数理逻辑习题答案
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P184 习题10.1
10.1.1 解：⑪① P∧R→Q ；②Q→R ；③P∧ Q
⑫①我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。
②我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。
③我有时间或我去镇上，此话不对。（并非如此）
10.1.2 解：⑪ T∨T∧F T∨F T
⑫ T∧T∧F∨ (T∨T∧(F∨F)) F∨ (T∨T∧F) F∨F F
⑬ (F∧T∨T)∧F∨( (T∧T)∨T) F∨(F∨T) T
⑭ (T∧T)∨T∨( ) T
⑮ (T F)∧(F→F) F∧T F
⑯ T∨( ) T∨T T T T
10.1.3 解：⑪P：天下雨；Q：我不去；正： P→ Q ；逆： Q→ P ；反：P→Q 。
⑫P：你去；Q：我逗留；正：Q→P ；逆：P→Q ；反： Q→ P 。
⑬P：n是大于2的正整数；Q：方程x n+y n=z n无正整数解。
正：P→Q ；逆：Q→P ；反： P→ Q。
P201 习题10.2
10.2.1 解：⑪
⑫
⑬
⑭
10.2.2 解：⑪ 否。∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生P ，Q 连在一起的情况。 ⑫ 是。根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳， P ，(P ∧Q) 皆是；
又根据归纳， P →(P ∧Q) 是； 又根据归纳，( P →(P ∧Q))∨R 是。
⑬ 否。∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生∨∧。
⑭ 是。根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳，R →P 是；
又根据归纳，Q ∧(R →P) 是； 又根据归纳，(Q ∧(R →P))→P 是。
10.2.3 解：
⑪ P ∧(P →Q)→Q 36E ⇔ (P ∧( P ∨Q))∨Q 7
E ⇔ ((P ∧ P)∨(P ∧Q))∨Q 19
E ⇔ (
F ∨(P ∧Q))∨Q 29
E ⇔ (P ∧Q)∨Q 13
E ⇔( P ∨ Q)∨Q 4
E ⇔ P ∨( Q ∨Q) 20E ⇔ P ∨T 28
E ⇔T
⑫ (P →Q)∧(Q →R)→(P →R)36
E ⇔ [( P ∨Q)∧( Q ∨R)]∨( P ∨R) 7
E ⇔Ø[(ØP ∧ØQ)∨(ØP ∧R)∨(Q ∧ØQ)∨(Q ∧R)]∨( P ∨R) 19
E ⇔Ø[(ØP ∧ØQ)∨(ØP ∧R)∨
F ∨(Q ∧R)]∨( P ∨R) 29
E ⇔Ø[(ØP ∧ØQ)∨(ØP ∧R)∨(Q ∧R)]∨( P ∨R) 14E ⇔[Ø(ØP ∧ØQ)∧Ø(ØP ∧R)∧Ø(Q ∧R)]∨( P ∨R) 13
E ⇔[(P ∨Q)∧(P ∨ØR)∧(ØQ ∨ØR)]∨( P ∨R)
8E ⇔(P ∨Q ∨ P ∨R)∧(P ∨ØR ∨ P ∨R)∧(ØQ ∨ØR ∨ P ∨R) 20E ⇔(T ∨Q ∨R)∧(T ∨T )∧(T ∨ØQ ∨ P)28
E ⇔T ∧T ∧T T ⑬ (P →Q)→( P ∨Q)36
E ⇔(P →Q)→(P →Q)21
E ⇔T
⑭ (P ↔Q)↔(P ∧Q ∨ P ∧ Q)36E ⇔(P ↔Q)↔(P ↔Q)24
E ⇔T
P189 习题10.3
10.3.1 解： P Û P ↓P
P ∧Q Û (P ↓P)↓(Q ↓Q) P ∨Q Û (P ↓Q)↓(P ↓Q) P →Q Û (P ↓P ↓Q)↓(P ↓P ↓Q) P ↔Q Û (P ↓P ↓Q)↓(Q ↓Q ↓P) 10.3.2 解： P Û P ↑P
P ∧Q Û (P ↑Q)↑(P ↑Q) P ∨Q Û (P ↑P)↑(Q ↑Q) P →Q Û P ↑(Q ↑Q) Û P ↑(P ↑Q) P ↔Q Û (P ↑Q)↑((P ↑P)↑(Q ↑Q)) 10.3.3 解：P ∧Q Û Ø(ØP ∨ØQ) Û Ø(P →ØQ) P ∨Q Û ØP →Q
P Q Û(P →Q)∧(Q →P)ÛØ(Ø(P →Q)∨Ø(Q →P))Û Ø((P →Q)→Ø(Q →P)) T Û P →P F Û Ø(P →P)
10.3.4 解：P ∧Q Û Ø(ØP ∨ØQ) Û Ø(P →ØQ) Û (P →(Q →F ))→F P ∨Q Û ØP →Q Û (P →F ) →Q ØP Û P →F T Û P →P
P Q Û (P →Q)∧(Q →P) Û ((P →Q)→((Q →P)→F ))→F 10.3.5 解：ØPÛ T P P ∧Q Û P (T Q) P ∨Q Û T ((T P)Q)
P Q Û (T (P Q))(T (T (Q P))) F Û T T
10.3.6 证：⑪ P ↑QÛØ(P ∧Q)ÛØ(Q ∧P)ÛQ ↑P 。同样方法可证得 P ↓Q Û Q ↓P 。 ⑫ 令 P=Q=T ，S=F ，
P ↑(Q ↑S) Û Ø(P ∧Ø(Q ∧S)) Û Ø(T ∧Ø(T ∧F )) Û F (P ↑Q)↑S Û Ø(Ø(P ∧Q)∧S) Û Ø(Ø(T ∧T )∧F ) Û T
∴ ↑不可结合。同样方法可证得↓也不可结合。 ※ 10.3.7 证：⑪ P QÛ(ØP ∧Q)∨(ØQ ∧P)Û(ØQ ∧P)∨(ØP ∧Q)ÛQ P
⑫ P (Q R)Û(ØP ∧((ØQ ∧R)∨(ØR ∧Q)))∨(Ø((ØQ ∧R)∨(ØR ∧Q))∧P) Û((ØP ∧ØQ ∧R)∨(ØP ∧ØR ∧Q))∨(Ø((ØQ ∨ØR)∧(R ∨Q))∧P)
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