2019电磁学：8-3高斯定理

R
r
例3：无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电
荷线密度为λ，求距直线为r处的电场强度.
解: 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
Φ e
EdS
S
EdS EdS EdS
S (柱面)
S（上底）
S（下底）
EdS S (柱面)
z en
+
E
+
h r+o y
x
+ +
Φe EdS0
S
E2
q
dS2
dS1 E1
4. 点电荷系的电场
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S E d S S E 1 d S S E 2 d S S E n d S
Φ e1Φ e2Φ en
Φout ei
0
E
Φin ei
1 ε0
qiin
EdS1
S
ε0
n
qiin
i1
dS
sqi
5. 真空中的高斯定理
结论：在均匀各向同性介电体中,通过任何一闭合 曲面的电场强度通量等于该闭合曲面包围的自由电
荷除以 ，数学表达式为
Φ eSE dS 0qr q
—在电均位匀移各矢向量同，性用D 介电来体表中示，，引其入定一义个如新下的物理量—
D 0 rE E
S
E
dS
q
可写成
DdSq
S
DdS称为电位移矢量通量
高斯面
在真空静电场中，穿过任一闭合曲面的 电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电
荷的代数和除以 ε 0 ------真空中的高斯定理.
（与面外电荷无关）
Φ eSE dS ε10 i n1qiin
6、介质中的高斯定理
1 qr
Φe
S
EdS
S
4 0r
r2
dS r
q q
0r
dS E
q+r r
en en
h
EdS
S(柱面)
0
2rhE h 0
E 2π 0r
z
+
E
+
h
r+
+o
y
x + en
德语： Danke
例1 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
解 对称性分析：球对称 高斯面：闭合球面
(1) 0rR
SEdS0
E0
S
O
Rr
Q
(2) rR
E dS E4r2Q
S2
ε0
Q E 4πε0r2
QE
4π 0 R 2
Q 4πε0r 2
oRr
r
OQ
s
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
2.电场线的特性
（1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无 穷远)；
（2） 电场线不相交；
（3） 静电场电场线不闭合.
二、电场强度通量(electric flux)
定义：垂直通过电场中某一个面的电场线数.
（1）均匀电场 ，E 垂直平面 Φe ES
度为,球内外的电容率均为 。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
r
R
(1)r<R
EdSE4r2
4r3
3
s
(2)r>R
EdSE4r2
4R3
3
s
E r 3 R3 1
E 3 r2
均匀带电球体的电场分布
E
r rR 3
R3 1 3 r2
rR
E
R 3
Er 关系曲线
r2
O
r
1q
EdS
40
r2
dS
r dS
Φe EdS
S
q
S 40r2 dS
+
q
0
2. 点电荷在任意封闭曲面内
dΦe 4q0r2dScos
q dS'
4 0 r 2
其中立体角
d S＇ dΩ
r2
Φe 4q0
q
Sd0
dS
en
+
dS
dΩ
3. 点电荷在封闭曲面之外
进入闭合曲面的电 场线数目与穿出闭合 曲面的电场线数目相 等,通过该闭合曲面的 电场强度通量为零.
结论：静电场中通过任何一闭合曲面的电位移 矢量通量等于该闭合曲面包围的自由电荷的代 数和。
介质中的高斯定理
静电场中通过任何一闭合曲面的电位移矢 量通量等于该闭合曲面包围的自由电荷的代 数和-------介质中的高斯定理
数学表达式为
n
ΦDDdSqi
S
i1
总结
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度为所有电荷在高斯面上的总 电场强度. (3) 电场强度通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅高斯面内电荷对电场强度通量有贡献.
（2）均匀电场 ，E 与平面夹角
e EScos
e E S
SE
en
S
E
（3）非均匀电场电场强度通量
dS dSen
dΦe EdS
Φe dΦe EcosdS
S
E
dS
en
E
EdS
S
（4） S为封闭曲面
1
2
, d e1
0
2
2
, de2
0
E dS1
E2
2
1 E1
dS2
闭合曲面的电场强度通量：
(5) 高斯定理表明静电场是有源场，电荷就 是静电场的源。
也(6是)电一场个强客度观存E在是的描物述理电量场，性而质电的位主移要矢物量理量D ，
是一个辅助物理量，不是一个客观存在的物理量 。二者关系为
E D
0 r
讨论
（1）将q2从A移到B P点电场强度是否变化？ 穿过高斯面S的Φ e有否变化？
eSEdSSEd co S s
“穿出” θ90
E
dS
S
E
“穿进” θ90
规定面元的法向单位矢量取向外为正。 电场线穿出，电通量为正，反之则为负。
三、高斯定理(Gauss theorem)
高斯定理的导出：由库仑定律和电场强度叠加原理
1. 点电荷位于球面中心
E 1 q r
40 r2 r
d S dS r
q 2 A P*
s
q1
q2 B
（2）在点电荷+q和-q的静电场中， 做如下的三个闭合面
S1、S2、S3 ，求通过
q
q
各闭合面的电场强度通量 .
S1
S2
S3
四、高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为： （1）对称性分析； （2）根据对称性选择合适的高斯面； （3）应用高斯定理计算.