轴对称 垂直平分线 角平分线
中考知识点梳理-角平分线的判定和性质-垂直平分线的判定
第16讲等腰、等边及直角三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角
平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝
60°，则△ABC是等边三角形.
知识点二：角平分线和垂直平分线
例：如图，△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，AB的垂直平分线交AC
于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
B
c
D
c
D。
垂直平分线与角平分线
垂直平分线与角平分线【专题简介】我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富【学习目标】1.理解中要线的性质及其常规辅助线2.找找与角平分线相关的辅助线证法模块一 垂直平分线的性质和判定平分线的性质和判定垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CEB CAE【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC DE AB C【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=ECED B CA模块二 角平分线角平分线的性质与判定:（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线（2）角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等（3）角平分线的判定定理如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
强化挑战【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.B A【练3】(2015武汉二中八上期中)已知,∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ,PM ⊥AC,PN ⊥AB,垂足分别为M 、N,AB=3,AC=7,求CM 的长度？M C A【例4】如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形.请你证明:CF 平分∠AFB BC【练4】（2014武珞路八上期中）如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD 、BE 交于点H,连CH.(1)求证:△ACD ≌△BCE;(2)求证:CH 平分∠AHE;(3)求∠CHE 的度数.(用含a 的式子表示) EAC【例5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=108°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于点D,求证:AB+CD=BC B C A【练5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=100°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于D,求证:BD+AD=BCAB C【例6】(2014汉阳区八上期中)如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F.求证:①AC=AE+CD ；②FE=FDC BA【练6】已知Rt △ACB,其中∠C=90°,BE 、AF 分别是∠ABC 与∠CAB 的平分线交于点l ，IM ⊥BE 交AB 于M,IN ⊥AF 交AB 于N,求证:S BCN ICF S SFEA B【例7】已知△ABC 为等腰直角三角形,AB=CB,∠ABC90°，AE 平分∠CAB,过C 作CD ⊥AE 于D 求证:AE=2CD.D AC【练7】如图,已知Rt △ABC,∠B=90°,DA ⊥AC,∠BAC=∠ADC,DH ⊥BC 延长线于H,AG ⊥DH 于G,求证:G 是DH 中点GB A C【例8】如图,锐角三角形△ABC 中,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC,交AC 于E,AD ⊥BE 于D,求证:AC=2BDAB C【练8】已知:如图,AD 平分∠BAC,AD=AB,CM ⊥AD 于M.猜想线段AB 、AC 之和与线段AM 有怎样的数量关系,并证明你的结论BC A综合练习【练9】如图AD=BC,DF=CA,∠C=∠D,AD 交BC 于点H,AE ⊥BC 于点E,点F 在BC 上(1)若AN 是△AEC 的角平分线,求证S △AEN :S △ACN =AE:AC;(2)当∠B=∠BAH+12°时,求∠B 的度数B CA【练10】(外校每日一练)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-t,0),点B的坐标是(t,0),点C的坐标是(0,t),其中t>0.点D和点E分别是AC延长线和反向延长线上的点,CD=AE.CF⊥BD于点F,直线CF交x轴于点G,直线GE交DB于点M（1）求证:GB平分∠CGM;（2）试判断∠D与∠GEC之间的数量关系,并说明你的理由;y第6讲8年级尖端班课后作业【习1】已知:如图,BC＞AD,DC=AD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.CBA【习2】如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于E.求证:BE=-(AC-AB) DC【习3】已知,如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,且AB>BC；求证:AD=DCCDA【习4】如图,已知AC ∥BD,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA,CD 过点E.求证:AB=AC+BDC A【习5】如图，△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F,则下列四个结论:①AD 上任意一点到点B 、C 的距离相等;②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等:③AD ⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF,其中正确的有( )A. ①②；B.①③；C.①②④；D.①②③④D B CA【习6】如图所示,I 是△ABC 三内角平分线的交点,IE ⊥BC 于E,A 延长线交BC 于D,CI 的延长线交AB 于F,下列结论:①∠BIE=∠CID;②S △ABC =12 (AB+BC+AC);③BE=12(AB+BC-AC);④AC=AF+DC,其中正确的结论是（ ） A. ①②③；B. ①②④；C.②③④；D.①②③④AB C【习7】已知如图,AP 平分∠BAF,PB ⊥AB,PD ⊥EF,DE=DF;求证:AF-AB=BE,B E FA C【习8】在△ABC 中,E 为BC 边的中点,DE ⊥BC 于E 点,交AC 于D 点,求证:AB<ACE A【习9】如图,AD 是△ABC 的角平分线,求证AB:AC=BD:CDD ABC【习10】如图所示,BD 是∠ABC 的平分线,AB=BC,点P 在BD 上,PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、M.求证:PM=PNB C【习11】(2014江岸区八上期中)如图,在四边形ABCD 中,BE 、CF 分别平分∠ABC 、∠BCD,BE 、CF 相交于点O,BE 交CD 于E,CF 交AB 于F 。
角平分线和垂直平分线
角平分线和垂直平分线[知识目标]1、角平分线（1）性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
（2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。
角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合2、垂直平分线：（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
