈∈，且1P为M 与y 轴的交点，}{n a 是公差为1的等差数列. （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若||51n n P P n C ⋅=（2≥n ），求)(lim 32n n C C C +++∞→ ；（3）若⎩⎨⎧=-==)2()12()(k n b k n a n f nn ，*N k ∈，是否存在*N k ∈，使得)(2)11(k f k f =+.若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．如图，平面内三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段.（1）求△AMN 的外心C 的轨迹E ；（2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）.20. 已知数列{}n a ，定义其倒均数是*∈+++=N n na a a V nn ,11121 。

中学2018届高三年级12月份月考(理数)

x2 y2 12 已知 F 为双曲线 a2－b2＝1(a>0， b>0)的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点，
→
→
过 F，A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若 FA＝( 2－1)AB，则
此双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C.2 2 D. 5
第Ⅱ卷（共 90 分）
2018 届高三年级 12 月份月考
数学（理科）
本试卷分共 4 页， 23 题（含选考题）。第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷
满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
∴ AC 平面 BDE ．
（ 2）解：∵ DA ， DC ， DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系
D xyz ，
∵ BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ，即 DBE 60 ，∴ ED
3，
DB
由 AD 3，可知 BD 3 2 ， DE 3 6 ， AF 6 ．
则 A(3,0,0) ， F (3,0, 6) ， E(0,0,3 6) ， B(3,3,0) ， C (0,3,0) ，
C. 第三象限 D. 第四象限
3．如果对于任意实数
表示不超过的最大整数，那么“
”是“
成立”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知数列 an 是公比为 q 的等比数列，且 a1 ， a3 ， a2 成等差数列，则公比 q 的值为（）
1

2018届高三第二次月考数学试卷(文)含答案

高三第二阶段测试数学（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}012≥+-=x x x A ，{}0<=x x B ，则B A ⋂= ( ) A ．[)0,1- B ．()1,--∞ C ．(]1,-∞- D ．()()∞+⋃∞，，20- 2.已知i 为虚数单位，复数iz -=25，则复数z在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量=（1，2），=（x ，﹣2），若+与﹣垂直，则实数x 的值是（） A ．±1 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣44.函数()xx ee xx f --=的图像大致是（）A ．B ．C. D ．5.设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3，则= （）A ．32+31 B ．31+32 C ．34AB +31 D ．32AB +356. 《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间．．两节容量和是（）A. 61166升 B. 2升 C. 3222升 D. 3升 7. 已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 8.将函数f （x ）=sin2x+3cos2x 图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一个对称中心是（）A ．（3π，0） B ．（4π，0） C ．（12π-，0） D ．（2π，0） 9. 若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－310. 已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b = ，则a b += （）A ．2B ．3C ．4D 11. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 [－1,3]上的解集为（） A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 12.已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是 ( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 已知等差数列{a n }中，a 3、a 15是方程x 2﹣6x ﹣1=0的两根，则a 7+a 8+a 9+a 10+a 11= ． 14. 若y=alnx+bx 2+x 在x=1和x=2处有极值，则a= ，b= ． 15.已知函数()()⎩⎨⎧≤+>+=0,360,2log 4x x x ax x f ，且()()710=+f f ，则实数a 的值是．16. 已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x ＞x 3的否定是：∃x∈（0，2），3x ≤x 3； ②若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x∈R，f （﹣x ）=﹣f （x ）； ③若f （x ）=x+1x 1+，则∃x 0∈（0，+∞），f （x 0）=1； ④等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=3，则S 7=21； ⑤在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ．其中真命题是．（只填写序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）设等差数列{a n }第10项为24，第25项为﹣21．（1）求这个数列的通项公式；（2）设S n 为其前n 项和，求使S n 取最大值时的n 值．18.（本小题满分12分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19. （本小题满分12分）已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2（a 1＜a 2）分别为方程x 2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）在（1）中，设b n =，求证：当c=﹣时，数列{b n }是等差数列．20. （本小题满分12分）已知在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，向量与向量共线．（1）求角C 的值；（2）若，求的最小值．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=x-1+错误！未找到引用源。

