2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
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2
3
因此期望为： .
【点睛】
本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.
19．在 中， ， .
（1）求 ；
（2）若 的周长为 求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出 ，从而结合诱导公式可求得 可得 角；
（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积．
C．直线 与平面 所成角的大小等于二面角 的大小
D．在棱 上一定存在一点 ，使得 平面
【答案】BCD
【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可.
【详解】
如图，设 ，易知二面角 的平面角为 ，
则 ，即 因为 ，所以异面直线 与 所成角为 ，因为 ，所以 ，A错误；
设 ，则 ，所以 到平面 的距离是 到平面 的距离的 倍，故B正确；
因为 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，而C到平面 的距离为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 则其正切值为 ，所以直线 与平面 所成角的大小等于二面角 的大小，故C正确；
在 上找一点 ，使得 ，过 再作 的平行线交 于 ，且 ， ，所以平面 平面 ，从而可知 平面 ，故D正确.
【答案】答案见解析
【解析】若选①，求出数列 是首项为4，公比为 的等比数列，求出通项公式和前 项和，通过讨论 的奇偶性，求出其最大值即可；
若选②，求出数列 是首项为4，公差为 的等差数列，求出通项公式和前 项和，求出其最大值即可；
若选③，求出 ，当 时， ，故 不存在最大值.
【详解】
解：选①
因为 ， ，所以 是首项为4.公比为 的等比数列，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5．函数 在 上的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A与C.
又因为 ，所以排除B.
【详解】
因为 ，
所以数列 为等差数列，首项 ，
所以数列 的前 项和为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
15．不等式 的解集为__________.
【答案】（－1，1）
【解析】作出函数 ， 的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果.
【答案】BD
【解析】先设 ，再化简原式进行代换，解得t值，即得 的值.
【详解】
设 ， ， ，故 .
故选：BD.
【点睛】
本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.
11．在正方体 中， 是棱 上一点，且二面角 的正切值为 ，则（）
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B． 到平面 的距离是 到平面 的距离的 倍
所 .
当 为奇数时， ，
因为 随着 的增加而减少，所以此时 的最大值为 .
当 为偶数时， ，
且
综上， 存在最大值，且最大值为4.
选②
因为 ， .所以 是首项为4，公差为 的等差数列，
所以 .
由 得 ，
所以 存在最大值.且最大值为 （或 ），
因为 ，所以 的最大值为50.
选③
因为 ，所以 ，
所以 ， ，… ，
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题
一、单选题
1．若 ，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知先求出 的值，可得虚部的值.
【详解】
解：由 所以其虚部为 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题.
2．设集合 ， ，则 =（）
（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
60
（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
附：参考公式 其中 .
【详解】
（1）因为 ，所以 .
若 ，则 ，从而 ， 均为钝角.这不可能，
故 ， ， .
所以
，
因为 .所以 .
（2）由（1）知 ，
由正弦定理得 .
设 ，则 ， ，则 的周长为 ，
解得 ，从而 ， ，
故 的面积 .
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．
A．（0，1）B．
C．（－3，1）D．
【答案】B
【解析】化简集合A，B，根据交集运算即可求值.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.
3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）
A．1万B．9千C．8千D．7千
【答案】B
【解析】利用当 时， ，求出 ，由 ，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】
下午两点整即 ，当 时， .
即 ，∴ ，
∵当 时， ，
∴当 时， 取得最大值，且最大值为 .
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
【详解】
因为 ， ，所以 ，则 ， ，所以A正确，B错误.
双曲 与 的渐近线均为 ，所以C正确，
因为C的的渐近线的斜率小于的3，所以直线 与 相离，所以D错误.
故选：AC
【点睛】
本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题.
10．若 ，则 的值可能为（）
A． B． C． D．
因为圆锥的表面积为 ，所以 ，解得 ， ， .
如图，设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，所以 ，
内接圆柱的侧面积 ，
当 时， 取最大值.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 存在最大值，则求出最大值；若问题中的 不存在最大值，请说明理由.问题：设 是数列 的前 项和，且 ，__________，求 的通项公式，并判断 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.
12．已知函数 的导函数为 ，若 对 恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】先设 ， ， ，对函数求导，根据题中条件，分别判断设 和 的单调性，进而可得出结果.
【详解】
甲､乙两位同学在 组或 组的情况有 种，
甲､乙两位同学在 组的情况有 种，共计140种.
故选：A.
【点睛】
本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.
7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间 （单位：时）的变化近似满足函数关系 ，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）
【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入 中可得答案.
【详解】
解： ， 所以
故答案为： .
本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.
14．设椭圆 的焦距为 ，则数列 的前 项和为__________.