（2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
3、轴对称的特征：（1）全等：形状大小完全相同（2）对称点的连线被对称轴垂直平分。
[典型例题]角平分线和垂直平分线的尺规作图：1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。
b2、如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相等，并且使P在∠ACB的平分线上。
C3、如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角形PMN的周长最小。
4、如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到一点M，使得△EFM的周长最小？● 角平分线的性质与判定1、如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，求证：PE=PD2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由.4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ，交OA 、OB 于M 、N 。
（1） 若点P 在∠AOB 的平分线上，求证：MD=NC （2） 若MD=NC ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上● 角平分线的对称性3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CDAA BE CA B MNBCD垂直平分线1、如图，E是∠AOB平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，求证：OE是CD的垂直平分线。
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。
第3讲 线段的垂直平分线与角平分线的性质
同理可得∠MPC＝∠FPC，
∵∠A＝50°，∠E＝∠F＝90°，
∴∠EPF＝360°－90°－90°－50°＝130°，
∴∠BPC＝∠BPM＋∠CPM＝12∠EPF＝65°.
第1题答图
全效优等生
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1．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 3．角平分线上的点到角两边距离相等． 4．角的内部，到角两边距离相等点，在这个角的平分 线上． 5．角平分线的性质定理中的题设“在角平分线上的点”， 这个点实际上是指角平分线上的任意一点．
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例1答图
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1．如图1－3－2，BP，CP分别是△ABC的外角平分线， 且相交于点P，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若∠A＝ 50°，求∠BPC的度数．
全效优等生
图1－3－2
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图1－3－6
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【思路生成】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根
据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
(2)根据线段的垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF， ∵E 是 CD 的中点，∴DE＝EC. ∵在△ADE 与△FCE 中，∠ DEA＝DCC＝ E，∠FCE，
解：过点 P 作 PM⊥BC 于 M， ∵BP，CP 分别是△ABC 的外角平分线，且相交于点 P，PE⊥AB， PF⊥AC， ∴∠EBP＝∠MBP，∠MCP＝∠FCP，∠BMP＝∠E＝∠F＝90°，
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】：1．线段的轴对称性：① 线段是轴对称图形，对称轴有两条：一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【结论】：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2．角的轴对称性：①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【结论】：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少？2、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是三、应用题1、已知∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中，AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
第7讲线段与角的轴对称性
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∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
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例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
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第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
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【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
八上第6周轴对称线段的垂直平分线角平分线提优训练
a B A 八上第6周轴对称线段的垂直平分线角平分线提优训练1．前后两辆摩托车，从前面一辆的反光镜中看到后面一辆的车牌号是“”，则后面摩托车的实际号码就是__________． 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 _2cm ． 3．（1）如图，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形； （2）如图，再找一个格点D ，使图中的4点组成一个轴对称图形．4．作图：如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B ． （1）在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB ；（2）如图，在直线a 上求一点P ，使得P A +P B 最小．5．（1）在正方形ABCD 上,P 在AC 上,E 是AB 上一定点,则当点P 运动到何处时,△PBE 的周长最小；（2）如图等边三角形ABC ，M 是AB 上的中点,在BC 边上找一点P,使PA+PM 的最小； （3）如图，已知，∠AOB 内有一点P ，求作△PQR ，使Q 在OA 上，R 在OB 上，且使△PQR 的周长最小．BACFEDC AA DCP EB AM BAP6．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案； （2）说明你设计的理由．7．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，求线段MN 的长．8．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，交AB 于E ，交AC 于D ，连接BD ．（1）若∠ABC=∠C ，∠A=50°，求∠DBC 的度数；（2）若AB=AC ，且△BCD 的周长为18cm ，△ABC 的周长为30cm ，求BE 的长．