第一类换元法求积分

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定积分第一类换元法积分上下限

定积分第一类换元法积分上下限
定积分第一类换元法积分上下限，是指在定积分的过程中使用第
一类换元法时，需要注意换元变量和被积函数的取值范围问题。

第一类换元法是指通过引入变量替换的方法将被积函数进行简化，从而求解定积分的方法。

当进行第一类换元法时，需要确保换元变量
和被积函数的取值范围是一致的，以保证换元的可行性。

在定积分中，上下限是指积分区间的起始点和结束点，用来确定
积分的范围。

换元后的定积分中，上下限也需要进行相应的变换。

具体来说，如果积分区间在原积分中的上下限为a和b，在进行
第一类换元法后，需要确定变量的取值范围来确定新的积分区间。

如
果换元变量记为u，且原积分区间中的a对应u的取值为u=a_1，b对
应的u取值为u=b_1，则新的积分区间的上下限为a_1和b_1。

需要注意的是，在进行第一类换元法时，需要保证换元变量和被
积函数的取值范围是一致的，否则换元后的积分结果可能会发生改变。

综上所述，定积分第一类换元法积分上下限需要根据换元变量和
被积函数的取值范围来确定新的积分区间。

3.3第一类换元积分法

§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。

重点：第一类类换元积分法及其应用难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。

而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。

该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。

本节将介绍第一类换元法。

二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。

下面先介绍第一类换元积分法。

定理设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。

换元积分法3

解法2 ∫ sin2x dx = 2∫ sin x cos x dx
= 2∫ sin x d(sin x) = sin2 x + C.
解法3 ∫ sin2x dx = 2∫ sin x cos x dx
= −2∫ cos x d(cos x) = −cos2 x + C.
1 1 因为 sin x = −cos x +1 = − cos 2x + ，可知 2 2
1 dx = du， 2
所以有
1 1 ∫ cos 2x dx = ∫ cos u ⋅ 2 du = 2 ∫ cos u du
d 由于 sin u = cos u，即对新的积分变量而言， u是 u sin du 被积函数cos u的原函数，因此有 1 1 ∫ cosudu = 2sin u + C. 2
定理5.2 设
∫ f (u)du =F(u) + C，
如果 = ϕ(x)具有连续导数，则 u 有
∫ f [ϕ(x)]ϕ' (x)dx = F[ϕ (x)] + C
证
(1)
依题意有 ∫ f (u)du =F(u) + C， d 即有 F(u) = f (u), 又由复合函数微分法可得 dx
d du 令x = ϕ(x) d F[ϕ(x)] F(u) ⋅ du du dx
(2)若 , n为偶数时，用半角公式 m 降幂后再逐项积分 .
例14 求∫ sin4 x cosxdx. 解 ∫ sin4x cos xdx = ∫ sin4 x d(sin x)
1 5 = sin x + C. 5
例15 求 ∫ sin3 x cos4 x dx. 解 ∵sin3 x cos4 x = sin xsin2 x cos4 x

医学高等数学课件第3-1不定积分的第一类换元积分法

第一节不定积分(之二)
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q

第一换元积分法

第一换元积分法
第一类换元法通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f(u)du的形式求积分，这里的f(u)通常为易求的积分形式
而第二类换元法则是令x=g(t),把dx拆分为g'(t)dt,从而把简单函数变为一个复合函数，高数中常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化从而得解
换句话来说，第一类换元法是先将函数分为两部分，一部分为u',另一部分为f(u),其中u'dx=du,于是待求积分从f(x)dx转化为f(u)du,而第二类换元法是将x用g(t)代换，再将dx拆分为g'(t)dt从而使积分可求，而其不同于第一类换元法表现在其后须使用t=g-(x)将t换掉得到关于x的积分。

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分

f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解：令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1

du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

19换元积分法

sec2xdxdtanx;
cs2cxdxdcox;t
1 dx darcsixndarccxo;s 1 x2
1 1x2
dxdarctaxndacrocxt
4、常见的积分类型
①、f(axb)dx型(a , b 均为常数)
方法
f (axb)dx1 a

f(axb)d(axb)
1sin4 xC 4
3、 si2 nxco32sxdx12co3s2xdco2sx
1co4s2xC 8
(ⅱ)、当 m,n均为偶数
方法
利用公式 co2sx1co2sx, sin2x1co2sx
2
2
将原积分降次，直到降为各积分能用
凑微分求的，最后求的结果.
例4 求 sin2xco2sxdx
变量回代 F[(x)]C
3、常用的凑微分形式
dx1 d(ax b)
a
1 dx 2d x; x
xndx 1 d(xn1b)
n1
1 x2
dx

d
1 x
;
1 dx d ln x; x
exdxdex;
s in x d x d c o sx ; c o sx d x d sin x ;
2x 3 3x 6 6x 6 ln 6x (1 ) C
练习
求
1 dx.
x 4 x
解：令4 xt,xt4, 则 dx = 4t3 dt，于是有
换元积分法
一、第一类换元积分法
例求cos5xdx
cosxdxsinxC
cosudusinuC
解：
1
co5sxdx5
cos 5x d (5 x)

