数学建模(6离散概率模型)
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模专题汇总-离散模型
离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
数学建模-概率模型
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
数学建模(6离散概率模型)
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
R2(t)
子系统2推进
可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
pptx13人的健康状况分为健康和疾病两种状态设对特定年龄段的人今年健康明年保持健康状态的概率为08而今年患病明年转为健康状态的概率为07健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计订保险金和理赔金的数额若某人投保时健康问10年后他仍处于健康状态的概率n1只取决于x
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
数学建模—概率模型 ppt课件
数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
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数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）
数学建模 离散模型图论选讲
v2 v5
v6 v1 v3
v2 v5 v6
v3
v1
v2
v4
v2
树与图的最小树
• 赋权图中求最小树的方法：破圈法和避圈法 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 v3 v1 v5 8 7 5 v2 4 3
8
v4 v3
5
1 v6 v5
26v14源自521v6 边数＝n-1=5
v2
3
v4
树与图的最小树
C
E
树与图的最小树
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如下 图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
树与图的最小树
• 例 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
• 图的模型应用
图的基本概念与模型
例 有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F 6个项目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛 项目。问6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员 都不连续地参加两项比赛。
甲 乙 丙 丁 戊 己
A √ √ √ √
B
C
√
√
D √ √
E
F
得到最小树： v1 4 2 v2 3 v4
v3 5
v5 1 v6 Min C(T)=15
树与图的最小树
•避圈法:
•去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边。 •加边的原则为：从最短边开始添加，加边的过程中不能形 成圈，直到点点连通(即:n-1条边)。 v3 v1 v5 8 7 5 v2 4 3 v4
数学建模简明教程课件：离散模型
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
数学建模离散型概率分布
贝努利试验，其中一等品的个数X ~ B(k, 4, 0.8) 因为 (n 1) p 50.8 4 为整数，所以 X 的最
可能值为4和3
X 的概率分布如下表所示。
X k 0
1
2
3
4
P(X k) 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
若事件 A 出现的次数 X ~ B(k, n, p), 那么其对立事件
A 出现的次数Y ~ B(k, n, q), 其中
q 1 p, k 0,1, , n, k k n,
因此
P( X k) P(Y n k), P(X k) P(Y n k)
P(k1 X k2 ) P(n k2 Y n k1)
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
泊松分布(稀有事件模型)
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
k e
P{X k}
,
k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ P().
P5 (3) C53 0.73 (1 0.7)3 0.3087
若 X 的分布律为：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布
记为 X ~ B(n , p) 其中 q ＝ 1 － p
两个基本性质
(1) P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 0
数学建模概率课件
1传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。
• 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
数学建模概率模型案例
则传送系统效率为：d=s/n=mp/n
=
m[1(1 1)n]
n
m
mn Dm [1(1nn(n1)) ]1n1
n m 2m 2
2m
D87 .5% 当n＝10,m=40
报童的诀窍
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上 将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b， 零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m，m有可能超出 n
当有 k个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
m k n
s n g r (m k n )b , m k n
