微积分基本公式

(2)销量从 200 件增到 400 件， 总收入增加了：
R R(400) R(200) x (1000 )dx 200 2
400
x 2 400 = (1000 x ) |200 170000 （元） 返回 4
案例 3.17
某水泥厂生产水泥的边际
50 成本为 C ( x ) 100 （元/吨） ，其中 x 为产 x
x 年这期间的总产量 Q 为

x
a
P ( t )dt Q( x ) Q(a )
两边同时对 x 求导，且因 Q(t ) P (t ) ，于是
d x P ( t )dt [Q( x ) Q(a )] Q( x ) P ( x ) dx a
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引例 3.7
设某商品的价格 P 是
参考答案
参考答案
2 3 1、V r tg 3
2、10年中该项投资的纯收入的贴现 值为96.75万元
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引例 3.6 设某种产品其总产量的 变化率（即边际产量）是时间 t 的连续 函数 P P ( t ) ，求从第 a 年到第 x 年这期 间的总产量.
引例3.6
解 由定积分概念，从第 a 年起到第
元时，消费支出增加多少？
案例3.20
解 消费支出增加为
W
1600 900
15 dx 30 x x
1600 900
300 （元）
因此， 当个人收入由 900 元增加到 1600 元时，消费支出增加 300 元.
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案例 3.21
设某种服装的销售量在时
2 t t 0 （千件 . t3 刻 时的变化率为 Q ( t ) 4 /月） ，
TL( t ) L( x )dx ，
0 t
投入使用 t 年的时累积利润
当 (TL( t )) L( t ) 0 时，即当收益等于维修成本时， 机器报废，累积利润最大. 1 2 2 81 t 2 t 因此 ，得 t=6（年）. 4
这台机器使用 6 年后应报废，6 年的累积利润为：
1 2 1 t（万元） 益与时间的函数关系为 R( t ) 8 ， 4
2 C ( t ) 2 t（万 维修成本与时间的函数关系为
元）.假定机器报废时没有任何成本或残留价值. 试问其利用率最高（即累积利润最大）时,这台 机器应使用多少年？并计算总利润.
解
设利润与时间的关系为 L( t ) ，则 L(t ) R(t ) C (t ) .
案例3.17
案例3.20 案例3.23
课堂练习
1、有一半径为r的圆柱木料，现过 底圆的中心与底面成a角(锐角)作一平面， 截下该木料上一块楔形木块，求这楔形 木块的体积.
参考答案
课堂练习
2、某投资项目的成本为l百万元，在 10年中年可收益25万元，投资年利率5%. 试求这10年中该项目的纯收入的贴现值.
R( x ) 1000 x （元/台） ， 其中
Leabharlann Baidu
x 为产量 （单位： 台） .
求（1）生产多少台时总利润最大？ （2）总利润最大时总收入为多少？
案例3.18
解 （1）由于利润函数 L( x) R( x) C( x)所以
L( x ) R( x ) C ( x ) 1000 x 400
900 0
L( x )dx
900 0
(18 0.02 x )dx (18 x 0.01 x 2 ) 0 8100
900
（3）生产 800 件的总利润为
L(800)
800 0
L( x )dx
800 0
(18 0.02 x )dx (18 x 0.01 x 2 ) 0 8000
案例3.23
解 （1） 由于边际利润等于边际收入和边际 成本的差
L( x) R( x) C ( x) 20 0.02 x 2 18 0.02 x
令 L( x ) 0 ，得唯一驻点 x=900 件时总利润最大.
因此，当 x=900
（2）总利润的最大值为
L(900)