2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题

绝密★启用前2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（） A ．2x y = B ．ln y x = C ．1y x x =-D ．1y x x=+2．在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充分必要条件3．函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（） A ．[]()arcsin 0,1y x x =∈ B ．[]()arcsin 1,1y x x =∈-C ．[]()arcsin 1,1y x x π=-∈-D ．[]()arcsin 0,1y x x π=-∈4．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M =，则满足条件的非空集合M 的个数是（） A ．11 B ．12C ．15D ．16第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}230B x x x =-≤，则AB =__________.6．2249lim 37n n n n +=-+_________.7．方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是_________.8．不等式2101x x-<-的解集是_________. 9．已知角α的终边过点()3,4-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 10．若将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为______．11．若函数()()2,0,0x x g x f x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()f x =_________.12．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，数列{a n }的通项公式为________．13．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是______.14．已知 >0,在函数y=2sin x 与y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 ，则 =_____. 15．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.16．已知数列{}n a 中，若1a 0=，2*k k 1i a k (i N ,2i 2,+=∈≤<1,2,3...)k =则满足i 2i a a 100+≥的i 的最小值为______．三、解答题17．已知函数()24coscos 2sin 22x f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，A 为钝角，且22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC ∆的面积. 18．无穷数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -++++=-∈. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式及其各项的和.19．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？20．设数列{}n a 满足12a =，21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）对于大于2的正整数q 、r （其中q r <），若25b 、q b 、r b 三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ；（3）若数列{}n c 满足()()()32*1214n nn n c b n N λ-⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，是否存在实数λ，使得数列{}n c 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由. 21．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 的一个弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的一个弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()3g x x =是函数()2f x =在区间[)4,+∞上的弱渐近函数；（3）试问：函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--（其中e 为自然对数的底数）在区间[)1,+∞上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，请说明理由.参考答案1．C 【解析】【分析】分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间()0,∞+上的单调性，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，设()2xf x =，定义域为R ，关于原点对称，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，且当0x >时，()2xf x =，该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，设()1g x x x=-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由于函数y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数1y x=在区间()0,∞+上为减函数，所以，函数()1g x x x=-在区间()0,∞+上为增函数；对于D 选项，设()1h x x x =+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由双勾函数的单调性可知，函数()1h x x x=+在区间()0,1上为减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则该函数在区间()0,∞+上不单调. 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的奇偶性与单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 2．D 【解析】由题意可知，ABC ∆中至少有两个角是锐角，可设A 、B 为锐角，再由充分条件和必要条件的定义可得出结论. 【详解】由于直角三角形和钝角三角形中有两个锐角，锐角三角形中三个内角全为锐角，在ABC ∆中，可设A 、B 为锐角，则cos 0A >，cos 0B >.若cos cos cos 0A B C >，则cos 0C >，C ∴为锐角，则ABC ∆为锐角三角形，即“cos cos cos 0A B C >”⇒“ABC ∆为锐角三角形”；若ABC ∆为锐角三角形，则C 为锐角，所以，cos 0C >，可得出cos cos cos 0A B C >，即“ABC ∆为锐角三角形”⇒“cos cos cos 0A B C >”.因此，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查了角的属性与其余弦值符号之间的关系，考查推理能力，属于中等题. 3．D 【解析】【分析】求出函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域，作为其反函数的定义域，再由原函数的定义域可得出其反函数. 【详解】当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1y x =∈，则函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数定义域为[]0,1，当[]0,1x ∈时，arcsin 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则arcsin ,2x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，且[]()sin arcsin sin arcsin x x x π-==，因此，函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是[]()arcsin 0,1y x x π=-∈.【点睛】本题考查反三角函数的求解，解题时要注意原函数的定义域的限制，考查计算能力，属于中等题. 4．A 【解析】【分析】根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案. 【详解】2111==，200==，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=，所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种； ②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=. 故选：A. 【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．{}03x x ≤< 【解析】【分析】解出集合B ，然后利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}23003B x x x x x =-≤=≤≤，因此，{}03A B x x ⋂=≤<.故答案为：{}03x x ≤<. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 6．43【解析】【分析】在分式的分子和分母中同时除以2n ，利用常见数列的极限即可计算出所求极限值. 【详解】由题意可得22229449404lim lim 173730033n n n n n n n n→∞→∞+++===-+-+-+. 故答案为：43.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 7．{}2 【解析】【分析】根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，解出即可.【详解】()()2lg 3lg 35x x -=-，根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，即232053x x x ⎧-+=⎪⎨>⎪⎩，解得2x =，因此，方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是{}2.故答案为：{}2. 【点睛】根据考查简单的对数方程的求解，同时也要注意真数大于零的限制，考查运算求解能力，属于基础题. 8．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意得出21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，解出这两个不等式组即可得出原不等式的解集.【详解】2101x x -<-，得21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，即1211x x ⎧<⎪⎨⎪-<<⎩或1211x x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩或，解得112x -<<或1x >，因此，不等式2101x x -<-的解集是()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 9【解析】【分析】利用三角函数的定义求出cos α和sin α的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，4sin 5α==，因此，34cos 422252510πααα⎛⎫⎛⎫-=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：10. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 10．6π；【解析】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到sin(22)3y x πϕ=+- ,所以22()()036k k Z k k Z ππϕπϕπϕ-=∈∴=+∈>∴ ϕ的最小值为6π11．2x -- 【解析】【分析】设0x >，可得出0x -<，求出()g x -，由奇函数的定义可得出()()f x g x =--，即可得出答案. 【详解】设0x >，可得出0x -<，则()2xg x --=，因此，函数()y g x =为奇函数，则()()2xf xg x -=--=-.故答案为：2x --. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查计算能力，属于中等题.12．22n n na +=* ()n N ∈ ．【解析】∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2-a 1=2，a 3-a 2=3，……，a n -a n-1=n （n≥2），由累加法可得a n -a 1=2+3+…+n=2(1)(2)222n n n n -++-=∵a 1＝1， ∴22n n na +=（n≥2）.∵当n=1时，也满足22n n na +=，22n n n a +∴=（n ∈N *）. 13．()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】解：∵()()g x f x b =-有两个零点，∴()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()y f x =在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意④当0a =时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 14．【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，（）（），.考点：三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解. 15【解析】【分析】由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值. 【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得1a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题. 16．128 【解析】【分析】由题意可得222(1)100i i a a k k +=++≥，得到k 的最小值，从而解得．【详解】解：2,i a k = ()*1,22,1,2,3...k k i k N i +=∈≤<12222k k i ++∴≤<，()221i a k ∴=+222(1)100i i a a k k ∴+=++≥，故7k ≥；故i 的最小值为72128=，故答案为128．【点睛】本题考查了数列和不等式，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可，属于中档题.17．（1）π；（2【解析】【分析】（1）利用二倍角的降幂公式可将函数()y f x =的解析式化简为()sin 2f x x =，再利用正弦型函数的周期公式可得出答案；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合A 为钝角可求出A 的值，利用余弦定理求出b 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）()1cos 4sin 2sin 2sin 2sin cos 2sin sin 22xf x x x x x x x x +=⋅⋅-=+-= 因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得sin A =，又A 为钝角，所以23A π=，. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故213122b b ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，整理得220b b +-=，0b >，解得1b =，因此，11sin 2224ABCSbc A ==⋅=. 【点睛】本题考查三角函数周期的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中等题.18．（1）11a =，212a =，314a =；（2）112n n a -=；各项和为2.【解析】【分析】（1）分别令1n =、2、3，代入题中等式可求出1a 、2a 、3a 的值；（2）令2n ≥，由1212242n n n a a na -++++=-可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，将两个等式相减可求出n a ，再对1a 是否满足n a 在2n ≥的表达式，即可求出数列{}n a 的通项公式，可知该数列为等比数列，并利用无穷等比数列各项和公式可得出答案. 【详解】（1）依题意：11112412a -+=-=； 22224112a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即得212a =； 3312132223344224a --++⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得3334a =，所以314a =；（2）当2n ≥时，()121122142n n n n a a n a na --++++-+=-，① 可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，② ①-②得，()()122111212211244222222n n n n n n n n n n n n n nna ------+-+++++⎛⎫=---=-== ⎪⎝⎭，所以112n n a -=，显然当1n =时，11a =也适合上式，所以当*n N ∈时，均有112n n a -=， 11112121222n n n n n n a a -+-===，所以，数列{}n a 是以1为首项，以12为公比的等比数列，故无穷数列{}n a 各项的和1121112a S q ===--. 【点睛】本题考查利用数列的递推关系式求数列中项的值，同时也考查了利用n S 求通项以及无穷等比数列和的计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元.【解析】【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径；（2）设1M A Dα?，可得24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长. 【详解】（1）依题意，圆1M 的半径1tan 306034.63M B AB =⋅=⋅=≈（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径(260tan1560216.1M C =⋅=≈（米），答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）设1M ADα?，则24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()181281tan 171217841tan παππα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号），当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）证明见解析；（2）()(),3,5q r =；（3）存在，且实数λ的取值范围是348,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义结合数列{}n a 的递推公式证明出1n nb b +为非零常数，即可证明出数列{}n b 为等比数列；（2）由（1）中的结论求出等比数列{}n b 的通项公式，然后分225q r b b b ⨯=+、225q r b b b =+、225r q b b b =+三种情况讨论，结合等比数列和指数运算可求出q 、r 的值，由此可得出结果；（3）求得14644n n n c λ⎛⎫=+⋅⋅- ⎪⎝⎭，作差1134804nn n n c c λ+⎛⎫-=⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭，分n 为奇数和偶数两种情况求解不等式10n n c c +->恒成立问题，利用参变量分离法求出实数λ的取值范围. 【详解】（1）由21241n n a a n n +=+-+，()()()22112122n n a n n a n n +∴++-+=+-，即12n nb b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知()1*2n n b n N -=∈，25b 、qb、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，2121225q r ----∴+=，又q r <，21212132123524q r q r ----⎧=+==⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，()(),3,5q r ∴=； ②若225q r b b b =+，则121122522q r ---⨯=⨯+，122225q r +--∴-=，左边为偶数，右边为奇数，∴不成立； ③若225r q b b b =+，同理也不成立. 综合①②③得，()(),3,5q r =；（3）依题意()3114146444n nnnnn c λλ-⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则1111114644643480444n nnn n n n n c c λλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯⋅---⋅⋅-=⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若λ存在，则10n n c c +->对*n N ∈恒成立. ①当n 为奇数时，23480n λ>-⋅，其中当1n =时，2max334805n ⎡⎤-⋅=-⎢⎥⎣⎦，故35λ>-； ②当n 为偶数时，23480n λ<⋅，其中当2n =时，2min 3484805n ⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，故485λ<. 综上所述，存在实数348,55λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得数列{}n c 是单调递增数列. 【点睛】本题考查等比数列的证明、利用等差中项的性质求参数，同时也考查了利用数列的单调性求参数，涉及不等式恒成立问题的处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21．（1）[]4,4-；（2）见解析；（3）存在，()2g x x b =+，其中22,1b e⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由弱渐近函数的定义得出min 4m x ≤=，由此可求出实数m 的取值范围；（2）当4x ≥时，利用分子有理化结合放缩法证明出()()01g x f x <-≤，结合弱渐近函数的定义可证明结论成立；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，根据弱渐近函数的定义得出()()11f x g x -≤和()()21f x g x -≤，可求得2k =以及实数b 所满足的不等式组，解出即可得出满足题意的若渐近函数()y g x =的解析式. 【详解】（1）依题意，当[)4,x ∈+∞时，()()331mf xg x x x x-=+-≤恒成立，即1mm x x≤⇒≤恒成立，故4m ≤，所以，实数m 的取值范围是[]4,4-；（2）当4x ≥时，()()3232262222g x f x x x x x x x-=-=-=->-10x=>，()()323234241222g x f x x x x x x x-==-<⋅-=≤，. 故()()()()011g x f x g x f x <-≤⇒-≤，得证；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，()()()()212222122111x f g x kx b x kx b k x b x x x x -=--=-+--=-+--+++，若2k ≠，由于当1x ≥时，2011x <≤+，故(]222,11b b b x --∈----+，但是，当x →+∞时，()2k x -→±∞，故()()f x g x -→±∞，不符合“()()1f x g x -≤恒成立”的要求，所以2k =，此时()()(][]1222,11,11f g x b b x b x -=--∈----⊆-+，则2111b b --≥-⎧⎨--≤⎩，解得：21b -≤≤；()()()()221222x x f g x x e x b b e x ---=---+=---，当1x ≥时，10xee -<≤，故2222,2[1,1]xb e b b e -⎡⎫---∈-----⊆-⎪⎢⎣⎭，得22121b eb ⎧---≥-⎪⎨⎪--≤⎩，解得：231b e -≤≤--. 综上所述，函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--在区间[)1,+∞上存在相同的弱渐近函数，对应的弱渐近函数是()2g x x b =+，其中22,1b e ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数新定义的理解和应用，涉及函数不等式恒成立问题，解题的关键就是正确理解“若渐近函数”的定义，考查推理能力以及解决问题的能力，属于中等题.。

2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年上海市浦东新区进才中学⾼三（上）第⼀次⽉考数学试卷（含答案解析）绝密★启⽤前2019-2020学年上海市浦东新区进才中学⾼三（上）第⼀次⽉考数学试卷（时间：120分钟满分：150分）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须⽤2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为⾮选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均⽆效，不予记分。

