全通滤波器与最小相位系统
dspch1_7全通滤波器与最小相位系统
zm dm z m
z m Dm (z 1) Dm (z)
(a) 幅度响应
Am (z) Am (z1)
zmDm (z1) Dm (z)
zmDm (z) Dm (z1)
1
利用实序列DTFT的对称性，有
Am (e j ) 2 Am (z) Am (z 1) zej 1
全通数字滤波器
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
e j
1 re j e j 1 re j ej
A1 (e j ) 1
全通数字滤波器
➢一阶复系数全通数字滤波器
A1(z)
z1 d 1 dz1
z
1
1 1
dz dz 1
(b) 相位响应
d 1 d re j
A1(e j ) e j
1 re jθe j 1 re jθe j
e j
1 r cos( 1 r cos(
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器及特性 最小相位系统定义 全通滤波器的应用 最小相位系统应用
为什么讨论全通和最小相位系统
可以利用全通滤波器进行相位均衡 可以利用最小相位系统进行幅度均衡 可以利用这两个系统表示任意因果系统
全通数字滤波器
➢定义： Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数
(z z1)(z (z p1)(z
z2 ) p2 )
(z zm) (z pm )
pi
( 1 )* zi
( 1( 2 ( m (
因为 Am (e j0) 1 所以 (0) 0 且 1( 0, 2 ( 0, ,m ( 0
所以 m阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。
全通数字滤波器
(c) m阶实系数全通滤波器的相位响应
几种特殊的滤波器
N
a z
k 0 k
k 0 N
z
N
D z 1 D z
k
因为上式中系数是实数，因此
D( z )
所以
D (e
j
) D (e )
jw jw
j
H e
jw
D e
D e
1
4
全通滤波器的零、极点分布规律
零点
极点
zk
pk z
1 k
k
zk
1 k
代替时，可得到与其幅频特性相同的最小相位系统。
H z Hmin z Hap z
H e j H min e j
2）在幅频特性相同的所有因果稳系统中，最小相位
系统的相位延迟(负的相位值)最小。 全通系统Hap(z)的相位函数是非正的。
17
3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。
解：将各系统函数因式分解，可得到它们的零点并进
而判定系统的性质。
H1 z : z1,2 1 2,1 3, 为最小相位系统。 H 2 z : z1,2 2,3, 为最大相位系统。 H 3 z : z1,2 1 2,3, 为混合相位系统。 H 2 z : z1,2 2,1 3, 为混合相位系统。
19
N的大小决定于要滤除的点频的位置， a要尽量靠近1。 由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频 率分别为：
2 50 1 200 2 2 100 1 200 ，
13
零点频率为
Imaginary Part
2 k N ,
0 -1
1
k =0， 1，， 2 3。
全通滤波器与最小相位系统
A1 (e j
)
e j
1 d e j 1 de j
e j
1 1
re j e j re j e j
( ) 2arctan r sin( ) 1 r cos( )
d ( )
1 r 2
0
d
[1 r cos( )]2 r 2 sin 2 ( )
一、一阶全通数字滤波器
特点：
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点互为共轭倒数
H1 ( z )(1
az 1 )
z 1 1
a az 1
故有： H(z) =Hmin(z) A1(z)
例1: 判断以下系统是否为最小相位系统，该系统的
系统函数H(z)为：
H (z)
b z 1 1 az1
,
a
1,
b
1
解: 由于系统的零点为z = 1/b>1，故不是最小相位系统。
写出最小相位系统与全通系统相乘的形式：
d1z (m1) z m
d z (m1) m1
dm z m
z m Dm (z1) Dm (z)
3、最小相位系统
——零极点都在z平面单位圆内的因果系统。
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统具有最 大的相位，最小的延时（即最小的相位滞后）。
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最小相位系统
dm1z 1 z1
d m 1
d1z (m1) z (m1)
zm dm z m
z m Dm (z1) Dm (z)
特点：
(a) m阶全通滤波器的幅度响应为1
由于：Am ( z) Am
( z 1 )
z m Dm ( z 1 ) Dm (z)
2012DSP第9讲
所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。
模拟信号及其抽样信号在时域和频域中的相互关系
(1).r与σ 的关系
σ =0,即S平面的虚轴 → r=1,即Z平面单位圆；
σ <0,即S的左半平面 → r<1,即Z的单位圆内； σ >0, 即S的右半平面 → r>1,即Z的单位圆外 。
j 0
0
→
(2).ω 与Ω 的关系（ω =Ω T）
Ω = 0，S平面的实轴， ω = 0，Z平面正实轴； Ω =Ω 0(常数)，S:平行实轴的直线， ω = Ω 0T,Z:始于 原点的射线； Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面.
