常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点

考试纲要

常微分方程的基本概念

变量可分离的微分方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程

线性微分方程解的性质及解的结构定理

二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程

微分方程的简单应用

差分与差分方程的概念

差分方程的通解与特解

一阶常系数线性差分方程

考试要求

1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法

3、会解二阶常系数齐次线性微分方程

4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程

5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念

6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法

7、会用微分方程求解简单的经济应用问题

重要知识点

1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同

2、变量可分离微分方程解法

g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C

3、齐次微分方程解法

dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u

dx x x (u) u x x

附：可化为齐次的方程

c C| 0,可化为齐次微分方程

a b

. . a1 bi

dy ax by c

dx ax by c c或c o

a b

a b

x X h

0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k

设印b,dy ax by c ,令ax

a b dx (ax by) c

则可化为史的变量可分离微分方程

dx

by v,

0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。 若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。 对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解

y t*与对应齐次方程通解之和。即:

†

t

y t y

t

C a

。

上表特解中m是待定系数的次多项式，代是两个待定系数。

【注】或2时，M cos t Nsin t可归结为前两种情况来设定特解形式。