金属塑性成型原理第一篇塑性变形力学基础

3 I1 2 I2 I3 0
－－求主应力的特征方程
（1.10）
I1、I2、I3称作应力
应力张量三个不变量：
张量的第一、二、三 不变量。
I1 x y z
I2

(
x
y

y
z

z
x)

2 xy

2 yz

2 zx
器 I3

x
y z
ijlil j ijli

n
S
2 n

2 n
截面应力分解
3
塑性成形时，变形体一般是多向受力，
显然不能只用一点某一切面上的应力来
求得该点其他方向切面的应力，也就是
说，仅仅用某一方向切面上的应力还不 能足以全面地表示出一点的受力状况。
一般情况下变形体外力一定→内力一定
器
辑 →变形体内任一点的应力状态就一定
辑 导和理解！！
PDF编 捷
迅


8
S2

S
2 x

S
2 y

S
2 z
ABC Sx OBC x OCA yx OAB zx
Sx xl yxm zxn
sy xyl ym zyn sz xzl zym zn
13
主切应力、主切应力平面、最大主切应 力的讨论，请看书中P14~16页。
DF编辑器 §1.2.3 八面体应力与等效应力 P 八面体应力
在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成 等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面。八面
迅捷体表面上的应力为八面体应力。
14
§1.2.3 八面体应力与等效应力

8
辑器 或 e
1 [( 2
x

y
)2

(
y

z
)2

(
z
x )2

6(
2 xy

2 yz


2 zx
)]
F编 讨论 PD 1. 等效的实质？
是（弹性）应变能等效（相当于）。
捷2. 什么与什么等效？
迅
复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维） 等效。 3. 如何等效？
？
17
应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个 不变量，分别为 I1' I，2' I，3' 。
应力（全应力）S 是内力的集度
内力和应力均为矢量
应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197Kgf/mm2
1MPa=106N/m2
应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。
应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方 位的截面上的应力是不同的。
器
cos(n,x)=lx
器
n Sxl Sym Szn
辑
PDF编 n xl2 ym2 zn2 2(xylmyzmnzxnl)
迅捷
2 n

S2


2 n
9
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
§1.2.3 八面体应力与等效应力
式中，当i＝j时，（克氏符号）δij＝1；当i≠j时，δij＝0
DF编 即: x
P

.
xy y

xz yz


.x'
xy

' y

xz yz



m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.

' z

0 0 1
捷
' x
可以证明：只要已知受力物体上过某一点的一
组三个互相垂直坐标面上的六个应力分量或主
坐标面上的三个主应力，则与三个坐标轴任意
倾斜的平面上的应力都可求出。
如果变形体中一点的九个应力分量已知，便可
器 以求得过该点任意切面上的应力，这就表明该
点的应力状态完全被确定。下面我们一起来分 析任意切面上的应力的计算公式。请同学们推
捷 讨论塑性理论或塑性力学时，通常都进行了以下假设：
迅
变形体是连续的，内部不存在任何空隙，这样，应力、 应变、位移等物理量都是连续的，并可以用坐标的连 续函数来表示；
变形体是均质和各向同性的，这样，从变形体上切取
的任一微元体都能保持原变形体所具有的物理性能，
且不随坐标的改变而改变；
在变形的任意瞬间，力的作用是平衡
I1, I2
8
2 3
(I12 3I2)
15
等效应力
为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力σe （Effective stress ），也称相当应力或广义应力或应力 强度。
应变能相同的条件下
公式： e
1 2
[(1

2
)2

(
2


3)2

(
3
1)2
]

3 2
x
m,

' y
y
m

' z


z
m
迅 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力
张量相同；第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向
，且主应力相同。
值得一提的是，σmδij只影响体积变化，不影响形状
变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利
于材料塑性的发挥。例如：表面受均匀压力的气球会怎样
八面体应力
正应力
8

1 3
(1
2
3)

1 3
I1
剪应力
8

1 3
(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2
总应力
P8 82 82
器 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形 辑 有关。
捷PDF编 八面体应力的求解思路：
关键
迅
ij (i, j x, y, z) 1,2,3 8,8
lz
该面叫做主平面， 法线方向为主方向
( x
)lx
yxly
zxlz

0
xylx ( y )ly zylz 0
xzlx
yzly
( z
)lz

0

求解lx、ly、lz的非零解，必有系数行列式值为零，最终 可得 ：
10
tensor) ，后者称为应力偏张量(Deviatoric stress tensor)
。设σm为平均应力，则有
m

1 3
(
x

y
z)
按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有
ij ( ij mij ) mij
器
辑