序列x(n)的z变换为 ,显然，当
，考虑到 时，序列x(n) 的 z 变
换就等于理想抽样信号的拉氏变换。
两个域的映 射关系?
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：
Z平面用极坐标表示为：
又由于
所以有：
因此，
; 也即： Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω 相对应。
j
3 T
jIm[Z] ω
T
0
Re[Z]
T 3 T
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω 作为Z平面的单位圆的参数， ω 表示Z平面的辐角，且 。
可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联 而成，即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) （2.6.16）
第8章全通滤波器
第8章全通滤波器1、如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，全通滤波器的频率响应函数可表示成全通滤波器的系统函数的一般形式：二阶滤波器级联形式为：证明：由于系数是实数，所以如果将零点和极点组成一对，将零点与极点组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。
全通滤波器系统函数2、一个因果稳定的时域离散线性非移变系统，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。
如果因果稳定系统的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为，若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。
最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点：(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成，即(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。
(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。
给定一个因果稳定系统，定义其逆系统为8.2 格型滤波器1、全零点格型滤波器：一个M阶的FIR滤波器的系统函数可写成如下形式其中，表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数，对应的格型结构如图所示。
的系数求出格型结构网络系数的逆推公式。
基本格型单元的输入、输出关系如下式：与滤波器系数之间的递推关系为例：FIR滤波器由如下差分方程给定求其格型结构系数，并画出格型结构图解对差分方程两边进行Z变换的3、全极点(IIR)格型滤波器：IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。
求FIR格型结构网络系数：。
数字信号处理 全通滤波器与最小相位系统
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
全通滤波器与最小相位系统1
主讲人：陈后金电子信息工程学院数字信号处理Digital Signal Processing全通滤波器与最小相位系统◆全通滤波器及特性◆最小相位系统定义◆全通滤波器的应用◆最小相位系统应用为什么讨论全通和最小相位系统●可以利用全通滤波器进行相位均衡●可以利用最小相位系统进行幅度均衡●可以利用这两个系统表示任意因果系统定义：A m (z )表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数j (e )1m A Ω=1(1)111(1)11()1m mm m m m mm m d d z d z zA z d z d zd z −−−−−−−−−−++++=++++1111)(−∗−−−=dzdz z A 1<d (a)幅度响应ΩΩΩj j j 1e1e)e (−∗−−−=d dA ΩΩΩj j j e1e 1e−∗−−−=d d 1)e (j 1=ΩA 一阶复系数全通数字滤波器θj er d =ΩθΩθΩj j j j j ee 1ee 1e−−−−−=r r(b)相位响应j j j j j j j e e cos()j sin()(e )e e e e cos()j sin()θθr r θr θA r r θr θ−−−−−−−−⋅−==−−−+⋅−11111ΩΩΩΩΩΩΩΩΩsin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−111111()11z d d z A z z dz dz−∗∗−−−−−==−−1<d θj er d = 一阶复系数全通数字滤波器(b)相位响应2222d ()10d (1cos())sin ()rr r ϕΩΩΩθΩθ−=−<−−+−一阶全通数字滤波器的相位响应为单调递减。