E ( X )x ip i ( i 1 ,2 , ,n )
连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) 则随机变量 X 的数学期望值为
E(X) xf(x)dx
期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
传送系统的效率
在机械化生产车间里，你可以看到这样的 情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的 生产同一种产品，工作台上方一条传送带 在运转，带上若干个钩子，工人们将产品 挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进 入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统 效率的指标，并建立模型描述此指标与工 人数量、钩子数量等参数的关系。
mnj1
minPj(m) Pk k0
mJ (a m ) x S r 0 .1 6 n p m 1 b g m k n 0 1 P km n k 1
数学建模教学大纲
课程名称：数学建模课程编号：授课教师：任煜东职称：讲师授课对象：全校二、三年级在校大学生授课时数：32学时授课方式：多媒体授课，上机实验（开放实验）先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计一、课程的教学目的与要求《数学建模》课程是面向全校非数学类专业开设的数学素质、建模技能和数学实验、数学软件应用及计算机编程等高度融合的一门通选课程。
通过本课程的学习，使学生了解完整的建模过程，了解应用问题的各部分是怎样结合在一起的。
掌握各种常见的数学建模问题、解决问题的数学方法或途径、建立数学模型的过程、可用于模型求解的数学理论、算法、数学软件及计算机编程等。
同时，为了配合课程的学习，做到即时学习，同步实践，一般每周向所有参加课程学习的学生设2个学时的开放实验时间，以便熟练使用各类数学软件，结合数学软件及计算机编程，通过实验来观察、理解数学和实现各类数学模型的求解，从而为提高学生对实际科学、管理、工程等实际问题的建模能力和计算机综合实验技能。
二、基本学时内容和课时分配第一章对变化进行建模2~4学时1 用差分方程对变化进行建模2 用差分方程近似描述变化3 动力系统的解法4 差分方程组5 matlab入门第二章建模过程、比例性和几何相似性2~4学时1 数学模型2 利用比例性建模3 利用几何相似性建模4 体重和身高、力量和灵活性5 matlab画图第三章模型拟合2~4学时1 用图形为数据拟合模型2 模型拟合的解析方法3 应用最小二乘准则4 如何选择一个好模型5 matlab拟合第四章实验建模2~4学时1 chesapeake海湾的收成和其他单项模型2 高阶多项式模型3 光滑化：低阶多项式模型4 三阶样条模型5 matlab差值第五章模拟方法建模2~4学时1 确定行为的模拟：曲线下的面积2 随机数的生成3 随机行为的模拟4 存储模型：汽油与消费需求5 排队模型6 matlab实现模拟第六章离散概率模型2~4学时1 离散系统的概率模型2 部件和系统可靠性建模3 线性回归4 matlab多元回归第七章离散模型优化2~4学时1 优化建模概述2 线性规划一：几何解法3 线性规划二：代数解法4 线性规划三：单纯型法5 线性规划四：敏感性分析6 数值搜索解法7 lingo软件介绍第八章图论建模2~4学时1 图的描述2 图模型3 利用图模型解问题4 与数学规划的联系第九章量纲分析和相似性2~4学时1 表示为乘积形式的量纲2 量纲分析的步骤3 解释量纲分析的几个例子4 相似性第十章函数图表构成模型2~4学时1 军备竞赛2 对分阶段军备竞赛建立模型3 税收对能源危机的影响第十一章用微分方程建模2~4学时1 人口增长2 对药剂量开处方3 再论刹车距离4 对自治微分方程的图形解5 数值近似方法6 分离变量法7 线性方程第十二章用微分方程组建模2~4学时1 一阶自治微分方程组的图形解2 竞争捕猎模型3 捕食者——食饵模型4 两个军事方面的例子5 微分方程组的欧拉方法第十三章连续模型优化2~4学时1 库存问题：送货费用和储存费用最小化2 制造问题：竞争性产品生产中的利润最大化3 约束连续优化4 可再生资源的管理：渔业三、基本要求第一章对变化进行建模1 掌握用简单的有限差分方程对变化进行建模的而思想2 了解简单差分方程（组）的解法及差分方程解的长期趋势3 掌握matlab的基本应用第二章建模过程、比例性和几何相似性1 了解各种不同性质的数学模型2 理解、掌握数学建模的基本过程3 了解比例性和几何相似性概念，并应用比例性和几何相似性建模4 学会用matlab做二维和三维图形第三章模型拟合1 了解曲线拟合的三个准则，了解不同准则之间的联系2 应用最小二乘准则拟合模型，会把切比雪夫准则转化成规划问题5 会用matlab做最小二乘拟合第四章实验建模1 会用幂次阶梯表建立简单的单项模型2 了解高阶多项式的优缺点，了解拉格朗日多项式3 会用matlab做低阶多项式拟合和三阶样条插值第五章模拟方法建模1 了解蒙特卡洛方法，了解随机数的生成方法2 学会用模拟方法建模3 matlab实现模拟第六章离散概率模型1 学会用马尔科夫过程建立简单随机模型2 了解线性回归，学会建立线性回归模型3会用matlab做多元线性回归第七章离散模型优化1 了解优化模型2 建立简单的规划模型，了解规划模型的解法，理解敏感性分析3 了解简单的数值搜索解法4 lingo软件求解规划问题和用matlab解决简单的数值搜索解法第八章图论建模1 了解图的概念2学会利用图论建立模型和解决问题3 了解图论与数学规划之间联系第九章量纲分析和相似性了解量纲分析的概念和步骤第十章函数图表构成模型学会建立、分析图表模型第十一章用微分方程建模了解通过微元法建立常微分方程的基本方法和建模过程，掌握常微分方程（组）的数值求解方法，及Matlab求解方法。
数学建模专题汇总离散模型