【答案】
【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为 ，再利用等差数列的前 项和公式即可求解.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.
6．某班级8位同学分成 ， ， 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（）
A．140B．160C．80D．100
【答案】A
【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在 组或 组和甲､乙两位同学在 组；
【答案】2
【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得 ，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，由相似可得 ，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.
【详解】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，因为圆Βιβλιοθήκη Baidu的侧面展开图为半圆，
所以 ，解得 .
则 ，
又 ，所以 .
当 时， ，
故 不存在最大值.
【点睛】
此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题
18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.
20．如图，已知 ， 平面 ， 平面 ，过点 且垂直于 的平面 与平面 的交线为 ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）设点 是 上任意一点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题意可知 平面 ，则有 ，又 平面 ，则可得出 ，从而得出 // ，再证明 平面 即可证明 平面 ；
【详解】
在同一直角坐标系中，作出函数 ， 的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式 的解集为（-1，1）.
故答案为：（－1，1）
【点睛】
本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.
16．一个圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________.
【详解】
（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：
满意
不满意
合计
男生
10
30
40
女生
8
12
20
合计
18
42
60
因为 ，
所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”
（2） 的可能取值为0，1，2，3，由题意可知， ，
则 ， ，
，
所以随机变量 的分布列为
0
1
【详解】
设 ， ， ，
则 ， .
因为 对 恒成立，
所以 ， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则 ， ，
即 ， 即 .
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
三、填空题
13．设向量 ， 满足 ， ，且 ，则 __________.
【答案】
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为 .
【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出 ，结合临界值表，即可得出结论；
（2）由题意，得到 的可能取值为0，1，2，3，且 ，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
故 可推出 ，
而 推不出 ，（例如 ）
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量 大约是 千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量 大约是 千克.下列各数中与 最接近的是（）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，得到 ，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 .
故 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
二、多选题
9．已知双曲线 ，则（）
A． 的离心率为 B． 的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线 与 的渐近线相同D．直线 上存在一点在 上
【答案】AC
【解析】根据双曲线方程求得 ， ，进而可得 ，即可判断A与B；分别求两双曲线渐近线方程可判断C；根据渐近线可判断D.
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【解析】利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为 ， ， ， ， ， ，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，
平均值为 =265，
所以标准差变为 .
故选：C
【点睛】
3
因此期望为： .
【点睛】
本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.
19．在 中， ， .
（1）求 ；
（2）若 的周长为 求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出 ，从而结合诱导公式可求得 可得 角；
（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积．
C．直线 与平面 所成角的大小等于二面角 的大小
D．在棱 上一定存在一点 ，使得 平面
【答案】BCD
【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可.
【详解】
如图，设 ，易知二面角 的平面角为 ，
则 ，即 因为 ，所以异面直线 与 所成角为 ，因为 ，所以 ，A错误；
设 ，则 ，所以 到平面 的距离是 到平面 的距离的 倍，故B正确；
因为 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，而C到平面 的距离为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 则其正切值为 ，所以直线 与平面 所成角的大小等于二面角 的大小，故C正确；
在 上找一点 ，使得 ，过 再作 的平行线交 于 ，且 ， ，所以平面 平面 ，从而可知 平面 ，故D正确.
【答案】答案见解析
【解析】若选①，求出数列 是首项为4，公比为 的等比数列，求出通项公式和前 项和，通过讨论 的奇偶性，求出其最大值即可；
若选②，求出数列 是首项为4，公差为 的等差数列，求出通项公式和前 项和，求出其最大值即可；
若选③，求出 ，当 时， ，故 不存在最大值.
【详解】
解：选①
因为 ， ，所以 是首项为4.公比为 的等比数列，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5．函数 在 上的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A与C.
又因为 ，所以排除B.
【详解】
因为 ，
所以数列 为等差数列，首项 ，
所以数列 的前 项和为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
15．不等式 的解集为__________.
【答案】（－1，1）
【解析】作出函数 ， 的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果.
【答案】BD
【解析】先设 ，再化简原式进行代换，解得t值，即得 的值.
【详解】
设 ， ， ，故 .
故选：BD.
【点睛】
本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.
11．在正方体 中， 是棱 上一点，且二面角 的正切值为 ，则（）
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B． 到平面 的距离是 到平面 的距离的 倍
所 .
当 为奇数时， ，
因为 随着 的增加而减少，所以此时 的最大值为 .
当 为偶数时， ，
且
综上， 存在最大值，且最大值为4.
选②
因为 ， .所以 是首项为4，公差为 的等差数列，
所以 .
由 得 ，
所以 存在最大值.且最大值为 （或 ），
因为 ，所以 的最大值为50.
