线性代数：习题二

习题二

8．证明：因为A 是对称阵，所以T A A =，从而

()()()T T T T T T T T B AB AB B B A B B AB ===

即也是对称阵．

9．证明：因为A 、B 都是对称阵，所以T A A =，T B B =． 必要性（由AB 是对称阵证明AB BA =）

因为AB 是对称阵，所以()T

T

T

AB AB B A BA ===． 充分性（由AB BA =证明AB 是对称阵）

因为()T

T

T

AB BA B A AB ===，所以AB 是对称阵． 12．解：

(2) 记111213325A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则det()30A =≠，1

*117211121||3751A A A --⎛⎫

⎪==- ⎪ ⎪

-⎝⎭，于是11

23117225112110375103x x A b x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

14．解：

1*1*111313111

(2)555||2(2)(2)1622||

A A A A A A A A A A -------=

-=-=-=-=-=-

16．解：因为2

AB E A B +=+，所以2

()()()A E B A E A E A E -=-=-+．

又因为001010100A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，det()10A E -=-≠，1

()A E --存在，于是

201030102B A E ⎛⎫ ⎪

=+= ⎪ ⎪⎝⎭

17．解：因为*28A BA BA E =-，所以*

28BA A BA E -=，即*

(2)8E A BA E -=．

又(1,2,1)A diag =-，A 可逆，于是在上式等号两端右乘1A -，可得*1

(2)8E A B A --=． 进一步，在等号两端左乘A ，可得*

(2)8A AA B E -=．

已知*

||2AA A E E ==-，那么2()8A E B E +=成立，即()4A E B E +=． 又因为(2,1,2)A E diag +=-，1

1

1()

,1,2

2A E diag -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以

14()(2,4,2)B A E diag -=+=-．

22．证明：因为2

2A A E O --=，所以

(1) ()2A A E E -=，于是()()20A A E A A E E -=-=≠，从而0A ≠，即A 可逆，且1

1

()2

A

A E -=-． (2) 2

2A E A +=，于是2

2

20A E A A +==≠，从而2A E +可逆，且

1211222211

(2)()()()(2)

44

11

[(2)(3)](3)44

A E A A A E A A E A A E E A E A ---+===-=-+=--+-=-

23．证明：因为A 可逆，所以0A ≠．又*

AA A E =，故*0A ≠，即*

A 也可逆，且

*11

()A A A

-=

又11*1

1()A A A

E E A ---==

，故1*1()A A A

-=． 综上所述，有*1

1*1

()()A A A A

--==

．

24．证明：

(1) 当0A =时，*

AA A E O ==．下面用反证法证明*0A =．

设*0A ≠，则*

A 可逆，于是A O =，从而*

A O =，*0A =，矛盾，假设不成立，命题

得证．故当0A =时，*0A =．

注意：证明过程中不能出现1A -，因为当0A =时，A 不可逆． (2) 当0A =时，1

*

0n A A

-==．

当0A ≠时，*AA A E =，*

n

A A A =，1

*

n A A -=．

26．解：1

2340043

0000200022A O A O A ⎛⎫

⎪

-⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

⎪⎝⎭

是一个分块对角矩阵，那么 12||||||(25)4100A A A =⋅=-⨯=-

8816||||10A A ==

22

21

1

21222223

250

000500002000

22A O A O A O A O

A O A O

A ⎛⎫

⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎪ ⎪⎝⎭ 42

2

4

44

2

211122442226

46250

0050000625000

500001600020

0641600

22A O A O A O A A A O

A O

A O

A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=====

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 27．解：

(1) 错误解法：根据1

*

1||

A

A A -=

，所以 1

*

11

1

1O A O A O A O

B O A B O B O B O AB A

O B O

----⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

正确解法：求1

O A B O -⎛⎫ ⎪⎝⎭就是求n s +阶方阵X ，使得n s O A X E B O +⎛⎫

= ⎪⎝⎭

．

根据O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭的分块情况，对X 作相应的分块，设11122122X X X X

X ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，那么 11

1211

1221

2221

22n

n s s E O X X AX AX O A E O

E X X BX BX B O +⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