sin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−一阶全通数字滤波器的相位响应Ωsin()()2arctan 1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−θj er d =(c)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：θj 1er d p ==零点为：θj 1e )/1(/1r d z ==∗Re z*111()p z =零点与极点存在共轭倒数的关系一阶复系数111()1z d A z dz −∗−−=−1<d θj e r d =1d z z d∗−=−mm m m mm m m m z d z d z d z z d z d d z A −−−−−−−−−−++++++++=)1(111)1(1111)( (a)幅度响应)()(1z D z D z m m m −−=111()()()()1()()m mm m m m m m z D z z D z A z A z D z D z −−−−==1)()()e (j e 12j ===−ΩΩz m m m z A z A A 利用实序列DTFT 的对称性，有m 阶实系数全通滤波器(b)m 阶实系数全通滤波器的极点和零点m 阶实系数全通系统可分解为m 个一阶全通系统的级联*1()i ip z =1212()()()()()()()m m m z z z z z z A z K z p z p z p −−−=−−− 11()()m i i m i i z z K z p ==∏−=∏−一阶全通1)e (j0=m A 因为(0)0ϕ=所以(c)m 阶实系数全通滤波器的相位响应12((((m ϕΩϕΩϕΩϕΩ)=)+)++) 所以m 阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。
全通系统与最小相位系统
H ( z)
N
k 0 N
ak z N k ak z k
k 0
z
N k 0 N
N
ak z k ak z k
k 0
1 D ( z ) N z D( z )
a0 1
全通系统的特性
1
零点在单位圆外 极点在单位圆内
2
相位ϴ随着频率 ω 单调下降
3
全通系统的 特性
2017
全通系统和最小相位系统
目录
01
全通系统
02
最小相位系统
03
二者的关系
01
全通系统
全通系统的定义
全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率w下均为1或某一常 数的稳定系统。
1
公式
| H ap(e ) | （或常数） 1
jw
2
z 1 a H ap ( z ) K , 1 1 az a为实数且0 a 1
全通系统的应用
01
将全通系统与一个不稳定的滤 波器联级，可以将其变成一个 稳定的滤波器
02
全通系统可以作为相位均衡 器使用.
全通系统的应用
应用1
将全通系统与一个 不稳定的滤波器联 级，可以将其变成 一个稳定的滤波器
应用2
全通系统可以作为 相位均衡器使用.
02
最小相位系统
最小相位系统的定义
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于 或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部 的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。在保 持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必 要条件是： 1、对于模拟信号系统，要求其零点(即使系统函数为零的复频 率值)仅位于S平面（即复频域平面）的左半平面或虚轴上；
处理滤波器延时的方法
处理滤波器延时的方法滤波器在信号处理中起到非常重要的作用，可以对信号进行去噪、增强等操作。
然而，滤波器的延时问题却是一个令人头痛的难题。
本文将介绍一些常见的处理滤波器延时的方法，帮助读者解决这一问题。
一、预测滤波器预测滤波器是一种常见的处理滤波器延时的方法。
其基本思想是通过对信号进行预测，从而减小滤波器的延时。
预测滤波器可以采用线性预测、非线性预测等方法。
线性预测方法常用的有自回归(AR)模型、自回归滑动平均(ARMA)模型等。
非线性预测方法常用的有支持向量回归(SVR)、径向基函数(RBF)网络等。
通过预测滤波器，可以有效地减小滤波器延时，提高信号处理的效果。
二、零相延迟滤波器零相延迟滤波器是另一种常见的处理滤波器延时的方法。
零相延迟滤波器的特点是在滤波过程中不引入延时。
一种常见的实现方法是使用FIR滤波器。
FIR滤波器是一种线性相位滤波器，通过适当设计滤波器系数，可以实现零相延迟滤波。
然而，FIR滤波器也存在一定的缺点，如对滤波器阶数的要求较高、计算复杂度较大等。
三、补偿滤波器补偿滤波器是一种通过对滤波器输出信号进行处理来减小滤波器延时的方法。
其基本思想是在滤波器输出信号中添加一个延时信号，使其与输入信号同步。
常用的补偿滤波器有全通滤波器、反卷积滤波器等。
全通滤波器可以通过与原滤波器串联来实现，反卷积滤波器则可以通过对滤波器输出信号进行反卷积操作来实现。
补偿滤波器可以有效地减小滤波器延时，提高信号处理的精度。
四、最小相位滤波器最小相位滤波器是一种通过对滤波器的频率响应进行处理来减小滤波器延时的方法。
其基本思想是将滤波器的频率响应变换为最小相位形式，从而减小滤波器的延时。
