08-4.第一类曲线积分的计算PPT

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算公式定理)

()()()](),([),(,],[)(),()(),

(),(,

),(22βαβαβαβα<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰dt

t y t x t y t x f ds y x f t y t x t t y y t x x L L y x f L 则上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设

特殊情形

.

)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ⎰⎰

'+=ψψ)(b a <.)(1]),([),(2

dy y y y f ds y x f d c L ⎰⎰'+=ϕϕ)

(d c <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ

)

().(),(),(:βα≤≤===Γt t z z t y y t x x )

()()()()](),(),([),,(222βαβα

<'+'+'=⎰⎰Γdt t z t y t x t z t y t x f ds

z y x f

例1.)0(,

sin ,cos :,

象限的部分在第椭圆求I >⎩⎨⎧===⎰a t a y t a x L xyds I L

解dt t b t a t b t a I 2

22

0)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰π

.)(3)(2

2b a b ab a ab +++=例题

例2⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ

.

0,,2

2222

z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds x ⎰Γ

++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=πds a