9．根据下图解答下列各题． （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN•的度数；（2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；•若不能，请说明理由；（3）在（2）的情况下，若BC=10cm ，试求出△AMN 的周长．E A B P0MNF10．如图，△ABC 的∠B 的外角平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P ．求证：点P 到三边AB,BC,CA 所在直线的距离相等．11．如图，在△ABC 中，外角∠CBE 和∠BCG 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠BAC的平分线上．12．如图①，△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F ．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图②，若AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由。
轴对称重点和难点
轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。
重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。
难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。
变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
角平分线、轴对称(5)
角平分线性质、轴对称（5）知识梳理：1、角平分线的画法；2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等；3、逆定律：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；4、三角形的三个内角的平分线交于一点；5、如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点叫做对称点；6、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；7、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；知识演练：一、做答题：1.如图1，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ，则下列结论中错误的是（ ）A .PC ＝PDB .OD ＝OC C .∠DPO ＝∠CPOD .PC ＝OC2.如图2，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC3.如图2，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若 P A =2，则PQ 的最小值为___________.4.如图4，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．7=∆ABC S ，DE =2，AB =4，则AC 长是___________.图1 图2 图3 图45.如图5，∠AOB =30°,OP 平分∠AOB ，PC ∥O B ，PD ⊥OB ，PC =6，则PD ＝___________.(本题需用到:在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半)6.如图6，若AB ∥CD ，AP ，CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE =3cm ，则AB 与CD 之间的距离为___________.7.如图7，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ，若AC =3cm ， 则AD +DE 为___________.8.如图8，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S △ABO ：S △B CO ：S △CAO 等于___________.图5 图6 图7 图89.如图9,△ABC 中,∠ABC 、∠ACB 外角的平分线相交于点F ,连接AF ,则下列结论①AF 平分BC ;②AF 平分∠BAC ;③AF ⊥BC ,正确的有___________.10.如图10,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足为E ，F ,连接EF ,EF 与AD 交 于G ，则下列结论①DE =DF ;②△AED ≌△AFD ;③AD ⊥EF ;④EG =AG ,正确的有_________.11.如图11，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC =∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC =AB ，其中正确的有_________.12.如图，AB =AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE ，CF 交于D ，则以下结论：①△ABE ≌△ACF ； ②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．正确的是___________.图9 图10 图11 图1213. 下列10个汉字：林 上 下 目 王 田 天 王 显 吕其中不是轴对称图形的是____________________________ ；有一条对称轴的是_____________________________； 有两条对称轴的是______________；有四条对称轴的是_______________．14. 如图,△ABC 与△DEF 关于直线m 对称,则∠B 的度数为_________.15. 从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是：则该编码实际上是____________.16. 等边三角形、角、长方形这三个图形中，对称轴最多的是，它共有条对称轴．二、作图题：1、以下由一些弧所组成的图形都是轴对称图形，你能找到它们的对称轴吗？有的图形不止一条对称轴，你能找到它们各自所有的对称轴吗？在图中把它们画出来．2、．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．三、简答题：1.如图,已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O且AO平分∠BAC．求证：OB=OC2.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长3.如图所示，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，M是BC上的点，请你探索：M在BC上的位置满足什么条件时，点M到∠ADC的两边的距离相等？为什么？4.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,过点D作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为___________.(2)如图,若将(1)中条件“Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°”改为“△ABC中∠C=2∠B”请问(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想.5、如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D，C分别落在Dˊ，Cˊ的位置.若∠EFB=65°,求∠AEDˊ的度数.。
七下期末提分练案第6讲生活中的轴对称2常考题型专练专项2垂直平分线角平分线性质的计算作业新版北师大版
第6讲 生活中的轴对称
2
常考题型专练
专项2 垂直平分线、角平分线性质的计算
类型1
计算角度数
题型1
利用线段垂直平分线求角度数
1.如图，点A是BC，CD的垂直平分线的交点，∠BAD＝
140°，求∠BCD的度数.