最小相位滤波器可以通过对滤波器的频率响应进行对数变换、相位变换等操作来实现。
最小相位滤波器可以有效地减小滤波器的延时，提高信号处理的效果。
处理滤波器延时的方法有预测滤波器、零相延迟滤波器、补偿滤波器和最小相位滤波器等。
不同的方法适用于不同的场景，读者可以根据具体情况选择合适的方法来处理滤波器延时。
第八章 全通系统与最小相位系统
jω
性质3 性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性
若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n) ，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响 应为h(n)，若系统的输入为δ(n)，系统的输 出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特 性可以表示为
∑
n=0
N −1
| hmin (n) | ≥ ∑ | h(n) |2
z−1 − zo H(z) = H1(z)(1− zo z−1) −1 z − zo 1− z−1zo = [H1(z)( z−1 − zo )][ −1 ] = Hmin (z)HA (z) z − zo
*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后
移到单位圆内。 移到单位圆内。
数字信号处理 第2章 ©2004
的一阶系统函数(r<1)
− z−1 − z1 1 H1(z) = 1− p1z−1
其频率响应为
e −z H1(e ) = H1(z) |z=e jω = 1− p1e
jω
− jω
−1 1 − jω
r sin( ω −ϕ) = exp{− j(ω + 2arctan[ ])} 1− r cos(ω −ϕ)
H(z) =
ak z−N+k ∑
k =0 N
N
ak z−k ∑
k =0
=z
− N k =0 N k =0
ak zk ∑
N
ak z−k ∑
D(z−1) −N =z D(z)
a0 =1
令
,由于 D(e− jω ) = D* (e jω ) 故 z = e jω
D(e− jω ) | H(e jω ) |=| |=1 jω D*(e )
全通滤波器与最小相位系统
在数字信号处理中，可以通过设计数字滤波器来实现最小相位系统。常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法等。
系统辨识与建模
对于已知的最小相位系统，可以通过系统辨识方法确定其传递函数，并进而实现该系统。 这通常涉及到对实验数据的处理和分析，以确定系统的动态特性。
04 全通滤波器与最小相位系 统关系
约束条件
滤波器的设计需要满足一定的性能指标，如通带波动、阻带衰减等，同时还需要 考虑实际电路实现的限制，如元件值范围、电路复杂度等。
优化算法选择及实现过程
算法选择
针对全通滤波器与最小相位系统的优化问题，可以选择遗传 算法、粒子群算法等智能优化算法进行求解。这些算法具有 全局搜索能力强、收敛速度快等优点，适用于复杂非线性优 化问题。
必要的高频成分。
通带波动
确定通带内允许的最大波动范 围，以保证信号传输的稳定性
。
阻带衰减
设定阻带内信号的最小衰减量 ，以有效抑制干扰和噪声。
滤波器阶数
根据过渡带宽度和阻带衰减要 求，选择合适的滤波器阶数， 以实现期望的频率响应特性。
滤波器类型选择及性能评估
巴特沃斯滤波器
具有平坦的通带和较宽的过渡带，适 用于对通带波动要求不高的场合。
因果性
最小相位系统通常是因果的，即 系统的输出只取决于当前和过去 的输入，而与未来的输入无关。
最小群时延
在给定幅频特性的条件下，最 小相位系统的相频特性使得系
统的群时延达到最小。
判定方法
零点位置判定
检查系统的传递函数在复平面上的零点位置。如果所有零 点都位于左半平面或虚轴上，则系统是最小相位系统。
设计方法
01
窗函数法
通过选择合适的窗函数对理想全通滤波器的频率响应进行截断，从而得
DSP第二章2.7
2
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2π 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
H (e ) Ke
j
j
j ( N M ) m 1 N k 1
j ( e cm )
M
j ( e dk )
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
即如果zk-1为全通滤波器的零点， 则zk*必然是全通滤 波器的极点。 全通滤波器系统函数另一种形式
z zk H ( z) 1 k 1 1 zk z
N
1
N称为阶数
举例：当N=1时，零极点均为实数，系统函数为
z a H (z) 1 1 az
全通滤波器的应用： 全通滤波器是一种纯相位滤波器，常用于相位校正。 例如， IIR滤波器一般是非线性相位的，可采用全通 滤波器作为相位均衡器来校正得到线性相位，同时又 不改变系统的幅频特性。
系数为实数，极点、零点共轭成对出现，因此，形成
四个极零点一组的形式。
实数零极点，则两个一组出现，且零极点互为倒数。
Im(z) zk
* pk
Re(z) pk
* zk
全通滤波器的零极点分布
零点
zk
zk
pk z
