线性代数教案

线性代数》

授课教案

刘思圆

第一章行列式

本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问

题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则) ．

本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．

计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．

行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则) ．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．

本章的重点：行列式性质；行列式的计算

本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组

(1)

用加减消元法容易求出未知量x1，x2 的值，当a11a22 –a12a21≠0 时，有

(2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2) 这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的

对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

如果记

则当D≠0时，方程组(1) 的解(2) 可以表示成

(3)

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1 的分子是把系数行列式中的第1列换成(1) 的常数项得到的，而x2 的分子则是把系数行列式的第2 列换成常数项而得到的．

例1 用二阶行列式解线性方程组

解：这时

因此，方程组的解是

对于三元一次线性方程组

(4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号

(5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．

例2

当D≠0时，(4) 的解可简单地表示成

(6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似．

例3 解线性方程组

解：

所以，

例4 已知

，问a，b应满足什么条件？（其中a，b均为实数）．

解：

，若要a2+b2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a=0 且b=0 时给定行列式等于零．

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．

思考题：

当a、b 为何值时，行列式

§1.2 排列

在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．

定义1由数码1，2，⋯，n组成一个有序数组称为一个n 级排列．

例如，1234是一个4 级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级

排列．由数码1，2，3 组成的所有3 级排列为：123，132，213，231，312，321 共有3!=6 个．

数字由小到大的n 级排列1234⋯n 称为自然序排列．

定义2 在一个n 级排列i1i2 ⋯in 中，如果有较大的数it 排在较小的数is 的前面

(is

例如，在4 级排列3412 中，31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412 的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7．

容易看出，自然序排列的逆序数为0．

定义3 如果排列i1i2 ⋯in 的逆序数N(i1i2 ⋯in ) 是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．

例如，排列3412 是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123⋯n是偶排列．

定义4 在一个n 级排列i1 ⋯is ⋯it ⋯in 中，如果其中某两个数is 与it 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i1 ⋯it ⋯is ⋯in ，这样的变换称为一个对换，记作(is ，it) ．

如在排列3412中，将4与2 对换，得到新的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．

一般地，有以下定理：

定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．

证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：

a1a2⋯al i j b1b2 ⋯bmc1c2⋯cn

将相邻两个数i 与j 作一次对换，则排列变为

a1a2⋯al j i b1 b2 ⋯bmc1c2⋯cn

显然对数a1，a2，⋯al ，b1，b2，⋯，bm和c1c2⋯cn 来说，并不改变它们的逆序数．但当ij 时，经过i 与j 的对换后，排列的逆序数减少1 个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．

再讨论一般情况，设排列为

a1a2⋯al i b1b2 ⋯bmjc1c2⋯cn

将i 与j 作一次对换，则排列变为

a1a2⋯al j b1b2 ⋯bmi c1 c2 ⋯cn

这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i 与b1 对换，再与b2 对换，⋯，最后与bm的对换，即i 与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2⋯alb1b2⋯bmi j c1 ⋯cn

然后将数j 与它前面的数i ，bm⋯，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i 与j（中间有m个数），相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i ，j 经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．