数学建模专题汇总离散模型精⼼整理离散模型§1离散回归模型⼀、离散变量如果我们⽤0，1，2，3，4，…说明企业每年的专利申请数，申请数是⼀个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以⽤来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表⽰状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，,虚拟因l 的因变量i y YES 则(/)1(1/)0(0/)i i i i i i E y p y p y =?=+?=x x x ＝(1/)i i p y x =。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归⽅程是条件期望建⽴的，这使我们想象可以构造线性概率模型描述两个响应⽔平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不⼀定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
如果通过回归模型式得到的因变量拟合值完全偏离0或l 两个数值，则描述两项选择的回归模型的实际⽤途就受到很⼤的限制。
为避免出现回归模型的因变量预测值偏离0或1的情形，需要限制因变量的取值范围并对回归模型式进⾏必要的修正。
由于要对其进⾏修正，那么其模型就会改变，模型改变会导致似然函数改变，这就是我们下⾯要讨论的。
现在我们讨论的模型与判别分析的⽬的是⼀样的，但有区别。
§2⼆元离散选择模型⼀、效⽤函数为了使得⼆元选择问题的有进⼀步研究可能，⾸先建⽴⼀个效⽤函数。
在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策⽤数字1表⽰，⽽将家庭不购买住房的决策⽤数字0表⽰。
⽤1i U 表⽰第i 个⼈选择买房的效⽤，0i U 表⽰第i 个⼈选择不买房的效⽤。
其效⽤均为随机变量，于是有10i i U U 将故p 型。
数形式。
采⽤累积标准正态概率分布函数的模型称作Probit 模型，或概率单位模型，⽤正态分布的累积概率作为Probit 模型的预测概率。
另外logistic 函数也能满⾜这样的要求，采⽤logistic 函数的模型称作logit 模型，或对数单位模型。
数学建模概率模型
1
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5
• 练习题：一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街 叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。
如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1 万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使 国家的收益最大。
7
解 若以y为组织某年出口的此种商品量 （显然可以只考虑 2000 y 4000的情况），则收益（单位万元）为源自H3y3
y
因为 的概率密度为
y y
f
x
1 2000
0
x 2000,4000 x 2000,4000
如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但 这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的
报纸数 是随机x 变量，概率分布表 x
售出报纸数x（百
份）
概率 p(x)
0 x1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1
• 问：报童每天订购多少份报纸最佳？
6
例4.10 假定在国际市场上每年对我国某种 出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）， 它服从〔2 000，4 000〕的均匀分布。设售出 这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假
8
于是收益的期望值为
E H x f x dx 1 4000 H x dx
2000 2000
1 y 4x y dx 1 4000 3ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
数学建模分类方法大全
汽车租赁模型要结合蒙特卡罗算法176投票趋势模型177马尔可夫链Markov 决策离散概率模型串联和并联系统模型178无约束类生产计划模型192取整数类载货模型194动态规划类197多目标规划类投资问题有时须对目标进行取舍。
可采取加权系统层次分析196冲突目标Minmax 与maxmin机会约束约束满足概率性>P 矛盾约束约束相互矛盾单纯形法木匠生产模型注意步骤性。
215组合模型参数模型动态规划决策法背包问题排序问题多步骤形的规划线性规划模型数值搜索法工业流程优化黄金分割搜索法还有二分搜索法233最大树最大流最短路关键路线法网络计划布点问题中心问题重心问题运输问题网络流分配问题匈牙利方法最大匹配最优匹配旅行推销问题中国邮递员问题分式规划目标是分式凸规划非线性规划几何规划2人0种对策鞍点对策混合对策对策合作单摆模型通过实验选择最终模型253爆炸模型函数随爆炸威力上升改变258烤火鸡模型262量纲分析模型阻力模型使用相似性、比例性。
注意它额外定义的物理量。
268军备竞赛模型民防、移动发射台、多弹头271税收-能源危机模型参考经济学书籍！288图标模型税收归宿模型税收-汽油短缺模型马尔萨斯人口模型无限增长299人口模型有限增长模型可推广到其它生物的增长301用药模型储蓄模型关注Euler 法的使用（该法并不精确）326竞争捕猎模型363页：相应的Euler 法使用生物关系模型捕食者-食饵模型Scheafer 微分方程模型Lanchester 战斗模型350SIR 模型军备竞赛的经济模型355微分方程模型混沌与分形模型连续Steiner 树模型名称所在目录1，国有企业业绩分化的数学模型2，打假问题的机理数学分析3，足球比赛排名问题4，大象群落的稳定性分析5，火车便餐最有价格方案6，影院最优设计方案7，国有企业业绩分化的数学模型8，打假问题的机理数学分析9，足球比赛排名问题10，大象群落的稳定性分析11，火车便餐最有价格方案12，施肥效果分析13，迷宫问题14，锁具装箱问题15，密码问题16，席位分配模型初等模型17，双重玻璃窗功效模型18，储存模型优化模型19，森林救火模型20，消费者均衡模型21，加工奶制品模型数学规划模型22，自来水输送模型23，混合泳接力模型24，投入产出模型25，三级火箭模型26，糖尿病模型27，传染病模型28，生物种群模型29，人口模型30，分子模型31，扫雪模型32，商人过河问题。
数学建模案例分析
4 n 数值方法可得 f ( x ) 的最小值点 x 16.92 。由此可得 C 6 5(0.997) n 的最小值点为 17， C 的最小值为 1.48(分／二极管)。