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解：如图，连接AC，
因为A是BC，CD的垂直平分线的交点，
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因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
所以PE＝PA＝PD，
因为AD＝8，所以PE＝PD＝PA＝ AD＝4.
则点P到BC的距离为4.
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（2）若BC的长为17，求△DAF的周长.
解：（2）由（1）知AD＝BD，AF＝CF，所以△DAF的
周长＝AD＋DF＋AF＝BD＋DF＋CF＝BC＝17.
1
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题型2
利用角平分线求线段的长或周长
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作
BE⊥AC于点E，交CD于点F，BD⊥CD于点D，CD＝8，
（1）求∠ACB的度数.
1
2
3
4
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角平分线和线段垂直平分线的性质
1、线段垂直均分线的性质（1）垂直均分线性质定理：线段垂直均分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .C定理的作用：证明两条线段相等m（2）线段对于它的垂直均分线对称.A D B3、对于三角形三边垂直均分线的定理图1（1）对于三角形三边垂直均分线的定理：三角形三边的垂直均分线订交于一点，而且这一点到三个极点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直均分线的交点地点与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直均分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直均分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直均分线的交点在三角形外面.例 1如图1，在△ ABC中，BC＝8cm，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于18cm，则 AC 的长等于（）A ． 6cmB ． 8cm C． 10cm D． 12cm4、角均分线的性质定理：角均分线的性质定理：角均分线上的点到这个角的两边的距离相等. .BDE定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角均分线所在的直线.6、对于三角形三条角均分线的定理：（1）对于三角形三条角均分线交点的定理：三角形三条角均分线订交于一点，而且这一点到三边的距离相等 .OF图4C AAFRQIE B图6P D C定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实质中的几何作图问题.（2）三角形三条角均分线的交点地点与三角形形状的关系：三角形三个内角角均分线的交点必定在三角形的内部.一、选择题：1．如图 1，在△ ABC中，AD均分∠ CAE，∠ B=30，∠ CAD=65，则∠ ACD等于A．50B．65C．80D．952．如图 2，在△ ABD 中，AD=4 ，AB=3 ，AC 均分∠ BAD ，则S: S=ABC ACD （）（）A．3: 4B．4:3C． 16:19D．不可以确立3．如图3，在△ABC中，∠C=90， AD均分∠BAC， DE⊥AB 于E，则以下结论：①AD均分∠CDE；②∠ BAC=∠ BDE；③ DE均分∠ ADB；④ BE+AC=AB。
图形的轴对称线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质
垂直平分线上的点 到两端点的距离相 等。
经过两点有且只有 一条直线。
到线段两端点距离 相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的定理
定理1
垂直平分线上的任意一点到线段两端点的 距离相等。
VS
定理2
如果两个点到线段两端点的距离相等，那 么这两个点关于这条线段的垂直平分线对 称。
将所学的几何学知识应用到实际 生活中，解决实际问题，如建筑 设计、机械设计等。
发展几何学的思考 方式
培养几何学的思维方式，如空间 感知、逻辑推理、结构分析等， 以更好地理解和应用几何学知识 。
感谢您的观看
THANKS
3
求解角度
利用线段垂直平分线，可以求解三角形内角度 的大小，或者证明角平分线的性质定理。
在物理学中的应用
01
02
03
力的平衡
在物理学中，线段垂直平 分线可以用于表示重力的 方向，以及物体在力的作 用下保持平衡的点。
光学路径
在光学中，线段垂直平分 线可以表示光线经过透镜 或其他光学元件后行进的 路径。
轴对称和线段垂直 平分线的应用
在几何学、物理学、工程学等领 域都有广泛的应用。
对未来学习的展望和期待
深入学习轴对称和 线段垂直平分线…
更深入地理解轴对称和线段垂直 平分线的性质和特点，包括在更 高维度的空间中的拓展。
学习更多的几何学 知识
了解更多的几何学概念、定理和 应用，如微分几何、拓扑学等。
理论与实践相结合
05
总结与展望
对轴对称、线段垂直平分线的回顾
轴对称
一个图形如果关于某一直线对称 ，那么它具有轴对称性。这条直 线称为轴对称轴。
线段垂直平分线和角平分线性质
求证：DE=BD+CE。
A
D
I
3
E
2
1
B
C
角平分线遇平行线出现等腰三角形
若CD∥OA,∠1=∠2,可证得OC=CD。 若OC=CD,∠1=∠2,可证得 CD∥OA 。 若CD∥OA ,OC=CD,可证得 ∠1=∠2 。
图甲
角平分线遇等腰三角形出现平行线
10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直 平分线分别交AB、BC延长线于F、E
年级：八年级 学科名称：数学 角平分线和垂直平分线复习
授课学校： 授课教师：
内涵与外延
你能利用折纸的方法将线段AB分成两段彼此相等 的线段吗？
A
B
☆线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线.