第I卷（选择题共20分）⼀、选择题（本⼤题共4⼩题，共20分）1.函数f（x）的图象⽆论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A. B. C. D.2.△ABC中“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三⾓形”的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知实数a＞0，b＞0，对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①“f（x）是奇函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”；②“f（x）是偶函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”；③“2a是f（x）的⼀个周期”的充要条件是“对任意的x∈R，都有f（x-a）=-f（x）”；④“函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称”的充要条件是“a=b”其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④4.存在函数f（x）满⾜，对任意x∈R都有（）A. B. C. D.第II卷（⾮选择题共130分）⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共54.0分）5.函数y=sin（ωx-）（ω＞0）的最⼩正周期是π，则ω= ______ ．6.若集合A={x||x-1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B= ______ ．7.⽅程lg x+lg（x+3）=1的解x=______．8.已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，，则幂函数f（x）=______．9.函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后为奇函数，则φ的最⼩正值为______．10.若集合A、B、C满⾜A∪B=B∩C，则下列结论：①A?C；②C?A；③A≠C；④A=?中⼀定成⽴的有______．（填写你认为正确的命题序号）11.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满⾜f（2x-1）＜f（）的x取值范围是______．12.当0≤x≤1时，如果关于x的不等式x|x-a|＜2恒成⽴，那么a的取值范围是______．13.若函数f（x）=，则y=f（x）图象上关于原点O对称的点共有______对．14.已知a、b、c都是实数，若函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．15.对于实数x，定义＜x＞为不⼩于实数x的最⼩整数，如＜2.8＞=3，＜-＞=-1，＜4＞=4．若x∈R，则⽅程＜3x+1＞=2x-的根为______．16.已知集合A=[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0?A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是______．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共76.0分）17.已知函数f（x）=3x2-2ax-b，其中a，b∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a与b的值（2）若b=3a，求同时满⾜下列条件的a的取值范围．①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成⽴；②存在实数x，使得f（x）≤2-a成⽴．18.已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且函数图象⼜关于原点对称．（1）求函数f（x）的解析式（2）若关于x的不等式xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成⽴，求实数t的取值范围．19.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，⾓A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试⽤θ表⽰△ABC的周长，并求周长的最⼤值．20.已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把⽅程f（x）=称为函数f（x）的特征⽅程，特征⽅程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最⼤值记作max f（x）、最⼩值记作min f（x），令g（m）=max f（x）-min f（x），若g（m）≤λ恒成⽴，求λ的取值范围．21.设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，x n）和β=（y1，y2，…y n），记M（α，β）=[（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…（x n+y n-|x n-y n|）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的⼦集，且满⾜：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最⼤值；（Ⅲ）给定不⼩于2的n，设B是A的⼦集，且满⾜：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出⼀个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=-log2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移⼀个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移⼀个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．分别利⽤对数函数的运算法则确定函数与函数的关系．本题主要考查对数函数的图象和性质以及函数图象的变化，要求熟练掌握对数的图象和性质．2.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A+sin A=cos B+sin B，∴sin（A+）=sin（B+），∴A+=B+，或A+=π-（B+），化为：A=B，A+B=．∴△ABC为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．反之不成⽴，例如A=C．因此“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三⾓形”的既不充分也不必要条件．故选：D．△ABC中，由cos A+sin A=cos B+sin B，利⽤和差公式、诱导公式及其三⾓形内⾓和定理即可得出A，B的关系．反之不成⽴，例如A=C．即可得出结论．本题考查了和差公式、诱导公式及其三⾓形内⾓和定理、简易逻辑的判定⽅法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①若“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时关于点（0，0）对称，∴①正确．②若“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时函数f （x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，函数f（x）是偶函数，∴②正确．③若函数f（x）为常数函数不妨设f（x）=2，若a＞0，则2a是f（x）的⼀个周期，但f（x-a）=2，-f（x）=-2，∴f（x-a）=-f（x）不成⽴，∴③错误．④若函数y=f（x-a）=0，y=f（b-x）=0，则y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称，但a与b不⼀定相等，∴④错误．其中正确命题的序号是①②．故选：A．①根据奇函数的定义进⾏判断．②根据偶函数的定义的定义进⾏判断．③根据函数周期性的定义进⾏判断．④根据对称性质的定义进⾏判断．本题主要考查函数奇偶性和周期性的判断，利⽤函数奇偶性和周期性的定义和性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较⼤．4.【答案】D【解析】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sin x；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2-1）=|t|；令t2-1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．利⽤x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．本题考查函数的定义的应⽤，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的⽅法⽐较难．5.【答案】2【解析】解：∵y=sin（ωx-）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．根据三⾓函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了三⾓函数的周期性及其求法，属于基础题．6.【答案】（-1，2）【解析】解：由A中不等式变形得：-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3，∴A=（-1，3），由B中不等式变形得：（x-2）（x+4）＜0，解得：-4＜x＜2，即B=（-4，2），则A∩B=（-1，2），故答案为：（-1，2）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．。

辽宁省18届高三数学12月月考试题理18012602115

辽宁省2018届高三数学12月月考试题理第I 卷（选择题）一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.函数x y 216-=的定义域和值域分别是A 和B ，则B A = A.[0,)+∞ B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)3.设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为A.12B.10C.8D.24．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π 5．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为Ａ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊Ｃ．甲丙戊乙丁Ｄ．甲乙丙丁戊 6．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。

”则下列说法错误的是Ａ．此人第二天走了九十六里路Ｂ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.Ｃ．此人第三天走的路程占全程的81Ｄ．此人后三天共走了42里路 7．在斜ABC ∆中，31tan tan ,cos cos 3sin -=-=C B C B A ,则角A 等于 A.4π B.6π C. 43π D.3π 8．阅读如图所示的程序框图，若输入的9=k ，则该算法的功能是A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和9．某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为A．3+B．8+C．6+D．8+10．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC AB AA ===,112AE BC ==,则异面直线AE 与C A 1所成的角是 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π211.三棱锥BCD A -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆、BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCDA -的体积是 A ．122 B ．81 C ．61D ．82（第10题图）12.已知函数x ae x x x f -=ln )((e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是 A ．)1,0(e B ．),0(e C ．),1(e eD ．),(e -∞第II 卷（非选择题）二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13.已知曲线x x y C 2:2+=在点（0，0）处的切线为l ，则由l C ,及直线1=x 围成的区域面积等于______________.14.已知1=，m =，π43=∠AOB ，点C 在AOB ∠内且0=∙OC OA 若)0(2≠+=λλλ则m = ．15．已知函数xx y --=112的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.16．若数列}{n a )(*N n ∈是等差数列，则有数列)(*21N n na a ab nn ∈+++=也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n c 是等比数列，且)(0*N n c n ∈>，则有=n d __________)(*N n ∈也是等比数列.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2,2)x π+-．（Ⅰ）求()f x 的解析式及0x 的值；（Ⅱ）若锐角θ满足31cos =θ，求)4(θf 的值．18.（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，CF BE //，CF BC ⊥,4,3,2,3====CF BE EF AD .（Ⅰ）求证：⊥EF 平面DCE ;（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的大小为60°．19.（本小题12分）数列{}n a 为递增的等比数列,{}⊆321,,a a a {}27,16,9,4,1,0,2,3,8---，数列{}n b 满足112,28n n n b b b a +=-=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b 2是等差数列；（Ⅲ）设数列{}n c 满足14+⋅=n n nn b b c ，且数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得1n m T a >对任意*∈N n 都成立的正整数m 的最小值.20.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值;（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.21.（本小题满分12分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>．（Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由；（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究0'()G x 值的符号．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

江苏省2018届高三第一次月考数学理

高三年级下学期第一次月考数学试卷（理科）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.满足{2}⊆M ⊆{1,2,3}的集合M 有 ( )A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个2．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N = （） A ．{}|20x x -≤< B ．{}|10x x -<<C ．{}2,0-D ．{}|12x x <≤3．若函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f 2xx －1的定义域是（）． A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4]D ．（0，1）4．三个数a ＝0.32，2log 0.3b =，c ＝20.3之间的大小关系是（）． A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，则下列说法中正确的是 ( ) ①f (x )的定义域为(0，＋∞)；②f (x )的值域为[1，＋∞)；③f(x)是奇函数；④f(x)在(0,1)上单调递增．A．①② B．②③ C．①④ D．③④6.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，则当n∈N*时，有( )A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1) B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)7．下列说法错误的是（）A．命题“若x2 — 3x+2＝0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2—3x+2≠0”B．“x＞1”，是“|x|>1”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”,则p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”8．设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a }.若A⊆B则a的范围是( )A. a<1B. a≤1C. a<2D. a≤29. U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q 中，真命题是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③11. 已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （）A.3-B.1-C.1D.312．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f的零点的个数为（）A ．3B ．7C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________ 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (－2)＝2，则f (2 012)＝________.15．函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为。

2018届高三年级12月考数学试卷附加题部分(试卷与答案)

试卷江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷附加题部分（试卷与答案）（满分40分，答题时间30分钟）说明：本卷为选考物理考生必须完成的部分。

共三道题，每小问均为5分。

1．如图，过点A (6，4)作曲线()f x =l ．（1）求切线l 的方程；（2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．解：（1）∵()f x '=，∴1(6)2f '=，∴切线l 的方程为：14(6)2y x -=-，即112y x =+．（2）令()f x =，则x =2．令112y x =+=0，则x = -2。

∴A=6221(1)2x dx -+-⎰⎰=3226611()(48)2246x x x +---=163．2．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P 1；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率P 2；（3）求选择甲线路的旅游团数ξ的分布列与数学期望．解：（1）3413A 348P ==；（2）22243223C C A 9416P ==；（3）ξ的取值为0、1、2、3．13333C 3332727(0),(1)464464P P ξξ⋅⋅======，2333C 3911(2),(3)464464P P ξξ⋅======．∴ξ∴E ξ=4． 3．设顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线过点P （2，4），过P 作抛物线的动弦P A ，PB ，并设它们的斜率分别为k P A ，k PB ．（1）求抛物线的方程；（2）若k P A +k PB =0，求证直线AB 的斜率为定值，并求出其值；（3）若k P A k PB =1，求证直线AB 恒过定点，并求出其坐标．解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y 2=2px （p ＞0），因抛物线过点（2，4），故42=4p ，p =4，抛物线方程为y 2=8x ．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1121114482428PA y y k y x y --===-+-，同理284PB k y =+，128AB k y y =+．∵k P A +k PB =0，∴184y ++284y +=0，∴184y +=284y --，y 1+4= -y 2-4，y 1+y 2= -8，∴1AB k =-．即直线AB 的斜率恒为定值，且值为-1．（3）∵k P A k PB =1，∴184y +·284y +=1，∴y 1y 2+4(y 1+y 2)-48=0．直线AB 的方程为211128()8y y y x y y -=-+，即(y 1+y 2)y -y 1y 2=8x ．将-y 1y 2=4(y 1+y 2)-48代入上式得(y 1+y 2)(y +4)=8(x +6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．。