*
5、结果分析
对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一(1.5分/二极管)。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n=10和n=35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。
x p
i i
i
。这一组概率值{ p i }表明了随机变量 X 的分布。
•对于我们的问题，任何的n>1，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有 的二极管都是好的，则 C＝4+n 否则 C＝(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每一个二极管。用 p表示所有的二极管都是 正品的概率，剩下的可能性(有一个或更多的次品二极管 )一定有概 率1-p。则C的平均或期望值是
3、建模
考虑随机一个变量X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值
X {x1 , x2 ,}
同时假设 X xi 的概率是 p i ,我们记为 P{X= x i }＝p i ，显然这时有∑p i ＝1。因为 X 以 概率 p i 取数值 x i ，所以 X 的平均或期望值一定是所有可能的 x i 的加权平均，权值就是相应 的概率值 pi ．可以写为 E ( X )
数学建模概率模型
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N(0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。
3
(1)由全概率公式: p(A) P(Bi)P(A｜ Bi) i1
=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.01 (2)由贝叶斯公式: 25P (B 1|A )P (A P B (1A )P )(B 1)0.0 0.0 20 1 .12 50 5 .24
提高效率 的途径：
• 增加m
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模简明教程课件：概率模型
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
离散数学离散概率演示文稿
n
设样本空间 , 如果事件B1,B2,…,Bn两两互不相容且 Bi
第十二页，共18页。
条件概率与乘法公式
定义12.2 设A, B是两个随机事件且P(A)>0, 称 P(B|A)= P(AB)/P(A)
为在事件A发生的条件下事件B的条件概率.
4º乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A), 其中P(A)>0. 更一般地, 设P(A1A2…An1)>0, n≥2, 则
= ,则称B1,B2,…,Bn是样本空间 的一个划分.
i 1
定理12.1(全概率公式) 设B1,B2,…,Bn是样本空间的一个
划分且P(Bi)>0, i=1,2,…,n, A是任一随机事件, 则 n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
证
n
A A
Bi
n
AiB1且i (ABi)(ABj)= (i≠j), 故
事件A发生当且仅当随机试验的结果A
第四页，共18页。
随机事件的概率
基本事件:只含一个样本点的事件
必然事件:必然发生的事件, 即本身
不可能事件:不可能发生的事件, 即空集
定义12.1 设 是离散样本空间, 实函数p: →R满足条件: (1) , 0≤p()≤1,
(2) p() 1, Ω
称p是 上的概率, p()是样本点 的概率.
第十八页，共18页。
(1) 求 P(A) (2) 求 P(B) (3) 求 P(B|A) a. 放回抽样. P(A)=P(B)=P(B|A)=6/10. b. 不放回抽样. P(A)=6/10, P(B|A)=5/9,
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数学建模(6离散概率模型).pptx(2/3)
例3 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
散点图
总平方和：
回归平方和：
散点图
残差平方和：
最小二乘法
a=0.7194 ,b=-16.0730
可信程度? 进行检验
F=180.9531, p=0.0000
r2=0.9282
案例的MATLAB求解代码：
应用matlab工具箱中解决回归问题：
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
p(1)=1; q(1)=0; for n=1:15 p(n+1)=0.6*p(n)+0.3*q(n); q(n+1)=0.4*p(n)+0.7*q(n); end format short g p, q n=1:16; plot(n,p,'c-') hold on plot(n,q,'m--') legend('奥兰多-','坦帕--') xlabel('x') ylabel('y')
宇宙火箭通讯系统（并联运行）
两个独立部件的可靠性分别是R1(t)=0.95,R2(t)=0.96, 则系统可靠性是： Rs(t)= R1(t)+R2(t)-R1(t)*R2(t)=0.998 或 Rs(t)=1-0.05*0.04=0.998(多个部件并联用此方法最佳) 注意：整个并联系统的可靠性大于任何单个部件的可靠性，其中任何一个
汽车出租例题的迭代解
5.模型解释
如果最初两个分店总共有n辆车，那么14个时段后大约57%的车将在坦帕， 43%的车将在奥兰多，于是，若开始每个城市有100辆车，则稳定状态下114 辆车将在坦帕，86辆车将在奥兰多（只需要大约5天就可达到这种状态）。
数学建模(6离散概率模型).pptx(1/3)
例2 健康与疾病
;
0 05
3、残差分析： 画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）
从残差图可以看出，除第 残差图应该有什么特点？ 二个数据外，其余数据的残差 离零点均较近，且残差的置信 区间均包含零点，这说明回归 模型 y=-16.073+0.7194x能较好 的符合原始数据，而第二个数 据可视为异常点.