☆垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平 分线(简称中垂线)．
启发思考 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠， 使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．
A
D
F
P
B
┐
E
C
综合能力提升
14.如图，∠M0N=600,点A,B为射线OM,ON上的动点（点A,B不 与点O重合),在∠M0N △AOB的外部有一点P,且AP=BP, ∠APB=1200. （1）已知AP=4，求点P到AB的距离； （2）求证：点P在∠M0N 的平分线上.
E D
15、如图，△ABC中，AD平分∠BAC， DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；
∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上 A
C B
D
了解外心 三角形三条边的垂直平分线_交__于_一__点______, 并且这一点到__三__个_顶__点____的距离相等。
三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦
角平分线和线段的垂直平分线知识点讲解：1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。
那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。
4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。
其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。
5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
例题分析第一阶梯例1.已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点。
求证：（1）当 1= 2时，OB=OC （2）当OB=OC时， 1= 2点拨：要证OB=OC，只须证Rt△CEO与Rt△BDO全等，由对顶角相等与 1= 2的条件，即可得证，反之成立。
此例是证明互逆命题。
答案：证明（1）∵ 1= 2，OE⊥AC，OD⊥AB∴OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）∴OB=OC在△OEC与△ODB中∴△OEC≌△ODB（ASA）（2）∵OE⊥AC，OD⊥AB ∴△OEC≌△ODB（AAS）∴ OEC= ODB ∴OE=OD在△OEC与△ODB中说明：利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件。
例2.写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题，并判断它的真假。
点拨：在判断逆命题时，要明确互余的两角必是锐角，另外在未对一个三角形作出判断之前一般不称“锐角”。
答案：解：逆命题是：有两个角互余的三角形是直角三角形。
说明：在写一个命题的逆命题时，并不是将原命题的题设和结论简单地互换，要注意命题本身的逻辑性。
简单的轴对称图形——垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在()ABC AB AC < 中，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，15cm AC =，ABE 的周长为24cm ，则AB 的长为．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点；作直线MN 交AB 于点E ．若16AB =，8AC =，则BE 长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D E 、．(1)若50DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)若ADE V 的周长为19cm ，求BC 的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在,,A B C 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边高线的交点处D ．A ∠，B ∠两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒．(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交BC 与点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）(2)若38ABC ∠=︒，求CAD ∠的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A ，B 所在的直线上建一图书室E ，并使图书室E 到本社区两所学校C 和D 的距离相等．已知CA AB ⊥，DB AB ⊥，垂足分别为A ，B ，且 2.5km AB =，1.5km CA =， 1.0km BD =．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E 到居民区A 的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A ，B ，C 之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥，如果6PC =，那么点P 到OA 的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若6,2AC DE ==，则ACD 的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知P 是AOB ∠平分线上一点，15AOP ∠=︒，CP OB ∥交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为D ，且6PC =，则OPC 的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 上一点，DE 平分ADC ∠，且AE 平分BAD ∠．(1)求证：ED AE ⊥；(2)求证：点E 为BC 的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线①求证：ABD ACD S AB S AC=△△；②另一方面，我们进一步探索，可以证明ABDACD S BD S CD= ．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于ABC 的角平分线AD 的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ∥交BA 的延长线于点E ．求证：BD BA CD EA=．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．(1)在线段AD 上任意取一点F ，过点F 作MN AD ⊥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，通过这样的作图能得到结论MF FN =，那么依据是_________．(2)如果=60B ∠︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，且AD 、CE 相交于点F ，求证：FE FD =．(3)如果100ACB ∠=︒，在边AB 上截取一点E ，连接CE ，使20ACE ∠=︒，连接DE ．请直接写出ADE ∠的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（）A ．在边AC ，BC 两条高的交点处B ．在边AC ，BC 两条中线的交点处C ．在边AC ，BC 两条垂直平分线的交点处D ．在ABC ∠和ACB ∠两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a ，b ，c ，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路OM ，ON 中间区域建有A ，B 两个温室花房．现要在两条马路OM ，ON 之间的空场处建鲜花交易中心P ，使得交易中心P 到两条马路OM ，ON 的距离相等，且到两个温室花房A ，B 的距离也相等．如何确定交易中心P 的位置?