数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：

()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：

证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边3

1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：

()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：

()()()()32121121217

51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

k k k ()1

121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n =k +1时．

()()()()32121121217

51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()

3212112++++=k k k k ()()()()()()

321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1

121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：

a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．

⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=603224

26321

211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．

故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式

a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n =k 时，等式成立，即

a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)

那么当n =k +1时，

a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1

= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]

=(k +1)(k 2+2k +3k +6)

=(k +1)(k +2)(k +3)

=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]

这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

例3．证明不等式n n 21

31

21

1<++++ (n ∈N)．

证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n =k 时，不等式成立，即k k 21

31

21

1<++++ ．

那么当n =k +1时，

11

1

31

21

1++++++k k

1

1

1211

2+++=++

1211211

1+=++=++++

这就是说，当n =k +1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．

说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是

121113

1

21

1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．

求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．

分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．

②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，

a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3

=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1

=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1

=3a 4k +2+2a 4k +1

由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．

因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．