2017-2018年上海市进才中学高三下第一次月考

2017-2018年上海市进才中学高三下第一次月考2018.03一、填空题1、行列式123456123--中，元素5-的代数余子式的值是 . 2、函数()2sin43cos4f x x x =-的最小正周期是 .3、已知1-，a ，x ，b ，9-成等比数列，则实数x 的值的是 .4、已知集合{}2,0,1,2,3,4U =-，{}290,A x x x Z =-<∈，则集合U C A 用列举法表示为 . 5、已知,,a b c R ∈，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇒+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解释，这个函数的解析式是()f x = .6、已知复数()1z a ai i =++⎡⎤⎣⎦（i 是虚数单位）是虚数，且1z =，则实数a 的值是 .7、已知向量()()2,0,t a t R =∈ ，()1,2b = ，若()()3//xa b a b ++ ，则实数x = . 8、若ABC 的三内角45,75,60A B C ∠=∠=∠=，且面积6S =+半径是 .9、设()()()12201211...1...nn n x x x a a x a x a x ++++++=++++,其中n N *∈，且2n ≥，若012...1022n a a a a ++++=，则n = .10、已知函数()2cos 222x f x x x ππ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭，则满足不等式()2f x f x π⎛⎫>+ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是 .11、设,αβ分别是函数()f x 和()g x 的零点，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x “零点相关”.若函数()1102x f x x -=+-和()()2lg 4g x x kx k =--+“零点相关”，则实数k 的取值范围是 .12、若集合{}2,A x m x Z =>∈是非空集合，且其中至多含有四个元素，则实数m 的取值范围是 .二、选择题13、已知,a b 分别表示直线，α表示平面，若b αØ，则“//a b ”是“//a α”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14、下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A.2log 2x y =和2log 2x y =B.()arcsin sin y x =和()sin arcsin y x =C.y x =和()arccos cos y x =D.{}()0,1y x x =∈和{}()20,1y x x =∈15、如图，点C 是半径为1的扇形圆弧 AB 上的一点，0OA OB ⋅= ，1OA OB == ，若OC xOA yOB =+ ，则2x y +的最小值是（）A. B.1 C.2 16、已知函数()()33528f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，()()()122017...4034f a f a f a +++=，则()1009f a 的值为（）A.0B.1C.2D.5三、解答题17、如图，圆柱的底面圆O 在圆锥的底面上，上底面圆'O 的圆周将圆锥的侧面积分成相等的两部分，已知圆锥的底面半径为2，高为4.（1）求圆锥的侧面展开图所对圆心角的弧度数；（2）求圆柱的体积.18、已知()sin cos cos22f x a x x b x =++，其中,a b 是常数.（1）若3a =，b =，求函数()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若2a b =，且集合(){x f x a >≠∅，求实数b 的取值范围.19、设()11,0F -，()21,0F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，过1F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，2ABF 的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得2ABF 为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.20、已知函数()2x f x =，若点()00,P x y 在()y f x =的图像上运动，则点()001,21Q y x ++在()y g x =的图像上运动。

2018届高三12月月考数学理科试题(含答案)

2018届高三12月月考试题理科数学一.选择题：(每小题5分，共60分)1．已知集合2{|02,N},{|450,N}A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A B ⋂= （） A. {}1 B. {}0,1 C. [)0,2 D. ∅ 2在复平面内，复数i1+i对应的点位于 ( ) （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.已知向量4,8,a b a == 与b 的夹角为60︒，则2a b +=( )A.4．在用线性回归方程研究四组数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是（）A BC D5．已知角A 是ABC ∆的一个内角，且tan22A =，则ABC ∆的形状是（） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断ABC ∆的形状6．如图，给出的是11113599++++…的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A ．99i <B ．99i ≤C ．99i >D ．99i ≥7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线y =1x =及x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则(|)P B A =（）A ．15B ．14C ．18D ．178. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h =( )A.2B.9．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A. B. C. D.10．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）A. 多712斤B. 少712斤C. 多16斤D. 少16斤11.已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,150CED ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A.3212．若函数()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则对称点(),A B 为()y f x =的 “孪生点对”，点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”，若函数()322,0692,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．实数满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪>>⎩则的最小值为__________．14．设()522100121032x x a a x a x a x -+=++++ ，则1a 等于_________． 15.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为 .16.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________.三.解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知数列的前项和，其中为常数，（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（本题满分12分）某校50名学生参加2015年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[)100,90，第二组[)110,100，…，第五组[]140,130．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记x 为取得第一组成绩的个数，求x 的分布列与数学期望．0.0.0.0.0.19.（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知135o DAB ∠=，BC =2SB SC AB ===，F 为线段SB 的中点．（１）求证：//SD 平面CFA ；（２）求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值．、20.在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离多1．（1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，若||8DE =，求点M 的坐标．21. 已知函数()2ln f x x ax a x =--（R a ∈）．()1若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；()2在()1的条件下，求证：()325114326x x f x x ≥-+-+；()3当[),x e ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为14x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位. 在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值.23．（本小题满分10分）设函数()|21||2|f x x x =--+ （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．参考答案1．B 【解析】集合{}0,1A =， {}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1A B ⋂=.故选择B.A BCDＦＳ2【答案】A i i i i i i ii 212121)1)(1()1(1+=+=-+-=+，则复数对应的点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21位于第一象限.3. 【答案】A ()()22222464448cos6064192a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=,所以2a b +=4．C 【解析】只有C 的点在一条直线附近。

上海市进才中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

上海市进才中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 2．两个随机变量x ，y 的取值表为x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.653．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．32D ．334．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围（）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 5．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（） A ．2 B ．73 C.83D ．3 6．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．14 7．已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（）A ．πB ．C ．D ．8．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 11．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 12．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是．14．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．15．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．16．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018届江苏省高三上学期12月月考数学试卷Word版(解析版)