极点
1 k
零点
极点
pk z
1 k
z
1 k
zk
零点与极点的共轭倒易关系
N H (e ) j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1 M
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
数字信号处理ch16全通滤波器与最小相位系统
频域分析图
利用傅里叶变换等方法对处理后的信号进行频域 分析，得到信号的频谱图。通过比较处理前后的 频谱图，可以分析全通滤波器和最小相位系统对 信号频率成分的影响。
实验结论
根据实验结果和分析，得出全通滤波器和最小相 位系统在数字信号处理中的应用效果和性能表现 。同时，也可以针对实验中发现的问题和不足， 提出改进和优化建议。
全通滤波器的特点
全通滤波器的主要特点是其相位 响应是非线性的，这使得信号经 过全通滤波器后会产生相位失真 。
全通滤波器频率响应特性
幅度响应
全通滤波器的幅度响应在通带内是平 坦的，即对所有频率分量的幅度影响 相同。在阻带内，幅度响应迅速衰减 ，以抑制不需要的频率分量。
相位响应
全通滤波器的相位响应是非线性的， 导致信号经过滤波器后产生相位失真 。这种相位失真可以用于信号的时域 整形或者频域分析。
全通滤波器与最小相位系统的关系
全通滤波器和最小相位系统都是数字信号处理中的重要概念，它们之间存在一定的联系和 区别。全通滤波器主要用于信号的频率分析和处理，而最小相位系统则更关注于信号的传 输和控制系统性能。
02
全通滤波器原理与设计
全通滤波器基本概念
全通滤波器的定义
全通滤波器是一种允许所有频率 分量通过的滤波器，其幅度响应 在通带内是平坦的，而在阻带内 则迅速衰减。
数字信号处理ch16全通滤波器与最小相位系统
目录 Contents
• 引言 • 全通滤波器原理与设计 • 最小相位系统原理与设计 • 全通滤波器与最小相位系统应用 • 数字信号处理算法实现与优化 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
数字信号处理的重要性
数字信号处理是现代电子通信系统的核心，广泛应用于音频、图像、视频等领 域。
全通系统与最小相位系统
全通系统可以作为相位均衡 器使用.
全通系统的应用
应用1
将全通系统与一个 不稳定的滤波器联 级，可以将其变成 一个稳定的滤波器
应用2
全通系统可以作为 相位均衡器使用.
02
最小相位系统
最小相位系统的定义
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于 或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部 的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。在保 持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必 要条件是：
何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统；
2 最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也就是说，
一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，一个相频特性 只能有一个幅频特性与之对应。对于最小相位系统，只要根 据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。
03
二者的关系
2017 THANK YOU VERY MUCH
全通系统的定义
3 二阶全通系统
Hap(z)
K
z 1 a* 1 az1•源自z 1 1 aza
1
K
z2 z12r cos r 2 1 z12r cos r 2 z2
K
z 2 d1z 1 d2 1 d1z 1 d2 z 2
4 N阶全通系统
N
N
H(z)
k0 N
ak zN k ak zk
zN
2017 全通系统和最小相位系统
目录
01
全通系统
02
最小相位系统
03
二者的关系
01
全通系统
全通系统的定义
全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率w下均为1或某一常 数的稳定系统。
最小相位系统的定义和特点
最小相位系统的定义和特点最小相位系统是指具有最小相位特性的信号处理系统。
在信号处理领域中，相位是指信号的频率成分随时间变化的情况。
最小相位系统通过对信号进行预处理，使得信号的相位变化最小，从而实现信号的优化处理。
最小相位系统具有以下几个特点：1. 相位变化最小：最小相位系统通过对信号进行预处理，使得信号的相位变化最小。
相位变化越小，信号的频谱越集中，具有更好的信号质量。
2. 频率响应平滑：最小相位系统的频率响应曲线相对平滑，不会出现突变或极端变化。
这种平滑的频率响应使得信号的频谱分布更加均匀，有利于信号的传输和处理。
3. 反射率低：最小相位系统的反射率较低，可以有效地减少信号的反射损失。
反射率低意味着信号在系统中传输时能够更好地保持其原始特性，减少信号失真。
4. 响应时间短：最小相位系统对信号的处理时间相对较短。
这是因为最小相位系统采用了优化的信号处理算法，能够更快地提取信号的特征和信息。
