(完整版)中考最值问题大全2019

中考最值问题

中考最值问题解题策略

垂线段最短在最值问题中的应用

模型一 点到直线的所有线段中，垂线段最短

点P 在直线l 外，过点P 作l 的垂线PH ，垂足为H ，则点P 到直线l 的最短距离为线段PH 的长，即“垂线段最短”．

1、如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是_______________。

2、如图，在锐角△ABC 中，BC ＝4，∠ABC ＝45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是________．

3. 如图，在Rt△AOB 中，OA ＝OB ＝

，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段

PQ 的最小值为________．

模型二 “胡不归”问题

基本模型：两定一动，动点在定直线上

问题：点A 为直线l 上一定点，点B 为直线外一定点，P 为直线

l 上一动点，要使AP ＋BP 最小．解决：过点A 作∠NAP ＝45°，过点P 作PE

⊥AN ，在直角三角形中将AP 转化为PE ，使得

AP ＋BP ＝PE ＋BP ，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变

“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF 的长度．

此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等

于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；

第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”找到最小值的位置．

4. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，边长为3，P

是对角线

BD

上的一个动点，则BP ＋PC 的最小值是(

)

1

2

中考最值问题

A. B. C. 3 D.3

2

5. 如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且

圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端

点)，连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB

1

2

的长．

6、如图6－2－4，二次函数y＝ax2＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点

C，tan∠CBO＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;

⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合时终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点．

①直接写出点P所经过的路线长_________________________________________.

②点D与B、C不重合时，过点

D作DE⊥AC，DF⊥AB于点F，连接

PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大

小是否发生变化？若不变，求∠EPF

的度数；若变化，请说明理由．

③在②的条件下，连接EF，求

EF的最小值．

7．如图6－2－5，等边△ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y与x的函数图象大致是（）

A B C D

图6-2-5

8．如图6－2－6，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，

A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA＝OB＝

⑴则A、B两点的坐标分别为__________、______________；

9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝

5

13

探究：如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．

拓展如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）

⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；

⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值；

⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．

对称性质在最值问题中的应用

模型一 两点一线类型1 异侧和最小值问题

问题：两定点A 、B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点P ，使PA ＋PB 值最小．

问题解决

：结论：根据两点之间线段最短，PA ＋PB 的最小值即为线段AB 长．类型2 同侧和最小值问题

问题：两定点A 、B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得PA ＋PB 值最小．

问题解决

：

C

图6-2-7①

图6-2-7②

结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA ＋PB 最小值为AB ′．类型3 同侧差最小值问题

问题：两定点A 、B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得|PA －PB |的值最小．

问题解决

：结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA ＝PB 时，|PA －PB |＝0. 类型4 同侧差最大值问题

问题：两定点A 、B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得|PA －PB |的值最大．

问题解决

：结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA －PB |≤AB ，则|PA －PB |的最大值为线段AB

的长．类型5 异侧差最大值问题

问题：两定点A 、B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点P ，使得|PA －PB |的值最大．

问题解决

：结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA －PB |的最大值为AB ′. 1.如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在边DC 上，且DM ＝2，点

N 是对角线AC 上一动点，则线段DN ＋MN 的最小值为

________．

2.如图，点C 的坐标为(3，y )，当△ABC 的周长最小时，则y 的值为________

．