2018届江苏省高三上学期12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合A=（﹣∞，m]，B={x|﹣2＜x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是．2．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=．3．已知函数，则f（1+log23）=．4．复数i2（1﹣2i）的实部是5．如果执行下列伪代码，则输出的值是6．设函数是奇函数，则实数m的值为．7．已知直线过函数f（x）=sin（2x+φ）（其中）图象上的一个最高点，则的值为．8．在锐角△ABC中，AB=2，BC=3，△ABC的面积为，则AC的长为．9．已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为．10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4．点P是DC边的中点，则的值为．11．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是．12．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=．13．已知数列{a n}的前n项S n=（﹣1）n•，若存在正整数n，使得（a n﹣p）•（a n﹣p）＜0成立，则实﹣1数p的取值范围是．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设向量，=（cosx，cosx），．（1）若∥，求tanx的值；（2）求函数f（x）=•的周期和函数最大值及相应x的值．16．已知函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）若f（x）在区间[﹣3，4]上的最小值为，求a的值．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ADE⊥平面B1BC．18．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19．某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供（x≥8，t≥0），Q=500应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？20．已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[﹣1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．附加题【选修4-2：矩阵与变换】21．（选修4﹣2：矩阵与变换）求曲线2x2﹣2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．选修4﹣4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0，曲线C的参数方程为（α是参数），又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．（1）求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）试在面A1B1C1D1 上确定一点G，使DG⊥平面D1EF．24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．2018届江苏省高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合A=（﹣∞，m]，B={x|﹣2＜x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是[2，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合A=（﹣∞，m]，B={x|﹣2＜x≤2}，且B⊆A，m需满足，m≥2．【解答】解：∵集合A=（﹣∞，m]，B={x|﹣2＜x≤2}，且B⊆A，∴m≥2．故答案为：[2，+∞）．2．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．【解答】解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣13．已知函数，则f（1+log23）=．【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log23分别反复代入f（x﹣1）直到x≤0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：∵∵1+log23＞0，∴f（1+log23）=f[（1+log23）﹣1）]=f（log23）∵log23＞0f（log23）=f（log23﹣1），∵log23﹣1＞0∴f（log23﹣1）=f（log23﹣2），∵log23﹣2≤0，∴f（log23﹣2）==×23=，故答案为．4．复数i2（1﹣2i）的实部是﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用i的幂运算，直接化简，然后求出复数的实部．【解答】解：复数i2（1﹣2i）=﹣（1﹣2i）=﹣1+2i，所以复数的实部为﹣1故答案为：﹣15．如果执行下列伪代码，则输出的值是13【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=5时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为13．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0满足条件k＜5，执行循环体，S=3，k=1，满足条件k＜5，执行循环体，S=﹣，k=2，满足条件k＜5，执行循环体，S=﹣，k=3，满足条件k＜5，执行循环体，S=，k=4，满足条件k＜5，执行循环体，S=13，k=5，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为13．故答案为：13．6．设函数是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），结合函数解析和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即+=lg[]=lg（1+（m﹣1）x2）=0，即1+（m﹣1）x2=1，故m=1，故答案为：17．已知直线过函数f（x）=sin（2x+φ）（其中）图象上的一个最高点，则的值为﹣1．【考点】正弦函数的图象．【分析】首先，根据已知条件，得到该函数解析式，然后，再求解即可．【解答】解：∵直线过函数f（x）=sin（2x+φ）（其中）图象上的一个最高点，∴sin（2×+φ）=1，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣），∴f（）=sin（2×﹣）=sin=﹣1．故答案为：﹣1．8．在锐角△ABC中，AB=2，BC=3，△ABC的面积为，则AC的长为．【考点】正弦定理．【分析】由题意及三角形面积公式可得：=×2×3×sinB，解得sinB，又B为锐角，可求cosB，由余弦定理即可求得AC的值．【解答】解：∵AB=2，BC=3，△ABC的面积为，∴由三角形面积公式可得：=×2×3×sinB，解得：sinB=，又B为锐角，可得：cosB==，∴由余弦定理可得：AC===．故答案为：．9．已知正实数a ，b 满足9a 2+b 2=1，则的最大值为．【考点】基本不等式；椭圆的简单性质．【分析】利用（x ，y ＞0）即可得出．【解答】解：∵正实数a ，b 满足9a 2+b 2=1，∴=≤=，当且仅当=时取等号．∴的最大值为．故答案为：．10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=4．点P 是DC 边的中点，则的值为 7 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把中的两个向量用基底＜＞表示，展开后得答案．【解答】解：∵AB=6，AD=4，∴====．故答案为：7．11．若函数f （x ）=lnx +ax 2﹣（a +2）x 在处取得极大值，则正数a 的取值范围是（0，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．【解答】解：f （x ）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，①a≤0时，ax﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故是函数的极小值点，不合题意，②0＜a＜2时，＜，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，④a＞2时，＞，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在x=处取得极大值，不符合题意，综上，a∈（0，2），故答案为：（0，2）．12．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8．故答案为：813．已知数列{a n}的前n项S n=（﹣1）n•，若存在正整数n，使得（a n﹣1﹣p）•（a n﹣p）＜0成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】S n=（﹣1）n•，可得：当n=1时，a1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．若存在正整数n，使得（a n﹣1﹣p）•（a n﹣p）＜0成立，当n=2时，（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，解得p范围．当n≥3时，＜0，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵S n=（﹣1）n•，∴当n=1时，a1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n•﹣（﹣1）n﹣1=，若存在正整数n，使得（a n﹣1﹣p）•（a n﹣p）＜0成立，当n=2时，（a1﹣p）（a2﹣p）=（﹣1﹣p）＜0，解得．当n≥3时，＜0，当n=2k时，＜0，∵﹣=＞0．∴﹣＜p＜．可得：﹣＜p＜．当n=2k﹣1时，＜0，﹣＜p＜，∴﹣＜p＜．综上可得：实数p的取值范围是﹣1＜p＜．．故答案为：．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=e x﹣e2a，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）==﹣=﹣1，则=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）二、解答题（本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设向量，=（cosx，cosx），．（1）若∥，求tanx的值；（2）求函数f（x）=•的周期和函数最大值及相应x的值．【考点】正弦函数的定义域和值域；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用的充要条件得到，化简求出tanx的值；（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体角处理的思路求出函数的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴cosx≠0，∴，∴．（2）f（x）===．∴．∵，∴当，即时，f（x）取得最大值，最大值为16．已知函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）若f（x）在区间[﹣3，4]上的最小值为，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导函数，利用导数小于0，解不等式可求f（x）的单调减区间；（2）由（1）可知函数的极值点，从而确定函数f（x）在区间[﹣3，4]上的单调性，将极小值与函数的端点函数值比较，即可求出f（x）在[﹣3，4]上的最小值，由此可求a的值．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣x2+2x+3，令f′（x）＜0，则﹣x2+2x+3＜0．解得：x＜﹣1或x＞3．∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．……又∵，∴f（﹣1）＜f（4）．…∴f（﹣1）是f（x）在[﹣3，4]上的最小值．∴．解得a=4．…17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ADE⊥平面B1BC．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线的性质证明线面平行．（2）利用直三棱柱的性质证明BB1⊥AD，利用等腰三角形的性质证明AD⊥BC，从而证明AD⊥平面B1BC．【解答】证明：（1）在△CBB1中，∵D、E分别为BC、B1C的中点，∴DE∥BB1又∵BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1∴所以DE∥平面ABB1A1．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD∵在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BC，∴AD⊥平面B1BC．又∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面B1BC．18．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，分别表示出a 2a 6=55，a 2+a 7=16联立方程求得d 和a 1进而根据等差数列通项公式求得a n ．（2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n ，a n +1=c 1+c 2+…+c n +1两式相减得c n +1等于常数2，进而可得b n ，进而根据b 1=2a 1求得b 1则数列{b n }通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b 1．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16，得2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，得（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①②联立方程求得得d=2，a 1=1或d=﹣2，a 1=（排除）∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1（2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n +1=c 1+c 2+…+c n +1两式相减得a n +1﹣a n =c n +1，由（1）得a 1=1，a n +1﹣a n =2∴c n +1=2，即c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n +1，又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n +1=2n +2﹣6，n ≥2，．19．某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：P=1000（x +t ﹣8）（ x ≥8，t ≥0），Q=500（8≤x ≤14）．当P=Q 时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．【解答】解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．20．已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[﹣1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）由f（x）=x3﹣3ax，得f′（x）=3x2﹣3a，当f′（x）＞0，f′（x）＜0时，分别得到f（x）的单调递增区间、单调递减区间，由此可以得到极小值为f（1）=﹣2．（2）要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，只需令直线的斜率﹣1小于f（x）的切线的最小值即可，也就是﹣1＜﹣3a．（3）由已知易得g（x）为[﹣1，1]上的偶函数，只需求在[0，1]上的最大值F（a）．有必要对a进行讨论：①当a≤0时，f′（x）≥0，得F（a）=f（1）=1﹣3a；②当a≥1时，f（x）≤0，且f（x）在[0，1]上单调递减，得g（x）=﹣f（x），则F（a）=﹣f（1）=3a﹣1；当0＜a＜1时，得f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增．当f（1）≤0时，f（x）≤0，所以得g（x）=﹣f（x），F（a）=﹣f（）=2a，当f（1）＞0，需要g（x）在x=处的极值与f（1）进行比较大小，分别求出a的取值范围，即综上所述求出F（a）的解析式．【解答】解：（1）∵当a=1时，f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1，当f′（x）＜0，即x∈（﹣1，1）时，f（x）为减函数；当f′（x）＞0，即x∈（﹣∞，﹣1]，或x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）上单调递增∴f（x）的极小值是f（1）=﹣2 （2）∵f′（x）=3x2﹣3a≥﹣3a，∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当﹣1＜﹣3a时成立，∴（3）因g（x）=|f（x）|=|x3﹣3ax|在[﹣1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1﹣3a．②当a＞0时，，（ⅰ）当时，g（x）=|f（x）|=﹣f（x），﹣f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=﹣f（1）=3a﹣1（ⅱ）当时，当f′（x）＞0，即x＞或x＜﹣时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即﹣＜x＜时，f（x）单调递减．所以，在单调递增．1°当时，，；2°当（ⅰ）当（ⅱ）当综上所述附加题【选修4-2：矩阵与变换】21．（选修4﹣2：矩阵与变换）求曲线2x2﹣2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由已知中，．可得MN，P（x′，y′）是曲线2x2﹣2xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′（x，y），则有==，得到x′=x，y′=x+，代入曲线2x2﹣2xy+1=0可得变换后的曲线方程．【解答】解：∵，．∴MN==，…设P（x′，y′）是曲线2x2﹣2xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′（x，y），则有==于是x′=x，y′=x+．…代入2x′2﹣2x′y′+1=0得xy=1，所以曲线2x2﹣2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1．…所以曲线2x2﹣2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1…【选修4-4：坐标系与参数方程】22．选修4﹣4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0，曲线C的参数方程为（α是参数），又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】把两曲线化为普通方程，分别得到直线与圆的方程，联立直线与圆的解析式，消去y得到关于x 的一元二次方程，求出交点A与B的坐标，利用弦长公式求出弦AB的长度．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x+2y=0，曲线C的普通方程为两者联立解得A和B的坐标为：和∴线段AB的长23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．（1）求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）试在面A1B1C1D1 上确定一点G，使DG⊥平面D1EF．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）．根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．【解答】解：（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），C1（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），于是=（﹣3，1，2），=（﹣2，﹣4，2），设设EC1与FD1所成角为β，则cosβ==．∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为．（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）．=（x，y，2），=（﹣2，﹣4，2），=（﹣1，1，0）．由得解得故当点G在平面A1B1C1D1 上，且到A1d1，C1D1 距离均为时，DG⊥平面D1EF24．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【考点】二项式定理的应用；数学归纳法．【分析】（1）通过对x取1，2求出a0及S n（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，S n＞（n﹣2）2n+2n2；当n=2，3时，S n＜（n﹣2）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，S n＞（n﹣2）2n+2n2。

2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案解析)