' ij
mi
j
(i, j x, y, z)
（在不同的坐标系中数值不同）
DF编 §1.1.1 一点的应力状态及应力张量 P 一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面
上的应力的有无、大小、方向等情况。
捷 一点的应力状态的描述
数值表达：x=50MPa，xz=35MPa
迅 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）
张量表达： (i,j=x,y,z)
张量：指由一组坐标系变换到另 一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这 些分量的集合为张量。
x xy xz
ij


.
y
yz

. . z
4
应力分量图示
器
DF编辑 应力的分量表示及正负符号的规定 捷P ij xx、xy、xz、yx、 yy、yz、zx、zy、 zz
的，且体
积不变v0=vn；
f 0
一般情况下，忽略体积力的响；
本篇为研究塑性成形力学问题提供理论基础
1
第1章 应力分析与应变分析
§1.1 应力与点的应力状态
§1.2 点的应力状态分析
§1.3 应力张量的分解与几何表示
§1.4 应力平衡微分方程
§1.5 应变与位移关系方程
§1.6 §1.7
器 §1.8
§1.9
点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
DF编辑 §1.1 应力与点的应力状态 P §1.1.1 应力
外力(Load)与内力(Internal force)
捷外力P：指施加在变形体上的外部载荷。可以分成表面力
和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集
器
辑
DF编 §1.2.1 主应力及应力张量不变量 P主应力（Principal stress ）：指作用面上无切应力时 捷所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或
迅
主方向 （ σ=s ）请大家看书P14页的推导：
设主应力为σ，当为主方向时，有 S x
，代入整理，有：
lx，S y
ly，Sz
迅
应力莫尔圆** 二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析
6








D








(a)

D'

(b)
应力面与应力莫尔圆
辑器
DF编 （2）三向应力莫尔圆
捷P

迅






7

任意切面上的应力分析(重要)
任意切面上的应力——描述一点应力状态的充 分条件
等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。
4. 等效的意义？
屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
16
§1.3 应力张量的分解与几何表示
塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把
σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关的量和形状变 化有关的量。前者称为应力球张量(Spherical stress
迅 中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积
力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性
力等等。
内力Q：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界
作用和物体内维持自身完整性的力。
2
应力（Stress）：应力是单位面积上的内力 （见右图） 。其定义式为：Sn=dQ/dA
Q
lim Sn A0 A
cos(n,y)=ly
方向余弦
cos(n,z)=lz
DF编辑 应力可以进行分解Sn n 、n （n—法向） 某截面（外法线方向为n）上的应力：
P
捷Sn n n

n

x

y

z
迅 n x y z
或者

S
n n

迅
i——应力作用面的外法线方向 j——应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
5
一点应力状态表示方法：
x xy xz
在法线方向为x的面上所作用的应力
yx y yz
在法线方向为y的面上所作用的应力
DF编 主应力的求解 迅捷P 主应力的图示
12
主应力和应力不变量的应用
请大家看书P16~18页。
=
器
辑
DF编 §1.2.2 主切应力和最大剪切应力
主切应力(Principal shear stress)：极值切应力（不为零）
P 平面上作用的切应力。 捷 最大剪应力(Maximun shear stress)：
迅
主应力空间的｛110｝面族
通常规定： 1 2 3
则有最大剪应力：
max

1
3 2
或者： max max{12 , 23 , 31 }
其中：
12

± 1
2 2
, 23

± 2
3 2
, 31

± 3
1 2
且有： 12 23 31 0
2. 三个主平面是相互正交的；
3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根；
4. 应力特征方程的解是唯一的；
5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性;
6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度， 与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性变形有
器
辑 关。
7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。

2 xy yz zx
( x
2 yz

2
y zx


z
2 xy
)
PDF编辑 应力张量三个不变量：(主平面下) 迅捷第一不变量：I1＝ 1+ 2+3
第二不变量：I2＝－（ 1 2+ 2 3 + 3 1）
第三不变量：I3＝ 1 23
11
讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；
金属塑性成形原理
Principle of Plastic Deformation in Metal Processing
第一篇 塑性变形力学基础
三个基础：静力学基础（静力学平衡条件） 几何条件（应变分量与位移分量的关系）
器
本构关系或物理方程（应力与应变的关系 屈服准则
DF编辑 讨论塑性理论或塑性力学问题时的 P 几个假设
zx zy z
在法线方向为z的面上所作用的应力
应力作用线沿z轴方向
应力作用线沿y轴方向
应力作用线沿x轴方向
xy ＝yx xz ＝zx yz＝ zy
x xy xz
1 0 0
器
· y yz · · z
0 2 0 0 0 3
DF编辑 应力的坐标变换（例题讲解）* 捷P 实际应用：晶体取向、织构分析等