最小相位系统的设计和应用具有重要的意义：1. 通信系统：在通信系统中，最小相位系统可以用于信号的预处理和解调，从而提高信号的传输质量和可靠性。
通过减少信号的相位变化和失真，最小相位系统可以实现更高的传输速率和更低的误码率。
2. 语音识别：在语音识别系统中，最小相位系统可以用于对语音信号的预处理和特征提取。
通过优化信号的相位特性，最小相位系统可以提高语音信号的识别准确性和鲁棒性。
3. 音频处理：在音频处理领域，最小相位系统可以用于音频信号的增强和去噪。
通过减少信号的相位变化和噪声干扰，最小相位系统可以提高音频信号的质量和清晰度。
4. 图像处理：在图像处理领域，最小相位系统可以用于图像的增强和去噪。
通过优化图像的相位特性，最小相位系统可以提高图像的清晰度和细节表现力。
最小相位系统是一种通过对信号进行预处理，使得信号的相位变化最小的信号处理系统。
最小相位系统具有相位变化最小、频率响应平滑、反射率低和响应时间短等特点。
全通滤波器
8.1 几种特殊的滤波器
• 8.1.1 全通滤波器 • 一、概念： • 若滤波器的幅频特性对所有频率均等于 常数或 1， • 即 • |H(e jω )|=1, 0≤ω ≤2π • 全通滤波器的频率响应函数也可表示成： 则该滤波器称为全通滤波器。
或者写成二阶滤波器级联形式：
L
H ( z)
i 1
z 2 a1i z 1 a2i a2i z 2 a1i z 1 1
(8.1.4)
三、全通滤波器零极点分布特点：
由
H ( z)
N
k 0 N
ak z
N k
Im( ) z
z
N
k 0
ak z k
D( z 1 ) D( z )
H(ejω )=ejφ (ω )
•
二、全通滤波器的系统函数：
H N k ak z k
(8.1.3)
k 0
z N a1 z N 1 a2 z N 2 a N , a0 1 1 2 N 1 a1 z a2 z a N z
因果稳定系统H(z)的所有零点 都在单位圆内，记为Hmin(z)。 最大相位系统： 所有零点都在单位圆外, 记为Hmax(z)。 非最小相位系统：单位圆内、外都有零点，也称 为“混合相位系统”。
最小相位系统：
• 最小相位系统的几个重要特点:
(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最 系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成， 即 H(z)=Hmin(z)·Hap(z),且|H(ejw)|=|Hmin(ejw)|
简述最小相位系统的含义。
简述最小相位系统的含义。
最小相位系统（MinimumPhaseSystem）是由美国科学家及工程师H.W.Bode20世纪30年代提出的一种系统，它是应用在工程控制领域的可靠控制系统辨识的重要技术。
最小相位系统的基本概念是：对工程系统进行模型辨识时，需要采用最小相位系统的模型或参数。
最小相位系统是完全可斜率低通滤波器，它是一种极致系统，具有最小的延迟。
最小相位系统的波形响应特性与一般的低通滤波器有很大的不同。
它可以有效地消除波形延迟对系统性能的影响，从而可以提高系统的精度和可靠性。
最小相位系统有许多应用，其中最常见的是信号处理领域的应用。
在这类应用中，通常需要采用最小相位系统的模型或参数，以较高精度地测量检测信号的参数，如频率、幅度等。
例如，在声学检测领域，常常使用最小相位系统来测量声音参数，如频率、幅度等，这样可以获得更准确的检测结果。
此外，最小相位系统在控制领域的应用也很广泛，例如，在模型预测控制（MPC）领域，它可用来设计最小相位积分控制器，以更精
确地控制过程参数的变化，从而提高系统的精度和可靠性。
综上所述，最小相位系统是一种重要的系统辨识技术，它具有最小的延迟，可以有效地消除波形延迟对系统性能的影响，从而提高系统的精度和可靠性。
它在工程技术领域和信号处理领域有许多广泛的应用，并在不断发展当中，成为系统控制领域一种重要的理论和技术基础。
研究最小相位系统将有助于更好地探求出工程控制系统的解决
方案，从而推动工程技术的发展。
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一、一阶全通数字滤波器
特点： (b) 一阶全通数字滤波器的相位响应单调递减
A1 ( e j ) e j 1 d e j 1 de j
H
0.2
0.4
0.6
0.8
最大相位系统 (maximum-phase system):
——零点全在单位圆外的因果稳定系统。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最大相
位系统具有最大的延时（即最大的相位滞后）。
例3: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
例2: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为：
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
1
H min
0
1 bz H min ( z ) 1 az1
a=0.9，b=0.4时 H(z)和Hmin(z)的相位响应
1
pha se
1 2 3 0
2 2 2
0
一、一阶全通数字滤波器
特点： (c) 一阶全通滤波器的极点和零点互为共轭倒数
z d z re A1 ( z ) 1 1 dz 1 re j z 1