绝密★启用前2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三（上）第一次月考数学试卷（时间：120分钟满分：150分）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题共20分）一、选择题（本大题共4小题，共20分）1.函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A. B. C. D.2.△ABC中“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三角形”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知实数a＞0，b＞0，对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①“f（x）是奇函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”；②“f（x）是偶函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”；③“2a是f（x）的一个周期”的充要条件是“对任意的x∈R，都有f（x-a）=-f（x）”；④“函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称”的充要条件是“a=b”其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④4.存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共130分）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数y=sin（ωx-）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ______ ．6.若集合A={x||x-1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B= ______ ．7.方程lg x+lg（x+3）=1的解x=______．8.已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，，则幂函数f（x）=______．9.函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后为奇函数，则φ的最小正值为______．10.若集合A、B、C满足A∪B=B∩C，则下列结论：①A⊆C；②C⊆A；③A≠C；④A=∅中一定成立的有______．（填写你认为正确的命题序号）11.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是______．12.当0≤x≤1时，如果关于x的不等式x|x-a|＜2恒成立，那么a的取值范围是______．13.若函数f（x）=，则y=f（x）图象上关于原点O对称的点共有______对．14.已知a、b、c都是实数，若函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．15.对于实数x，定义＜x＞为不小于实数x的最小整数，如＜2.8＞=3，＜-＞=-1，＜4＞=4．若x∈R，则方程＜3x+1＞=2x-的根为______．16.已知集合A=[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知函数f（x）=3x2-2ax-b，其中a，b∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a与b的值（2）若b=3a，求同时满足下列条件的a的取值范围．①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立；②存在实数x，使得f（x）≤2-a成立．18.已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且函数图象又关于原点对称．（1）求函数f（x）的解析式（2）若关于x的不等式xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，求实数t的取值范围．19.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．20.已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最大值记作max f（x）、最小值记作min f（x），令g（m）=max f（x）-min f（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．21.设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，x n）和β=（y1，y2，…y n），记M（α，β）=[（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…（x n+y n-|x n-y n|）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=-log2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．分别利用对数函数的运算法则确定函数与函数的关系．本题主要考查对数函数的图象和性质以及函数图象的变化，要求熟练掌握对数的图象和性质．2.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A+sin A=cos B+sin B，∴sin（A+）=sin（B+），∴A+=B+，或A+=π-（B+），化为：A=B，A+B=．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．反之不成立，例如A=C．因此“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三角形”的既不充分也不必要条件．故选：D．△ABC中，由cos A+sin A=cos B+sin B，利用和差公式、诱导公式及其三角形内角和定理即可得出A，B的关系．反之不成立，例如A=C．即可得出结论．本题考查了和差公式、诱导公式及其三角形内角和定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①若“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时关于点（0，0）对称，∴①正确．②若“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时函数f （x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，函数f（x）是偶函数，∴②正确．③若函数f（x）为常数函数不妨设f（x）=2，若a＞0，则2a是f（x）的一个周期，但f（x-a）=2，-f（x）=-2，∴f（x-a）=-f（x）不成立，∴③错误．④若函数y=f（x-a）=0，y=f（b-x）=0，则y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称，但a与b不一定相等，∴④错误．其中正确命题的序号是①②．故选：A．①根据奇函数的定义进行判断．②根据偶函数的定义的定义进行判断．③根据函数周期性的定义进行判断．④根据对称性质的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性和周期性的判断，利用函数奇偶性和周期性的定义和性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．4.【答案】D【解析】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sin x；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2-1）=|t|；令t2-1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．5.【答案】2【解析】解：∵y=sin（ωx-）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．根据三角函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．6.【答案】（-1，2）【解析】解：由A中不等式变形得：-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3，∴A=（-1，3），由B中不等式变形得：（x-2）（x+4）＜0，解得：-4＜x＜2，即B=（-4，2），则A∩B=（-1，2），故答案为：（-1，2）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】2【解析】解：∵lg x+lg（x+3）=lg[x（x+3）]=lg（x2+3x）=1=lg10∴x2+3x=10∴x=2或-5∵x＞0∴x=2故答案为：2．先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．本题主要考查解对数方程的问题．这里注意对数的真数一定要大于0．8.【答案】＞【解析】解：依题意，点，在函数y=x a的反函数的图象上，则点（9，）在函数y=x a的图象上将x=9，y=，代入y=x a中，得=9a解得a=-则幂函数f（x）=＞．满足题意．故答案为：＞．利用函数y=x a的反函数的图象经过点，，可知点（9，）在函数y=x a的图象上，由此代入数值即可求得．本题主要考查了反函数，以及原函数与反函数之间的关系，属于基础题．9.【答案】【解析】解：函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后得到函数为y=cos[2（x+）+φ]=cos（2x++φ），若函数为奇函数，则+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=-+kπ，当k=1时，φ=π-=，故答案为：根据三角函数的奇偶性的性质即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象关系以及三角函数奇偶性的应用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．10.【答案】①【解析】解：因为A⊆A∪B，且C∩B⊆C，A∪B=C∩B由题意得A⊆C，故答案为：①本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解，属于基础题．11.【答案】（，）【解析】解：如图所示：∵f（2x-1）＜f（）∴-＜2x-1＜，即＜x＜．故答案为：（，）本题采用画图的形式解题比较直观．本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质．12.【答案】（-1，3）【解析】解：当x=0时，0＜2恒成立，当0＜x≤1时，不等式x|x-a|＜2恒成立可转化成|x-a|＜而函数y=在（0，1]上单调递减，有最小值为2当a∈[0，1]时，|x-a|＜恒成立当a＞1时，然后y=|x-a|=a-x，只需a-1＜2即1＜a＜3当a＜0时，然后y=|x-a|=x-a，只需1-a＜2即-1＜a＜0综上所述a∈（-1，3）故答案为：（-1，3）当x=0时，0＜2恒成立，当0＜x≤1时，不等式x|x-a|＜2恒成立可转化成|x-a|＜，然后讨论a的范围，去掉绝对值再进行求解即可．本题主要考查了函数恒成立问题，以及绝对值不等式解法和分类讨论的思想，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：y=f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）=|lg（x-1）|（x＞1）的图象与f（x）=sin x关于原点对称的函数的图象交点个数即可，如上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为：4．y=f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）=|lg（x-1）|（x＞1）的图象与f（x）=sin x关于原点对称的函数的图象交点个数即可再分别画图象可观察得解．本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想．14.【答案】{0}【解析】解：函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），即函数f（x）的值域为（-∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；则需y=的值域包含（-∞，a2），结合函数y=在（a，c）内有意义，则c=0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．由题意可得，函数f（x）的值域为（-∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y=在（a，c）内有意义，可得c=0，则答案可求．本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．15.【答案】-或【解析】解：设2x-=k∈Z，则x=，3x+1=k+1+，于是原方程等价于[]=-1，即-2＜≤-1，从而得-＜k≤-．∵k∈Z，∴k=-5或-4．∴x=-或．故答案为：-或．本题设2x-=k∈Z，则x=，3x+1=k+1+，于是原方程等价于[]=-1，从而得k=-5或-4，从而求出根．本题考查了综合逻辑分析能力，属于新定义题目，要求学生有较好的逻辑分析能力，属于中档题．16.【答案】1或-3【解析】解：当t＞0时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t+4，t+9]，当a∈[t+4，t+9]时，则∈[t，t+1]，即当a=t时，；当a=t+9时，≥t，即λ=t（t+9）；当a=t+1时，≥t+4，当a=t+4时，≤t+1，即λ=（t+1）（t+4），∴t（t+9）=（t+1）（t+4），解得t=1．当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，则∈[t+4，t+9]，即当a=t时，≤t+1，当a=t+1时，≥t，即λ=t（t+1），即当a=t+4时，≤t+9，当a=t+9时，≥t+4，即λ=（t+4）（t+9），∴t（t+1）=（t+4）（t+9），解得t=-3．当t+9＜0时，同理可得无解．综上，t的值为1或-3．故答案为：1或-3．t＞0时，当a=t时，；当a=t+9时，λ=t（t+9）；当a=t+1时，≥t+4，当a=t+4时，λ=（t+1）（t+4），从而t（t+9）=（t+1）（t+4），解得t=1；当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，当a=t时，≤t+1，当a=t+1时，≥t，即λ=t（t+1），当a=t+4时，≤t+9，当a=t+9时，λ=（t+4）（t+9），从而t（t+1）=（t+4）（t+9），解得t=-3．当t+9＜0时，无解．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．17.【答案】解：（1）由题意，解得，；（2）若b=3a，则f（x）=3x2-2ax-3a，①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立，则令f（x）=0，即3x2-2ax-3a=0，则△=（-2a）2-4×3×（-3a）≤0，解得-9≤a≤0；②f（x）≤2-，3x2-2ax-3a≤2-，即9x2-6ax-7a-6≤0，令g（x）=9x2-6ax-7a-6，则g（x）min=≤0，解得a≤-6或a≥-1．【解析】（1）由题意，不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，则f（x）=0的两个根为0，6，进而求解；（2）若b=3a，则f（x）=3x2-2ax-3a，①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立，即△≤0，②存在实数x，使得f （x）≤2-a成立，令g（x）=9x2-6ax-7a-6，g（x）最小值小于等于0；（1）考查二次函数，二次不等式，一元二次方程的关系；（2）考查二次函数和x轴的交点与判别式的关系，二次函数的最值与x轴交点的关系．18.【答案】解：（1）函数图象又关于原点对称，则f（-x）+f（x）=0，即=0，∴b=0，又f（1）=2，即a+1=2，∴a=1，∴f（x）=；（2）xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，即f（x）＞（t-2）+在（0，+∞）上恒成立，f（x）==x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴2＞（t-2）+，整理得t＜4．【解析】（1）函数图象关于原点对称，即f（x）是奇函数，又过（1，2），进而求解；（2）xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，即f（x）＞（t-2）+在（0，+∞）上恒成立，进而求解；（1）考查奇函数的性质，图象特点，求函数解析式的方法；（2）考查转化思想，恒成立问题的转化；19.【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又∵∠，，∴，∴，恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得∠∠∠，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，，∴＜＜，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠，，可得，恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.【答案】解：（1）当m=0时，f（x）=，此时f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数，当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．（2）证明f（x）是增函数f（x2）-f（x1）==，∵α＜x1＜x2＜β，∴＜，＜，则m（x1+x2）-2＜0，2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2＜x12+x22＜m（x1+x2）+2，即2x1x2-m（x1+x2）-2＜0，∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（α，β）是递增的，则恒成立，∴λ≥，∵，∴λ≥2．【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．21.【答案】解：（I）M（α，α）=1+1+0=2，M（α，β）=0+1+0=1．（II）考虑数对（x k，y k）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．（Ⅲ）B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=l，此时M（α，β）≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．【解析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．。