第3-1不定积分的第一类换元积分法

sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx

1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2

高数换元积分法

公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法) 观察重点不同，所得结论不同.
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例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
注: 当
时
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例3. 求
解:
1 a2
dx
1
(
x
a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 a
du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例4. 求解:
dx a 1 (ax)2
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(6) f (tan x)sec2 xdx
(7) f (ex )exdx
(8)
f (ln x)1dx x
de x dln x
dtan x
例8. 求
解: 原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2 ln x) 1 2ln x
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d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsin u C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)

不定积分的换元积分法4.2

f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x

2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解那么
当 x> a 时，设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2

2
t
)，
sec
2
a
t 1

a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ，于是

dx x a
2 2

2

a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3

不定积分的第一类换元积分法

31-9
例 6 求不定积分 sin x cos xdx ．
1 2
解法一 sin x cos xdx sin xd(sin x) sin x C ．
2
1 2
解法二 sin x cos xdx cos xd( cos x) cos xd(cos x) cos x C ．
关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分
法，又称为凑微分法．
31-4
第一类换元法(凑微分法)
定理
设函数 f (u ) 在区间 D 上有一个原函数 F (u ) ，u ( x) 在
1 x3 3
解：原式 e dx
3
u x3
1 u
= e du
3
1 u
e C
3
1 x3
e C
3
解：
ln x
例 3 求
dx ．
x
1 2
解：原式 lnxdlnx ln x C
2
eex
解
dx
x
1 e
1
x

d(1
区间 I 上（内）可导，且有 { (x)|x I } D ，则
f ( ( x)) (x)dx f ( ( x))d (x)
u ( x )

f (u)du F (u) C F ( ( x)) C ．
31-5
熟记常用微分形式
例1

2 x3
求 x e dx ．
1
[ln|a+x| ln|a-x|] C

高等数学§4-2第一类换元积分法

以上求积分的方法，叫做第一换元积分法或凑微分法．
例1 求 e5xdx
解e： 5xdx1 e5xd(5x)令u 5x 1eudu 1euC1e5xC
5
5
5
5
例 2.求(2x7)10 dx
解 (2 x ： 7 )1d 0 x 1(2 x 7 )1d 0 (2 x 7 )
．
类似地得
cs xc d ln c xs xcx oC t.
练习：
1、求 2xex2dx 解： 2xxe 2d xex2d(x2)u x2 eudueuCex2C
2、求

1 dx x(1 2ln x)
解：

1 dx x(1 2ln x)
1 2121lnxd(12lnx)
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第一类换元是求复合函数的不定积分的基本方法．
一般地，有如下定理．
定理: 若 f(u)d uF(u)C ,u(x)可导，则
f[(x )] (x )d凑 x微 f[(x )d 分 ](x )
令 u ( x )f( u ) d 公 u F ( u ) 式 C 回 F [( x 代 ) C ]
4、f设 (x)e2x，则不定 fx积 dx分ex
2
C
x a x a

2

令 xu a
1 a1 duu2
1arctanuc a
将 u x 代入
a
还原
1 arctan x c
a
a
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例6 解：
求 dx a2x2
a0

dx
a2 x2
1 dx a

微积分第一类换元法

[ f ( u)du]u ( x ) 由此可得换元法定理
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法）说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基本积分表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)

1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5

基本积分方法

§2 基本积分方法一、换元积分法⎩⎨⎧第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设f (u )，)(x ϕ为连续函数，)(x ϕ可导，且C u F du u f +=⎰)()(，则C x F C u F du u f dx x x f +=+=========⎰⎰)]([)()()(')]([ϕϕϕ常见得凑微分形式：① ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f② ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f nadx b ax f n n n ③⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x x f④ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f⑤⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f⑥⎰⎰-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⑦⎰⎰=)(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f⑧ ⎰⎰=-)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2x d x f dx xx f 例2、1计算dx x x x⎰+)1(arctan 22解:令t x =arctan ，tdt dx 2sec =，则2cot )1(csc sec tan sec )1(arctan 2222222t t td dt t t dt tt t t dx x x x --=-==+⎰⎰⎰⎰=2cot cot 2t dt t t t -+-⎰=C t t t t +-+-2|sin |ln cot 2=C x x x x x +-++-22)(arctan 211||ln arctan 。