极点为：
1
1
j
p1 d re j
零点为： z1 (1/ r ) e j
一阶全通系统的零点与极 点存在共轭倒数的关系：
那么H(z)就能表示成： H(z)=H1(z) (z1 a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为：
1 1 1 az z a 1 H ( z ) H1 ( z )(z 1 a ) H ( z )( 1 az ) 1 1 1 az 1 az1
1
why？
Am ( z ) Am ( z )
1
z e j
Am (e ) 1
j
2
一、一阶全通数字滤波器
1、一阶全通数字滤波器（allpass digital filter） 系统函数的通式： 1
z d A1 ( z ) 1 1 dz
d 1
特点：
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应为1 j j e d 1 d e j j A1 ( e ) e j 1 de 1 de j
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1，
故有：
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例1: 判断以下系统是否为最小相位系统，该系统的
1 b z 系统函数H(z)为： H ( z ) , a 1, b 1 1 1 az
解: 由于系统的零点为z = 1/b>1，故不是最小相位系统。
3、最小相位系统
——零极点都在z平面单位圆内的因果系统。
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统具有最 大的相位，最小的延时（即最小的相位滞后）。
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最小相位系统 与全通系统的级联:
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
1 * p1 ( ) z1
二、m阶实系数全通滤波器
2、m阶全通数字滤波器的系统函数：
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
特点： (a) m阶全通滤波器的幅度响应为1
由于：Am ( z ) Am ( z )
1
z m Dm ( z 1 ) z m Dm (
1
Am ( e
j
) Am ( z ) Am ( z 1 )
2
1
二、m阶实系数全通滤波器
零点z=1/b，在单位圆外。显然，该因果稳定系 统为最大相位系统。
四、小结
1、一阶全通滤波器
z 1 d A1 ( z ) 1 dz 1 d 1
2、 m阶实系数全通滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
写出最小相位系统与全通系统相乘的形式：
b z 1 1 bz1 1 bz1 b z 1 H ( z) 1 1 1 az 1 bz 1 az1 1 bz1
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为：
1 bz1 H min ( z ) 1 1 az
e j
1 re j e j 1 re j e j
( ) 2 arctan
d ( ) d
r sin( )
1 r cos( )
1 r 2 [1 r cos( )] r sin ( )
特点： (b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点的关系
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有： zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
(c) m阶实系数全通系统的相位也是递减的。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的乘积。
由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数 全通系统的相位也是递减的。
第一章 离散信号与系统分析
1.7
全通滤波器与最小相位系统
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、一阶全通滤波器
二、m阶实系数全通滤波器
三、最小相位系统
重点与难点
重点
无
难点
无
一、一阶全通数字滤波器
什么是全通数字滤波器？ 如果m 阶实系数全通滤波器的系统函数Am(z) 满足：
Am ( z) Am ( z ) 1
0 -2 -4 0 2
三、最小相位系统
什么是最小相位系统？
零极点都在z平面单位圆内的因果系统称为最小相位 系统。记为Hmin(z)。
特点：
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统 具 有 最大的相位，最小的延时 （ 即 最小 的 相 位滞 后）。
三、最小相位系统
结论：任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最 小相位系统与全通系统的级联。 H ( z ) H min ( z ) Am ( z )