选③
因为 ，所以 ，
所以 ， ，… ，
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题
一、单选题
1．若 ，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知先求出 的值，可得虚部的值.
【详解】
解：由 所以其虚部为 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题.
2．设集合 ， ，则 =（）
（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
60
（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
附：参考公式 其中 .
【详解】
（1）因为 ，所以 .
若 ，则 ，从而 ， 均为钝角.这不可能，
故 ， ， .
所以
，
因为 .所以 .
（2）由（1）知 ，
由正弦定理得 .
设 ，则 ， ，则 的周长为 ，
解得 ，从而 ， ，
故 的面积 .
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．
A．（0，1）B．
C．（－3，1）D．
【答案】B
【解析】化简集合A，B，根据交集运算即可求值.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.
3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）
A．1万B．9千C．8千D．7千
【答案】B
【解析】利用当 时， ，求出 ，由 ，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】
下午两点整即 ，当 时， .
即 ，∴ ，
∵当 时， ，
∴当 时， 取得最大值，且最大值为 .
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
【详解】
因为 ， ，所以 ，则 ， ，所以A正确，B错误.
双曲 与 的渐近线均为 ，所以C正确，
因为C的的渐近线的斜率小于的3，所以直线 与 相离，所以D错误.
故选：AC
【点睛】
本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题.
10．若 ，则 的值可能为（）
A． B． C． D．
因为圆锥的表面积为 ，所以 ，解得 ， ， .
如图，设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，所以 ，
内接圆柱的侧面积 ，
当 时， 取最大值.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 存在最大值，则求出最大值；若问题中的 不存在最大值，请说明理由.问题：设 是数列 的前 项和，且 ，__________，求 的通项公式，并判断 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.
12．已知函数 的导函数为 ，若 对 恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】先设 ， ， ，对函数求导，根据题中条件，分别判断设 和 的单调性，进而可得出结果.
【详解】
甲､乙两位同学在 组或 组的情况有 种，
甲､乙两位同学在 组的情况有 种，共计140种.
故选：A.
【点睛】
本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.
7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间 （单位：时）的变化近似满足函数关系 ，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）
【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入 中可得答案.
【详解】
解： ， 所以
故答案为： .
本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.
14．设椭圆 的焦距为 ，则数列 的前 项和为__________.
【答案】
【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为 ，再利用等差数列的前 项和公式即可求解.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.
6．某班级8位同学分成 ， ， 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（）
A．140B．160C．80D．100
【答案】A
【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在 组或 组和甲､乙两位同学在 组；
【答案】2
【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得 ，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为 ，高为 ，由相似可得 ，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.
【详解】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，因为圆Βιβλιοθήκη Baidu的侧面展开图为半圆，
所以 ，解得 .
则 ，
又 ，所以 .
当 时， ，
故 不存在最大值.
【点睛】
此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题
18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.
20．如图，已知 ， 平面 ， 平面 ，过点 且垂直于 的平面 与平面 的交线为 ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）设点 是 上任意一点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题意可知 平面 ，则有 ，又 平面 ，则可得出 ，从而得出 // ，再证明 平面 即可证明 平面 ；
【详解】
在同一直角坐标系中，作出函数 ， 的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式 的解集为（-1，1）.
故答案为：（－1，1）
【点睛】
本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.
16．一个圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________.
【详解】
（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：
满意
不满意
合计
男生
10
30
40
女生
8
12
20
合计
18
42
60
因为 ，
所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”
（2） 的可能取值为0，1，2，3，由题意可知， ，
则 ， ，
，
所以随机变量 的分布列为
0
1
【详解】
设 ， ， ，
则 ， .
因为 对 恒成立，
所以 ， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则 ， ，
即 ， 即 .
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
三、填空题
13．设向量 ， 满足 ， ，且 ，则 __________.
【答案】
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为 .
【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出 ，结合临界值表，即可得出结论；
（2）由题意，得到 的可能取值为0，1，2，3，且 ，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．若 ，则“ ”是“ ”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
故 可推出 ，
而 推不出 ，（例如 ）
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量 大约是 千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量 大约是 千克.下列各数中与 最接近的是（）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，得到 ，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 .
故 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
二、多选题
9．已知双曲线 ，则（）
A． 的离心率为 B． 的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线 与 的渐近线相同D．直线 上存在一点在 上
【答案】AC
【解析】根据双曲线方程求得 ， ，进而可得 ，即可判断A与B；分别求两双曲线渐近线方程可判断C；根据渐近线可判断D.
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【解析】利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为 ， ， ， ， ， ，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，
平均值为 =265，
所以标准差变为 .
故选：C
【点睛】