全通滤波器与最小相位系统

例2: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为：
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
1
H min
0
1 bz H min ( z ) 1 az1
a=0.9，b=0.4时 H(z)和Hmin(z)的相位响应
1
pha se
1 2 3 0
特点： (b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点的关系
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有： zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
(c) m阶实系数全通系统的相位也是递减的。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的乘积。
由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数 全通系统的相位也是递减的。
零点z=1/b，在单位圆外。显然，该因果稳定系 统为最大相位系统。
四、小结
1、一阶全通滤波器
z 1 d A1 ( z ) 1 dz 1 d 1
2、 m阶实系数全通滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
1 * p1 ( ) z1
二、m阶实系数全通滤波器
2、m阶全通数字滤波器的系统函数：
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
写出最小相位系统与全通系统相乘的形式：
b z 1 1 bz1 1 bz1 b z 1 H ( z) 1 1 1 az 1 bz 1 az1 1 bz1
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为：
1 bz1 H min ( z ) 1 1 az
2 2 2
0
一、一阶全通数字滤波器
特点： (c) 一阶全通滤波器的极点和零点互为共轭倒数
z d z re A1 ( z ) 1 1 dz 1 re j z 1
极点为：
1

1
j
p1 d re j
零点为： z1 (1/ r ) e j
一阶全通系统的零点与极 点存在共轭倒数的关系：
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1，
故有：
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例1: 判断以下系统是否为最小相位系统，该系统的
1 b z 系统函数H(z)为： H ( z ) , a 1, b 1 1 1 az
解: 由于系统的零点为z = 1/b>1，故不是最小相位系统。
特点： (a) m阶全通滤波器的幅度响应为1
由于：Am ( z ) Am ( z )
1
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z )
z e j
1
1
Am ( e
j
) Am ( z ) Am ( z 1 )
2
1
二、m阶实系数全通滤波器
2 j 1 ( d ) 1 d e j j A1 (e ) e 1 j 1 de 1 d 2
一、一阶全通数字滤波器
特点： (b) 一阶全通数字滤波器的相位响应单调递减
A1 ( e j ) e j 1 d e j 1 de j
第一章 离散信号与系统分析
1.7
全通滤波器与最小相位系统
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、一阶全通滤波器
二、m阶实系数全通滤波器
三、最小相位系统
重点与难点
重点
无
难点
无
一、一阶全通数字滤波器
什么是全通数字滤波器？ 如果m 阶实系数全通滤波器的系统函数Am(z) 满足：
Am ( z) Am ( z ) 1
3、最小相位系统
——零极点都在z平面单位圆内的因果系统。
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统具有最 大的相位，最小的延时（即最小的相位滞后）。
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最小相位系统 与全通系统的级联:
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
那么H(z)就能表示成： H(z)=H1(z) (z1 a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为：
1 1 1 az z a 1 H ( z ) H1 ( z )(z 1 a ) H ( z )( 1 az ) 1 1 1 az 1 az1
e j
1 re j e j 1 re j e j
( ) 2 arctan
d ( ) d
r sin( )
1 r cos( )
1 r 2 [1 r cos( )] r sin ( )
1
why？
Am ( z ) Am ( z )
1
z e j
Am (e ) 1
j
2
一、一阶全通数字滤波器
1、一阶全通数字滤波器（allpass digital filter） 系统函数的通式： 1
z d A1 ( z ) 1 1 dz
d 1
特点：
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应为1 j j e d 1 d e j j A1 ( e ) e j 1 de 1 de j
0 -2 -4 0 2
三、最小相位系统
什么是最小相位系统？
零极点都在z平面单位圆内的因果系统称为最小相位 系统。记为Hmin(z)。
特点：
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统 具 有 最大的相位，最小的延时 （ 即 最小 的 相 位滞 后）。
三、最小相位系统
结论：任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最 小相位系统与全通系统的级联。 H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
H
0.2
Fra Baidu bibliotek
0.4

0.6
0.8

最大相位系统 (maximum-phase system):
——零点全在单位圆外的因果稳定系统。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最大相
位系统具有最大的延时（即最大的相位滞后）。
例3: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az