如图2，利用尺规作图求作点P （不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知ABC ，CA CB =，ACD ∠是ABC 的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP 平分ACD ∠．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：CP AB ∥．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．(1)若110ACD ∠=︒，求MAB ∠的度数；(2)若CN AM ⊥，垂足为N ，求证：ACN MCN △≌△．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，100,BAC AB AC ∠=︒>．若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（）A ．20︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，534BC AC AB ===，，，点D 是ABC ACB ∠∠，的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．3.53．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线交于点P ，连结BP ，CP ，若50A ∠=︒，则BPC ∠=（）A ．100︒B ．95︒C ．90︒D ．50︒4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，54B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧交AB 于点D ，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF ∠的度数是（）A ．25︒B ．20︒C ．18︒D ．15︒5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①ABE 的面积BCE =△的面积；②=AFG AGF ∠∠；③2FAG ACF ∠=∠；④AF FB =．A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，ABC 的面积是12，8AB =，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是线段AD ，AC 上的动点，则CM MN +的最小值是．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，100A ∠=︒，点D 是BC 上的一点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，则EDF ∠=．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段6AB =，点P 为线段AB 上一动点，以PB 为边作等边PBC ，以PC 为直角边，CPE ∠为直角，在PBC 同侧构造Rt PCE △，点M 为EC 的中点，连接AM ，则AM 的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A 、B 是两个村庄，12L L 、是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD DE =，连接AE ．(1)求证：AB EC =；(2)若ABC 的周长为42cm ，16cm AC =，求DC 的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若75BAC ∠=︒，求B ∠的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B Ð=°探究：如图2，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B ∠<︒，求证：DB DC =．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在ABC 中，AC CB ≠，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于点M 、N ，垂足分别为点D 、E ，分别延长DM 和EN ，相交于点F ．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现MCN ∠与ACB ∠存在一定的数量关系，于是他通过举例的方式进行研究：(1)当100ACB ∠=︒时，MCN ∠=________；当80ACB ∠=︒时，MCN ∠=________．(2)当ACB m ∠=时，求MCN ∠的度数（用含m 的代数式表示，写出推理过程）．(3)当50DFE ∠=︒时，MCN ∠=________°．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等边ABC ，点N 是边AB 上一点，以BN 为边向外作等边BNM ，连AM 、CN ．(1)如图1，求证：AM CN =；(2)如图2，若CN AB⊥，判断BC与MN的关系并证明；(3)如图3，在（2）下，连MC，以MC为边向下作等边MCP，设MC交AB于G，连PG，求证：12PMG PCGS S=△△．。
5.3.3简单的轴对称图形(三)角平分线
5.3.3角平分线的性质教学目标：1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．3.使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；重难点：1. 利用角平分线的性质定理解决实际问题；2. 利用角平分线构造垂线。
启中入1.复习：（1）角平分线定义：（2）角平分线性质：（3）相关模型：2.验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E 。
求证: PD=PE归纳：角平分线性质：___________________________________________ 几何语言：O B读中思例1.如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ，求证：CF=EB 。
练习1.如图 ，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ， AD 平分∠CAB ，并交BC 于D ， DE ⊥AB 于点E ，若 AB=8cm ，则△DEB 的周长为_____2．如图，已知点P 是∠AOB 角平分线上的一点， PC ⊥OA 于C ，PC=4cm ，点D 是OB 上一个动点， 则PD 的最小值为___（练习1） （练习2） （例2）例2.如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积为__________．练习1．如图，已知△ABC ，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，连接AO 并延长交BC 于D ，OH ⊥BC 于H ，若∠BAC=60°，OH=3cm ，OA 长为_____（练习1） （练习2）CF OC B2.如图，∠AOB=300，P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ∥OA,交OB 于点C ，PD ⊥OA ，垂足为点D 。
初二数学知识点精讲精练——轴对称之角平分线与垂直平分线
轴对称之角平分线及垂直平分线【考点】：从历年真题来看，两线问题常常与全等三角形综合考察，题型多为新题型，先验证猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类题是近几年中考试题的热点题型。
【知识点】一、轴对称1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴垂直平分“连接对应点的线段”。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上。
7、线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8、角平分线的定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线。
9、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
10、角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。
