线性代数课件_第三章_矩阵的初等变换与线性方程组——1[]
线性代数课件 矩阵的初等变换与线性方程组.
定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E
推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB 若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1)
8
基本题型
求矩阵的秩和极大无关组
基本方法 : 用初等列（行）变换将矩阵变 为列（行）阶梯阵。讨论矩阵的秩.
与求向量组的秩和极大无关x=0 有非零解 R(A)<n.
Ax 0
线 性 方 程 组
求 解
1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组.
3.写通解. Ax=b 有解 R(A)=R(B).
Ax b
求 解
1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.
10
定理4 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 定理5 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 定理6 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 R(A)n
3
初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 E(i j)1E(i j) E (i ( k )) 1 E (i ( 1 )) E(ij(k))1E(ij(k)) k
• 初等阵与初等变换的关系 • 左乘------行变换 • 右乘------列变换
r
5
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
E, X ， （2）AX=B 用（A，B）
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。
为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。
且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。
其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
大学高等数学及线性代数课件3-1
§1 矩阵的初等变换
定理1：（只记结论）
⎛ Er O ⎞ 设 A是m × n阶矩阵，则 A ~ ⎜ ⎜ O O ⎟ ，其中0 ≤ r ≤ min(m, n), ⎟ ⎝ ⎠ m×n ⎛ Er O ⎞ ⎜ ⎜ O O ⎟ 称为A的标准形或叫等价标准形。 ⎟ 这是个什么类 ⎝ ⎠ m×n 型的矩阵呢？ 注释：所有n阶可逆方阵A的标准形都是n阶单位阵En
只能施行初等行变换
(
A
−1
)
只能用初等 列变换
⎛ A⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ → L → ⎜ −1 ⎟ ⎜E⎟ ⎜A ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ 例：设 A = ⎜ 2 2 1 ⎟, 求 A−1. ⎜ 3 4 3⎟ ⎠ ⎝
【1】此方法只能用初等行 变换！！ 【2】若不知A是否可逆， 仍可用上述方法做，只要 矩阵[A E]左子块出现一 行（列）的元素全为零， 则A不可逆。
这三个 矩阵既 可理解 为行变 换，又 可理解 为列变 换得到 的。
定理： 设A是n × s阶矩阵； B是m × n阶矩阵；则 [1]E (i, j ) A表示互换 A的第 i, j行； BE (i, j ) 表示互换 B的第 i, j列； [ 2]E (i ( k )) A表示 A的第 i行乘以 k ( ≠ 0); BE (i ( k )) 表示 B的第 i列乘以 k ( ≠ 0); [3]E (ij ( k )) A表示 A的第 j行的 k倍加到第 i行； BE (ij ( k )) 表示 B的第 i列的 k倍加到第 j列.
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ ⎟ E(i(k)) = ⎜ ⎟ E(i, j) = ⎜ M O M ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 L 0 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ O ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
矩阵的初等变换课件
0 0 0ห้องสมุดไป่ตู้1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 02 06
00 000
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
11
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯矩阵特点： 1 可划出一条 阶梯线，线的下方 全为零； 2 每个台阶 只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第 一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 ．
①2②
①2②
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
7
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系
同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个 非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换 完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
21
• 理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解 的充要条件
• 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的 方法
2
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法． 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程 组有非零解的充分必要条件和非齐次线性 方程组有解的充分必要条件，并介绍用初 等变换解线性方程组的方法．内容丰富， 难度较大.
12
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列 •当有零行时，零行在矩阵的最下端
13
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行最简阶梯形矩阵：
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
线性代数课件(第三章第一节)
数学与信息科学学院
由于R A R B 2,
故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2 x1 x2 x4 1 2 x x 0x 2 2 4 x3 2 x4 1 2 x 3 0 x 2 2 x4 1 2 x4 0 x 2 x4
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x 1 2 k k 0 0 . x3 1 0 2 2 1 2 x 0 1 0 4
5 School of Mathematics & Information Science
数学与信息科学学院 三、线性方程组解的判定定理
必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B A, b 的秩.
证明：不失一般性，假设矩阵经过初等行变换化成： d1 1 0 0 c1, r 1 c1n 0 1 0 c c d 2, r 1 2n 2 dr 0 0 1 cr , r 1 crn 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
数学与信息科学学院
商丘师范学院数学学院
1 School of Mathematics & Information Science
数学与信息科学学院 线性方程组 向量 ？ （向量的有关 理论）
（线性方程组
有解的条件）
线性方程组 矩阵 （矩阵初等变 换、矩阵的秩） 线性方程（组）
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换 (1)
可化为单位矩阵
A 可表为若干初等方阵乘积 A 没有零特征值
…… 有零特征值
A* 可逆 AT 可逆
A* 不可逆 AT 不可逆
Байду номын сангаас
§3.3 求解线性方程组的消元法
例
2 4
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
③
2①
1 2
①
2
x1
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
注意：rank A rank B rank H
同理
A 初等列变换
初等列变换
B(列阶梯形)
H(列最简形)
例2
用初等列变换化
A
3 1
1 1
0 2
21为列阶梯形
1 3 4 4
和列最简形。
解
3 1
A 1 1
0 2
2 1
c1 c2
1 1
3 1
0 2
2 1
1 3 4 4
3 1 4 4
1 2
3 5
1 4
x1
x3 3 ③
1 0 1 3
②
③
2①
1 2
①
2
x1
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
r2 2r1
r3
1 2
r1
2 0 0
1
4
1 2
3
1
1 2
1
2
5 2
③'
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》课件第3章
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
同济版线性代数课件矩阵的初等变换
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
0 0 1
4 3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
c5 4c1 3c2 3c3
010011 000000
000 111 000 000
000 000 111 000
001 001 000 000
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
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1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
2020/11/15
线性代数课件
(B3 ) (B4 )
于是解得
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
其中x3为任意取值.
或令x3 c,方程组的解可记作c为任意常数.
2020/11/15
线性代数课件
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.
特点：
（1）、可划出一 条阶梯线，线的下 方全为零；
（2）以不等于０的数乘某个方程；
（以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍．
（以 i k j 替换 i ）
2020/11/15
线性代数课件
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
2020/11/15
ri rj 逆变换 ri k 逆变换 ri krj 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
线性代数课件
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质：
（1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A;
,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
2020/11/15
线性代数课件
,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
线性代数
2020/11/15
线性代数课件
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
2020/11/15
线性代数课件
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念, 并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐 次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方 程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方 程组的方法．内容丰富，难度较大.
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2020/11/15
线性代数课件
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
2020/11/15
线性代数课件
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换 成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变 换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
2020/11/15
线性代数课件
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
1 4
即x
c
1 1
3 0
0 3
（2）
其中c为任意常数.
2020/11/15
线性代数课件
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种 变换
（1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换）
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
2020/11/15
线性代数课件
B5
对应的方程组为
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x3 x4
c 3 c 3
2020/11/15
线性代数课件
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
2020/11/15
线性代数课件
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
2020/11/15
线性代数课件
r2 r31
1
12
12
4 1
r2 4r3
Br13 r4
22r1 332r1
01
03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 9243
r3 r4
36032rr11
B2
r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
2020/11/15
线性代数课件
1 rBr343 2rr34000
11 10 00 00
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 16 03
4 030rr34 2Brr344
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1） 的增广矩阵）的变换．
2020/11/15
线性代数课件
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）