高二数学附加题练习矩阵

高二数学附加题练习

—矩阵

1．求矩阵A ＝⎣⎡⎦

⎤32 2

1的逆矩阵．

解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z y w ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00

1.

故⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋2z ＝1，

2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，

y ＝2，z ＝2，

w ＝－3.

从而A 的逆矩阵为A －1

＝⎣⎡

⎦⎤

－12 2－3.

2．平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2

＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

解：设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)

则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′0＝2x 0y ′0＝y 0

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝x ′02，

y 0＝y ′0.

又∵点P 在椭圆上，故4x 2

0＋y 2

0＝1，从而x ′2

0＋y ′2

0＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2

＝1.

3．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡

⎦⎤

cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．

解：由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

cos α＝0，

sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10. 由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1

＝⎣⎡⎦

⎤0－1 10.

4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1－1，属于特征值λ2＝4 的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

32，求矩阵A .

解：由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

1－1，得⎩

⎪⎨⎪⎧

a －

b ＝－1，

c －

d ＝1. 同理可得⎩

⎪⎨

⎪⎧

3a ＋2b ＝12，

3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤2

32

1.

5．已知矩阵M ＝⎣⎡

⎦⎤

3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．

解：由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2

－1＝0，

解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y ，

当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ，可得⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，

∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ，可得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，

取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．

6．设矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a

00

b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1

； (2)若曲线C ：x 2＋y 2

＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 2

4＋y 2

＝1，求a 、b 的值．

解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1

＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

2

00

3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00

1.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，

即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13

，故所求的逆矩阵M

－1

＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，

则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a

00

b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥

⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧

ax ＝x ′，by ＝y ′，

又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴

x ′2

4

＋y ′2

＝1.

则

a 2x 2

4

＋b 2y 2

＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x

2

＋y 2

＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＝4，

b 2

＝1.

又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝2，

b ＝1.

7．已知矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

2

a 2

1，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求：

(1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢

⎡⎦⎥⎤2 a 2

1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－4 0，所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤2

32

1，则矩阵M 的特征多项式为

f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2

－3λ－4.

令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.

当λ＝－1时，⎩

⎪⎨

⎪⎧

λ－2

x －3y ＝0，

－2x ＋λ－1y ＝0

⇒x ＋y ＝0.

所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1－1.

当λ＝4时，⎩

⎪⎨

⎪⎧

λ－2

x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0

⇒2x －3y ＝0.

所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

32.