【典型例题】例：在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=，求证：点P 在∠AOB的上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有处．【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，故答案为：这个角的两边；角平分线上；（2）已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上．故答案为：PE；平分线上；（3）如图：作射线OP，∵PD⊥AO，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，{PD=PEOP=OP∴Rt△OPD≌Rt△OPE，∴∠DOP=∠EOP，∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB平分线上；（4）如图2，M、N、G、H即为所求，故答案为：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．【练习】1．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．（1）求BC的长；（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．5．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．。
第十二讲 垂直平分线、角平分线
第十二讲垂直平分线、角平分线一、垂直平分线知识点：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,i j k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ， 那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度， 那么∠EBC 是例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
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线段的垂直平分线的性质【知识点介绍】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 【例题精讲】例1、 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【同步练习】m图1DABCm图2DABC已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC=例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
【同步练习】1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。
例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.【变式练习】1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cmBCD A5、如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .角平分线的性质【知识点介绍】1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等； ②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC图7EDACB图4DOB FE＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线【例题精讲】例1、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
求证：PE=PF例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.图5图10E例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.【变式练习】1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE= = ．3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD= ．4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为( )．(A)18 (B)16 (c)14 (D)126．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是( )．(A)TQ=PQ (B) ∠MQT=∠MQP (c) ∠QTN=900 (D) ∠NQT=∠MQT7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．等腰三角形的性质【知识点介绍】一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．等腰直角三角形的性质与判定：1. 等腰直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中45°，那么这个直角三角形是________．3、想一想：等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题精讲】1）角度1、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，1）. 如果AD ⊥BC ，那么∠BAD ＝∠______，BD ＝_______。
2）. 如果∠BAD ＝∠CAD ，BC= 6cm ， 那么∠BDA ＝_____°，BD ＝______cm 。
3）. 如果BD ＝CD ，那么∠BAD ＝∠_______，AD ⊥______。
2、有一个底角为︒20的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________. 3、顶角为︒20的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______. 4、有一个内角为︒40的等腰三角形的另外两个内角的度数为______. 5、有一个内角为︒140的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.6、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，则这个三角形各角度数分别为： 。
2）边长与周长1、如果ABC ∆中，AC AB =，它的两边长为cm 2和cm 4，那么它的周长为________.2、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm 10，那么它的三边长为______.3、在等腰三角形中，AB 的长是BC 的2倍，周长为40， 则AB 的长为（ ）A 、20B 、16C 、16或20D 、以上都不对4、已知ABC ∆的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ∆的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ）（A ）cm 6 （B ）cm 8 （C ）cm 12 （D ）cm 20 3）证明题例1、如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。
求证：BE=CE 。
【变式练习】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。
求证：AD 垂直平分BC 。
例2、如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
【课后练习】 1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（ ）A ．底角大于相邻外角B ．底角小于相邻外角C ．底角大于或等于相邻外角D ．底角小于或等于相邻外角 （2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A ．40°，40°B ．100°，20°C ．50°，50°D ．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（ ）A ．50°，50°，80°B ．80°，80°，20°ABCEDC．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC的面积为________．3、如图，已知：在ABC∆中，ACBD=，BEAB=，BCDE=，AD=求A∠的度数。