例2、2计算下列积分：（1）)1ln(x x e e +⎰；（2）⎰+-dx xxcos 1cos 1解：（1）⎰⎰++=+)1()1ln()1ln(x x x x e d e e eC e e e dx ee e e e xx x xx xxx+-++=+⋅+-+⋅+=⎰)1ln()1(1)1()1()1ln( )(x u ϕ=（2）dx xxx dx x x x dx x x ⎰⎰⎰--=-+-=+-222sin cos 2sin 2)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 1 C x x x xx d dx xdx ++--=--=⎰⎰⎰sin 2cot 2sin sin 2csc 222 ◆ 2．第二类换元积分法：)(t ϕ单调、可导且0)(≠'t ϕ，又)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t G 。

02-108、定积分第一类换元法

第三节定积分的换元法和分部积分法
换元积分法不定积分
分部积分法
定积分
换元积分法分部积分法
一、定积分的第一类换元法二、定积分的第二类换元法三、定积分的分部积分法
一、定积分的第一类换元法
定理1. 设函数
且有:
ϕ(a ) = α, ϕ(b) = β;
则
证: 所证等式两边被积函数的原函数都存在, 因此，积分都存在 ,
2 0
= tan 1 − 1 e−4 + 1 . 22 2
0
π π
cos
x
(
sin
x
)
3 2
dx
∫ ∫ =
π
3
2 (sin x)2 d(sin x) −
2 π
π
(
sin
x
)
3 2
d
(
sin
x
)
0
=
2
(
sin
x
)
5 2
π 2
−
2
2
(
sin
x
)
5 2
π
=
4.
5
05
π5
2
3
∫ e4
dx
例3 计算.e xln x(1 − ln x)3
∫ 解原式 = e4
d(ln x)
,求
4
f (x − 2)dx.
1
解设 u = x − 2 ，则当 x =1 时，u = −1;
当 x = 4 时， u = 2 ．于是
4
2
∫ ∫ f (x − 2)dx = f (u)du
1
−1
∫ ∫ 0
=
du

4.2_第一类换元积分法

400
400
例3
求

dx x1
.
解上式与基本积分表中 1 dx ln| x | C 类似. x
为此将 dx = d(x + 1) 代入式中，那么
dx x1

d( x 1) x 1 ln | x 1 | C.
2. 利用 xdx 1 d(x2 a), 2
d F(x) 令x (x) d F (u) du
du
du
dx
f (u) '(x) f (x)'(x).
根据不定积分的定义，则有
f (x) '(x)dx F(x) C.
公式(1)称为不定积分的第一类换元积分公式，应用第一类换元积分公式计算不定积分的方法称第一类换元积分法.
说明: 计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.
例求 sin 2x dx.
解法1

sin2
x
dx

1 2

sin(2x)
d(2 x)
1 cos 2x C. 2

1
1 x2
,

(1
1 x2
x 1
)e xdx

e
x 1
xd(
x

1) x
x 1
e x C.
例18 求
sin(

x 1)dx.
x
解
sin(

x 1)dx
x
2 sin( x 1).( x)dx

高数-换元积分法

ln csc x cot x C.
（使用了三角函数恒等变形）
类似地可推出 sec xdx ln sec x tan x C.
dx a x
ln
|
a
x
|
C ,
dx a x
ln
|
a
x
|
C
例10 求 csc xdx.
解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2
24
24
1 ln 24
x6 x6 4
c
(14)
a
2
1
x2dx
1 a
arctan
x a
c
.
(15)
dx a2 x2
arcsin x c a
(a 0)
积分
(16)
dx a2 x2
1 ln a x c 2a a x
(a 0)
公
(或）
dx x2 a2
1 ln x a c 2a x a
u = (x) 下，转化为右边的积分来计算。
• 如何用公式（1）来求不定积分？关键是寻找
适当的变量代换 u = (x) , 这要根据具体问题
具体分析。
例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2
xdx
1 2
sin
2
xd
(2
x)
1 2
sin
udu
1 cos u C 1 cos 2x C;
t
2
,
2
x3 4 x2dx 2sin t 3 4 4sin2 t 2cos tdt

第一类换元积分法

第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。

本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。

一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。

其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。

它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。

四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。

因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。

定积分的换元法和分部积分法

2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17