上海市2018-2019学年进才中学高三上学期数学第一次月考

上海市2018-2019学年进才中学高三上学期数学第一次月考一. 填空题1. 设集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，若{2}A B =，则A B =2. 不等式2log 0x <的解集是3. 函数()f x=的定义域是4. 方程223240x x +--⋅+=的解是5. 函数|4||6|y x x =-+-的最小值为 6. 若函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 7. 函数()||f x x x =的反函数是8. 设函数(3)(1)()22xx x x af x x a -+-≤⎧=⎨->⎩，若函数()f x 恰有1个零点，则实数a 的取值范围是9. 若函数()f x =[0,)+∞，则实数m 的取值范围是 10. 已知函数22()22x x f x +=+的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是11. 已知函数()k f x x x =+（0k >），若对任意的1,,[,1]3a b c ∈，长为()f a 、()f b 、()f c的三条线段均可以构成三角形，则正实数k 的取值范围是 12. 设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，在全集U中任取四个元素组成的集合记为1234{,,,}A a a a a =，余下的四个元素组成的集合记为1234{,,,}Bb b b b =，若集合A 与B 中的元素满足：12341234a a a a b b b b +++<+++，则满足条件的集合A 有个二. 选择题13. 设,a b ∈R 且0ab≠，则“1a b <成立”是“1ba>成立”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设实数a 、b 、c 、d 满足ab <且cd <，若关于x 的不等式()()0x a x b x ---<的解集是开区间(,)c d ，则关于x 的不等式()()0x c x d x --+<的解集是开区间（）A. (,)a bB. (,)b a --C. (,)c dD. (,)d c -- 15. 定义(,)a a bF a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为假命题的是（）A. 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数B. 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数C. 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数D. 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数16. 某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分，请根据如下甲、乙、丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分为（）分A. 4B. 5C. 6D. 7三. 解答题 17. 已知函数()10()f x a x =-，2()205g x x =-.（1）若函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，求实数a 的取值范围；（2）当12a =时，解关于x 的不等式log ()log ()a a f x g x <.18. 已知函数2()af x x x=+（a ∈R ）. （1）针对a 的不同取值情况，判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.19. 已知函数2()2f x ax x =-+（0a >）的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x .（1）求证：11x 、14、21x 构成等差数列；（2）若1x 、2x 满足不等式12|lg |1x x ≤，试求正实数a 的取值范围.20. 已知函数()f x k ，其中k ∈R . （1）讨论函数()f x 的零点的个数；（2）若存在实数m 、n ，使函数()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[,]m n ，其中3m n -≤<，求k的取值范围；（3）若存在实数m 、n ，使函数()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[,]n m --，其中3m n -≤<，求k的取值范围.21. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k和t 的值；（2）当2t=时，函数()f x 满足：若[0,2]x ∈，则()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -（其中实数0a >），证明：函数()f x 为周期函数.参考答案一. 填空题1. {1,2,5}2. (0,1)3. (,0)-∞4. 1x=-5. 26. 1(,)2+∞7. 10()x f x x -≥=<⎪⎩ 8. (,3)-∞-9. [0,1] 10. (1,2) 11. 15(,)15312. 31二. 选择题13. B 14. A 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）5(,)2+∞；（2）(2,1)--. 18.（1）0a=，偶函数；0a ≠，非奇非偶函数；（2）(,2]-∞.19.（1）韦达定理，化简即证；（2）1221151210[,]101218x x a x x ≤+≤+⇒∈. 20.（1）0k ≤，1个零点，0k >，没有零点；（2）13(,3]4--；（3）9[2,)4. 21.（1）0k =，1t =-；（2）[2,4]-；（3）0t >，周期为2；0t <，周期为1.。

上海进才中学高三下学期月考数学试卷及答案(2024.03)

1上海进才中学2023学年第二学期高三年级数学月考2024.03一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.若集合}{}21A B x x <=≥，，则A B = ______.2. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______.3. ()8x y −的展开式中26x y 的系数为______.4. 已知函数()()sin 04πf x x =ω+ω>的最小正周期为2π，则ω的值为______.5. 设,a b为单位向量，且||1a b += ，则||a b −= ______________. 6. 方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=的解是______.7. 等比数列{}n a 的前n 项和3n nS a =+，则a 的值为__________. 8. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________. 9. 已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则四棱锥的最大体积为______.10. 设函数21()ln 2f x x ax bx =−−，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为________.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，2413DE =，则ADE 的周长是______. 12. 关于x 的实系数方程2450x x −+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题,满分18分，第13、14题每题4分第15、16题每题5分）13. 已知αβγ，，是三个不同的平面，m n αγ=βγ= ，，则“//m n ”是“//αβ”的2（）条件.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精进化管理､保障可持进进展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2 3 45y 22.33.4mA. 变量x 、y 之间呈正相关关系B. 可以预测当8x =时，y 的值为6C. 3.9m =D. 由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515. 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=−，则点A 的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 316. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记′()()g x f x =．若3(2)2f x −，(2)g x +均为偶函数，则（）A. (0)0f =B. 1()02g −= C. ()()21f f −= D. ()()12g g −=三、解答题 (本大题满分78分)17. 如图，直三棱柱111ABC A B C −中，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A3（1）证明1A BC 是直角三角形（2）若1A BC1AB =，求直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小18. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c +的最小值．19. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险4程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B RP A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.82820. 已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a −=>−上（1）求双曲线C 的方程（2）过点A 的互相垂直的两直线与x 轴分别交于点M N ，，求AMN 面积的最小值（3）已知直线l 交双曲线C 于P Q ，两点，且直线AP AQ ，的斜率之和为0，求直线l 的斜率521. 已知函数()x f x e ax =−和()()ln g x ax x a R =−∈ （1）若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围. （2）若函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，求a 的值（3）若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列6上海进才2023学年第二学期高三年级数学月考2024.03一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.若集合}{}21A B x x <=≥，，则A B = ______.【答案】{}14x x ≤< 【解析】{}{}{}04114A x x Bx x A B x x =≤<=≥∴∩=≤< ，，, 故答案为：{}14x x ≤<.2. 数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是______. 【答案】3【解析】由770% 4.9×=，则数据1，1，2，2，3，3，5的第70百分位数是该数列从小到大排列后的第5个数3,故答案为：3. 3. ()8x y −的展开式中26x y 的系数为______. 【答案】28【解析】因为()8x y −的展开式的通项公式为()818r r r r T C x y −+=−，当6r =时，此项为6268C x y ，则26x y 的系数为6828C =，故答案为：28.4. 已知函数()()sin 04πf x x =ω+ω> 的最小正周期为2π，则ω的值为______.【答案】4【解析】因为()()sin 04πf x x =ω+ω> 的周期为2π，所以22ππω=，解得4ω=. 故答案为：4.5. 设,a b为单位向量，且||1a b += ，则||a b −= ______________.7【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==所以1a b +=== 解得：21a b ⋅=−所以a b −=6. 方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=的解是______. 【答案】x=1−【解析】由方程lg(2)lg(3)lg12x x −+−=，可得[]lg (2)(3)lg12x x −−=， ()()20302312x x x x −>∴−> −−=，解得x=1−.故答案为：x=1− 7. 等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则a 的值为__________. 【答案】1−【解析】根据题意，等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则1133a a a =+=+， ()()()()232221332336,3318a S S a a a S S a a =−=+−+==−=+−+=，则有()31836a +×=，解可得1a =−，故答案为：1−8. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________. 【答案】23【解析】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对，所以随机取2个数，互质的概率为271423=C .故答案为：23. 9. 已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则8四棱锥的最大体积为______. 【答案】643【解析】画出图形，如图所示：设PE ⊥底面ABCD 于点E ，则E 为正方形ABCD 的中心，则AE =，因为该球的表面积为36π，则2436πr π=，所以该球的半径r 为3，则1OE =，则四棱锥的最大体积为21644433××=，故答案为：643. 10. 设函数21()ln 2f x x ax bx =−−，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为______. 【答案】【解析】()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=−−，由()'00f =，得1b a =−，所以()()()11'ax x f x x+−=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点； ②若a <0，由()'0f x =，得1x =或1x a =−.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a−>，解得10a −<<，综合①②：a 的取值范围是1a >−，故答案为()1,−+∞.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，2413DE =，则ADE 的周长是______.9【答案】4【解析】如图，椭圆()222210x y C a b a : b +=>>的离心率为12，∴不妨可设椭圆2222143x yC c :c+=，2a c =，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，∴12AF F △为等边三角形，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E两点，tan 30°DE k ==，由等腰三角形的性质可得，2||||AD DF =，2||||AE EF =，设直线DE方程为)yx c +，1(D x ，)1y ，(2E x ，)2y ，将其与椭圆C 联立化简可得，22138320x cx c +−=，由韦达定理可得，12813c x x +=−，2123213c x x =−，248241313DE x c =−==, 解得12c =，ADE 的周长等价于22148842DE DF EF a c ++===×=.故答案为：412. 关于x 的实系数方程2450x x −+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______. 【答案】{}(01)1∪−，【解析】因为2450x x −+=的解为2x i=±，设所对应的两点分别为,A B ，则(21)A ,，(21)B ,−，10设220x mx m ++=的解所对应的两点分别为C ，D ，记为(1C x ，12y )D(x ，，2)y ，当0∆<，即01m <<时，因为,A B 关于x 轴对称，且C ，D ，关于x 轴对称，显然四点共圆；当0∆>，即1m >或0m <时，此时(1C x ，20),D(x ，0)，且122x x m +=−，故此圆的圆心为(,0)m −，半径12||2x x r −==，又圆心1O 到A 的距离1O A r =，解得1m =−，综上：{}1(01)m ∈∪−，, 故答案为：{}(01)1∪−，. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分）13. 已知αβγ，，是三个不同的平面，m n αγ=βγ= ，，则“//m n ”是“//αβ”的（）条件.A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】如图，将αβγ，，平面视为一个三棱柱的三个侧面，设a α∩β=，a m n ，，为三棱柱三条侧棱所在的直线，则由//m n 得不到//αβ若//αβ，且m n αγ=βγ= ，，由面面平行的性质定理可得//m n 所以是必要非充分条件故选：B14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精进化管理､保障可持进进展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到11y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2 3 45y 22.33.4mA. 变量x 、y 之间呈正相关关系B. 可以预测当8x =时，y 的值为6C. 3.9m =D. 由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.85 【答案】C【解析】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =×+=，B 对；对于CD 选项，23453.54x+++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =×+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15. 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=−，则点A 的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由已知(1,0)F ，设200,4A y y ，则200,4y OA y = ，2001,4y AF y =−− ，由222000014,244y y OA AF y y ⋅⋅−−==−∴=±，()1,2A ∴±故选：C16. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记′()()g x f x =．若3(2)2f x −，.12(2)g x +均为偶函数，则（）A. (0)0f =B. 1()02g −=C. ()()21f f −=D. ()()12g g −=【答案】B【解析】3(2)2f x − 为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x −=+，()f x ∴关于32x =对称，()()25f f −=，故C 不正确；(2)g x + 为偶函数，(2)(2)g x g x ∴+=−，()g x 关于2x =对称，故D 不正确； ()f x 关于32x =对称，32x ∴=是函数()f x 一个极值点， ∴函数()f x 在3,2t处的导数为0，即33()()022g f =′=，又()g x ∴的图象关于2x =对称，53()()022g g ∴==，∴函数()f x 在5,2t的导数为0，52x ∴=是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，5,2t ∴ 关于32x =的对称点为1,2t，由52x =是函数()f x 的极值点可得12x =是函数()f x 的一个极值点，11()()022g f ∴=′=，进而可得17()()022g g ==，故72x =是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，7,2t ∴ 关于32x =的对称点为1,2t − ，11()()022g f ∴−=′−=，故B 正确；()f x 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误．故选:B 三、解答题 (本大题满分78分)17. 如图，直三棱柱111ABC A B C −中，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A的.13（1）证明1A BC 是直角三角形（2）若1A BC1AB =，求直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接1AB ，111ABC A B C − 是直三棱柱，111AA AB AB A B =∴⊥,，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，且平面1A BC ∩平面1111,ABB A A B AB =∴⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以1AB BC ⊥，又111,AA BC AA AB A BC ⊥=∴⊥ ，平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥，则1A BC 是直角三角形；（2）由题意知1AB =，11111,22A BC AA AB S BC BC ∴==∴= ，由（1）知BC ⊥平面11ABB A ，则直线1A C 与平面11ABB A 所成角的大小为1BA C ∠，11tan BC BA C A B ∠=，则直线1A C 与平面11ABB A所成角的大小为18. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c+的最小值．14【答案】（1）6π；（2）5−．【解析】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 2cos 2cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =−=+=−=，而02πB <<，所以6πB =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =−>，所以,022ππC πB <<<<，而sin cos sin 2πB C C =−=− ，所以2πC B =+，即有22πA B =−，所以3,424B 0,C ,πππ ∈∈所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++−== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B B B −+−==+−≥−=−．当且仅当2cos B =时取等号，所以222a b c +的最小值为5−． 19. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险15程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B RP A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析； (ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)24()()()()50150100100n ad bc K=a b c d a c b d −×−×=++++×××，又2( 6.635)0.01P K =≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因(|)(|)()()()()(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R =P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅，所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅， (ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)6(|)(|)P A B P A B R =P A B P A B =⋅20. 已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a −=>−上（1）求双曲线C 的方程为16（2）过点A 的互相垂直的两直线与x 轴分别交于点M N ，，求AMN 面积的最小值（3）已知直线l 交双曲线C 于P Q ，两点，且直线AP AQ ，的斜率之和为0，求直线l 的斜率【答案】（1）2212x y −= （2）1 （3）1−【解析】（1）将点()2,1A 代入曲线方程()2222:111x y C a a a −=>−，解得22a =, 则双曲线C 的方程为2212x y −= （2）设AM 的方程为()12y k x −=−，则AN 的方程为()112y x k−=−− 令0y =，得()12,0,2,0,M N k k −++ 则111121222ΔAMN M N S x x k k =−=+≥×= 当且仅当1k k =，即1k =±时，AMN 面积的最小值为1当斜率不存在时，不构成三角形，则AMN 面积的最小值为1 （3）已知直线l 的斜率存在，设()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+联立方程组2212x y y kx m −= =+ , 可得()222124220k x mkx m −−−−=，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−()()222216422210Δm k m k ∴=++−>即22120m k −+>由直线,AP AQ 的斜率之和为0可得212111011y y x x −−+=−− 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−= 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=17所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +−+−−−−=−− 化简得()()()28444101210k k m k k k m +−++=⇒+−+=，所以1k =−或12m k =− 当12m k =−时，:12l y kx m kx k =+=+−过点()2,1A 与题意不符，所以1k =− 21. 已知函数()x f x e ax =−和()()ln g x ax x a R =−∈ （1）若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围. （2）若函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，求a 的值（3）若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【答案】（1）(],0−∞ （2）1 （3）存在【解析】（1）()()()1ln 0,0g x ax x x g x a x=−′>∴=−≤ 恒成立，因为10x>，所以0a ≤，则a 的取值范围为(],0−∞；（2）()f x 定义域为R ，()x f x e ax =− ，()x f x e a ′∴=−，若0a ≤，则()0f x ′>，()f x 单调递增，无最小值，故0a >，当()0f x ′=时，ln x a =，当ln x a <时，()0f x ′<，函数()f x 在(,)lna −∞上单调递减，当ln x a >时，()0f x ′>，函数()f x 在(,)lna +∞上单调递增，故min ()()ln f x f lna a a a ==−，()g x 的定义域为(0,)+∞，()ln g x ax x =− ，1()g x a x ′∴=−，令()0g x ′=，解得1x a=，当10x a <<时，()0g x ′<，函数()g x 在1(0,)a上单调递减，18当1x a >时，()0g x ′>，函数()g x 在1,a +∞上单调递增，故min ()1ln g x a =+，函数()x f x e ax =−和()ln g x ax x =−有相同的最小值，ln 1ln a a a a ∴−=+， 0a > ，ln 1ln a a a a ∴−=+化为1ln 01a a a −−=+，令1()ln 1x h x x x −=−+，0x >，则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x ′+−−+=−=−=+++， 0x > ，221()0(1)x h x x x +′∴=>+恒成立，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，又()()()10,1h h a h =∴= ，仅有此一解，1a ∴=；（3）由（2）知1a =，函数()x x f e x −=在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，函数()ln g x x x =−在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，设()()()2ln (0)x u x f x g x e x x x =−=−+>，则1()22x x u x e e x ′−+>−，当x 1≥时，()20u x e ′≥−>，所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为()120u e =−>，所以当x 1≥时，()()10u x u ≥>恒成立，即()()0f x g x −>在x 1≥时恒成立，所以x 1≥时，()()f x g x >，因为(0)1f =，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()11g =，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以函数()f x 与函数()g x 的图象在(0,1)上存在唯一交点，19设该交点为(m ,())(01)f m m <<，此时可作出函数()y f x =和()y g x =的大致图象，由图象知当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，直线y b =必经过点(M m ,())f m ，即()b f m =，因为()()f m g m =，所以ln m m m m e −=−，即2ln 0m e m m −+=，令()()f x b f m ==得ln x m m e x e m m −=−=−，解得x m =或ln x m =，由01m <<，得ln 0m m <<，令()()g x b f m ==得ln ln m x x e m m m −=−=−，解得x m =或m x e =，由01m <<，得1m m e <<，所以当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，m e ，因为2ln 0m e m m −+=，所以ln 2m m m e +=，所以ln m ，m ，m e 成等差数列．∴存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．的。