(100
50 x
50 x
)dx 100 x 100 x C ，
10000
(100
)dx (100 x 100 x ) 6400 362000 （元） ，
因此，总成本的增加量 36.2 万元的投资.
返回
案例 3.18
已知某产品的边际成本函数为
3x C ( x ) 400 （元/台） ，边际收入函数为 2
Q x ( t )dt (100 12t )dt
2 2 4 4 4
(100t 6t ) 2 272
2
因此， t 2 到 t 4 这两小时的总产量为 272 单位.
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案例 3.20 在某地区当消费者个人收 入为 x 时，消费支出W ( x ) 的变化率
15 ， 当个人收入由 900 元增加到 1600 W ( x ) x
d x P ( t )dt [ R( x ) R(a )] R( x ) P ( x ) dx a
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案例 3.16
已知销售某种产品 x 件时，总收
x 2
入 R(x)的变化率（边际收入） （单位：元/件）为
R( x ) 1000 x0
(1)求销售 100 件时该产品的总收入； (2)求销售从 200 件增到 400 件时，总收入增 加了多少？
引例3.7
§3.4.2 微积分基本公式
定理 3.2 （微积分基本公式） 若函数 F ( x ) ] 是连续函数 f ( x ) 在区间[a ,b 上的一个原函数，则

b a
f ( x) d x
F ( ) b
F ( a )
称为微积分基本公式也称为牛顿-莱布尼兹公式.
案例3.16
案例3.18 案例3.21 案例3.19 案例3.22
销售量 t 的连续函数 P P ( t ) ， 当销售 量从 a 变动到 x 时的收益 R 为多少？
引例3.7
解 由定积分概念， 销售量从 a 变动到 x 时的收益 R 为

x
a
P ( t )dt R( x ) R(a )
两边同时对 x 求导，且因 R(t ) P (t ) ， 于是
（元）因此，当产量为1200台时，所获利润最大，此时的 总收入为192万元. 返回
案例 3.19 某工厂生产某商品总 0 1 t 2 产量在时刻 t 的变化率为 x( t ) 1 0 （单位/小时） .求由 t 2 到 t 4 这两小时 的总产量.
案例3.19
解 设总产量为 x(t ) ，则
a
x
§3.4.1 变上限积分*
b 上 ] 定理 3.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , 连续，则变积分上限函数
( x ) f ( t )dt
a
x
在区间[a , b]上可导，且
d x ( x ) f ( t )d t dx a
引例3.6
f( x ) ( a x
) b
9 3 6 TL(6) [ R( t ) C ( t )]dt (81 t 2 )dt (81t t 3 ) 0 324 0 0 4 4
6 6
因此，这台机器使用 6 年后应报废，6 年的累积利 润为 324 万元. 返回
案例 3.23 某食品厂生产某种食品的 边际成本为 C ( x ) 2 (元/件)（固定成本为 0） ， 而边际收入为 R( x ) 20 0.02 x (元/件)，求： （1） 产量 x 为多少时总利润最大？ （2） 总利润的最大值是多少？ （3） 生产 800 件时的总利润为多少？
试求一年内的总销售量.
案例3.21
解 所求的总销售量为
Q Q( t )dt (4t 0.3t 2 )dt
0 0 12 12 12
(2t 0.1t ) 0 115.2
2 3
因此， 一年内的总销售量为 115.2 千件.
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案例 3.22
某加工厂已购置一台机器， 收
800
返回
§3.4 微积分基本公式
§3.4.1 变上限积分
*
] 定义 3.4 设函数 f ( x ) 在区间[a ,b 上可积， x [ a, b ] ，则变动上限的积分

x
a
f ( t )dt (a x b)
是上限 x 的函数，称为变积分上限函数（变上限 积分） ，记作
( x ) f ( t )dt
量（单位：吨）.求当产量从 6400 吨增加到 10000 吨时，总成本的增加量.
案例3.17
解 设产量从 6400 吨增加到 1 万吨时，总成本 的增加量 C ，则
C
10000 6400
C ( x )dx
10000 6400
50 (100 )dx x
又因为
C
10000 6400
解 （1）因为销售 100 件时该产品的总收入 是 R(100) ，所以
R(100)
1 0 0 0
R( x )dx
1 0 0 0
x (1000 )dx 2
又因为
R(100)
100 0

x x2 (1000 )dx 1000 x C ，所以 2 4
x x 2 100 (1000 )dx (1000 x ) |0 97500 （元） 2 4
3x x 600 2 2
令 L( x) 0，得驻点 x=1200由于是唯一的驻点，由问 题的实际意义当x=1200台时利润最大. 2）获最大利润时的总收入为
R(1200)
1200 0
R( x )dx
1200 0
x 2 1200 (1000 x )dx (1000 x ) 0 1920000 2