数学美欣赏 第1章 数学的简洁性

数学美欣赏

(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》)

课程简介了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.

学习要求

1. 用U盘复制电子讲稿，并打印.

2. 课后认真阅读讲稿.

3. 适当安排若干次课堂独立作业. 做课堂作业时, 允许参考本讲稿, 可以摘录讲稿内容.

考核要求

1. 进行期中考试和期末考试，均为开卷.

2. 期末总评成绩=期中考试成绩×50%+期末考试成绩×50%.

3. 期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题.

第1讲

第1章数学的简洁性

序言

著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.

简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.

数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.

自然界原本就是简洁的：

光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.

植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.

某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.

大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是 ，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是54448'''

最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种

角度).

，这种比值

的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.

生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.

这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.

诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.

近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大.

无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.

数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.

正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.

数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有1，2，2

2，3

2， (2)

克的砝码，只允许其放

在天平的一端，利用它们可称出1——()

1

1

2

2122

221n n

n +--=+++++ 之间

的任何整数克重物体的重量.

例如，当3n =时，我们有4个砝码：1克，2克，2

2克和3

2克，

即1克，2克，4克和8克. 利用它们，我们可称出1克——31

21

+-克

(即15克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克，

2克, 3

克, …, 15克的重量. 这由下表可以明白.

这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有1，3，2

3，3

3， (3)

克重的砝码，

允许其放在天平两端， 利用它们可以称出

1

----

()

1

1

2

3

1

3

3

3312

n n

n +--=+++++ 之间任何整数克重物体的重量.

例如，当2n =时，我们有3个砝码：1克，3克和2

3克，即1克，

3

克和9克. 利用它们，我们可称出1克——

21

3

1

2

+-克(即13克)之

间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克, 2克, 3克, …,

13

克的重量. 这由下表可以明白.

以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁

性使然. 下面的所谓“省刻度尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：

一根6cm 长的尺子，只须刻上两个刻度(在1cm 和4cm 处)，就可量出1cm ——6cm 之间任何整数厘米长的物体长，即可量出1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm 和6cm 的长度(下简称“完全度量”).

若用a b →表示从a 量到b 的话，那么具体度量如下：

1

(01→)，2(46→)，3(14→)，4(04→)，5(16→)，6(06→).

一根13cm 的尺子，只须在1cm ，4cm ，5cm 和11cm 四处刻上刻度，便可完成1——13cm 的完全度量. 具体度量如下：

1

(01→), 2(1113→), 3(14→), 4(04→), 5(05→), 6(511→), 7

(411→), 8(513→), 9(413→), 10(111→), 11(011→), 12(113→), 13

(013→).