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进才中学高三月考数学试卷
2018.12
一. 填空题
1. 已知集合12
{|log 0}A x x =>，{||1|2}B x x =-<，则A
B =
2. 计算：22
|100|
lim
3n n n →∞-= 3. 复数i
1i
z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限
4. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线的标准方程为
5. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm
6.
二项式5
的展开式中常数项为（用数字作答） 7. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m = 8. 若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数，n ∈*N ），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，
12345
11111
15a a a a a ++++=，则数列{}n a 通项为 9. 三角形OAB 中，1P 、2P 、…、n P 是AB 边上的1n +等分点，设OA a =，OB b =，若 2018n =，用a 、b 表示122018OP OP OP ++⋅⋅⋅+，其结果为
10. 已知整数a 、b 、c 满足a b ab +=，2a b c abc ++=，则c 的取值范围是 11. 对任意x ∈R
，函数1
(1)2
f x +=，设2()()n a f n f n =-，n ∈*N ，数列{}n a 的前15项的和为31
16
-
，则(15)f = 12. 如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有对. （用数字作答）
二. 选择题
13. 已知非零向量a 、b ，“a ∥b ”是“a ∥a b +”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图像关于直线3
x π=对称；③ 在5[
,]6
π
π上是单调递增函数”的一个函数可以是（） A. cos()2
6
x y π=+
B. 5sin(2)6
y x π=+
C. cos(2)3y x π
=-
D. sin(2)6
y x π
=- 15. 记方程①：2110x a x ++=，方程②：2210x a x ++=，方程③：2310x a x ++=，其中1a 、2a 、3a 是正实数，且1a 、2a 、3a 成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）
A. 方程①有实根或方程②无实根
B. 方程①有实根或方程②有实根
C. 方程①无实根或方程②无实根
D. 方程①无实根或方程②有实根 16. 设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，且{}[]x x x =-，则方程1
{}{}1x x
+=（） A. 方程无实根 B. 方程存在整数解 C. 方程存在无理数根 D. 方程有两个以上有理数根
三. 解答题
17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .
（1）若3
B π=
，b =ABC 的面积S =
a c +的值；（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C .
18. 已知函数11
()f x x a x b
=
---（a b <）. （1）若1a =，3b =，求证：函数()y f x =在[2,3)上是增函数；（2）设集合{(,)|()}M x y y f x ==，2
{(,)|(),}2
a b N x y y x λλ+==-
∈R ，若 M
N =∅，求实数λ的取值范围.
19. 由于浓酸泄漏对河流形成污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐
步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为16
8022424x x y x x x ⎧-
-+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩
，
只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.
20. 已知椭圆2
2
14
y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，
焦距为的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T .
（1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为一定值；
（3）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤，
求22
12S S -的取值范围.
21. 已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：对任意的i 、
j （1i j n ≤<≤），i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .
（1）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+；（3）证明：当5n =时，1a 、2a 、3a 、4a 、5a 成等比数列.
参考答案
一. 填空题
1. (0,1)
2. 13
3. 二
4.
22
144
x y -=
5.
6. 10-
7. 2-
8.
1n
9. 1009()a b + 10. 14
(,]27
11. 3
4
12. 1750
二. 选择题
13. C 14. D 15. D 16. C
三. 解答题 17.（1）5；（2）
3
π. 18.（1）略；（2）3
64
0()b a λ≤<-.
19.（1；（2）14- 20.（1）22
114
x y -=；（2）定值为1；（3）[0,1]. 21.（1）{1,3,4}不具有性质P ，{1,2,3,6}具有性质P ；（2）略；（3）略.。