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
串联系统是所有部件全都可使用时才运转正常的系统。
R1(t)=0.9 R2(t)=0.95 R3(t)=0.96
串联系统
并联系统是只要有一个部件可使用就运转正常的系统。
R1(t)=0.95 MW（微波） 无线电发送 R2(t)=0.96 FM（调频） 无线电发送
并联系统
宇宙火箭推进系统（有3节串联助推火箭）
3个部件的可靠性分别是R1(t)=0.90,R2(t)=0.95,R3(t)=0.96, 则系统可靠性是它们的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)*R3(t)=0.8208 注意：整个串联系统的可靠性小于任何单个部件的可靠性，因为每个部件的 可靠性小于1。各单元之间的失效时间随机变量互为独立时，如果有某一单元 发生故障，则引起系统失效的系统。
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
单元都能单独支撑整个系统的运行。
串并联组合系统
RMW(t) R1(t) RFM(t)
子系统1通讯
§6-3 线性回归
R3(t) 由一个或一组非随机变量来估计或预测另一 个随机变量时建立的线性模型所做的统计分析， 称为线性回归分析。 回归分析需解决三个问题： 1、确定参数， 2、显著性检验， 3、预测和控制。
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态转移具 有无后效性
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
§6-2 部件和系统可靠性建模
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2…
n
0 1 0 0 1
1 0.8 0.2 0.7 0.3
2 0.78 0.22 0.77 0.33
6 离散概率模型
§6-1 离散系统的概率模型 §6-2 部件和系统可靠性建模 主讲人：何旭彪 §6-3 线性回归
1
2
§6-1 离散系统的概率模型
我们学会利用比例和确定比例系数的方法建立模型， 如果比例系数是随机的，怎么办？ 马尔可夫链：是在任何给定时刻具有同样多个状态或结果的一 个过程。马氏链模型描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型。
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
1.识别问题
下一状态
2.模型假设
假设最初全部汽车都在奥兰多。
奥兰多
当前状态
坦帕 0.4 0.7
3.模型建立
定义如下变量： pn=第n时段末在奥兰多可供出租的汽车的百分比 qn=第n时段末在坦帕可供出租的汽车的百分比 构造概率模型：
0.7
人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 回归系数
回归系数的区间估计 残差 显著性水平 （缺省时为 ） 置信区间
用于检验回归模型的统计量， 有三个数值：相关系数r2、 F值、与F对应的概率p
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; X=[ones(16,1)x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]; [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b, bint,stats
预测与控制
应用回归方程，给出 x0，可算出 但与实测值y0 有偏差。 刻画了误差引起的总的变动情况 残差平方和：S如何研究偏差？ 残=
令
称为剩余标准差 为什么是 n-2而不是n？
统计量：
对于给定的置信水平α，y0取值在
当n比较大时，y0 取值在 在 的概率为 68%，在 的概率为 99%。 想一想，为什么？
R2(t)
子系统2推进
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
1-p q
马氏链 (Markov Chain) 的概念：
•一个事件有许多结果，系统在每个时期所处的 状态是随机的； •从一时期到下时期的状态按一定概率转移；
p
状态1
1-q
状态2
•下时期状态只取决于本时期状态和转移概率， 即已知现在，将来与过去无关（无后效性）。
马氏链 (Markov Chain)是时间、状态均为离散的随机转移过程，
3 0.778 0.222
…
设投保 时健康 设投保 时疾病
∞
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
… 7/9 … 2/9 7/9 2/9
0.777 … 0.333 …
一个部件或系统的可靠性是在指定的时间内没有失 效的概率。 记f(t)为一个零件、部件或系统在时间t内的失效率， 即f(t)是一个概率分布，设F(t)是相应于f(t)的累积 分布函数，定义一个零件、部件或系统的可靠性为 R(t)=1-F(t)这样，在任何时间t的可靠性等于1减去 时间t的累积失效率。 系统是由若干部件（子系统、元器件）相互有机地 组合起来，可以完成某种工作任务的具有一定输入、 输出特性的整体。