第6节无穷小量的比较
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第6讲无穷小与无穷大
( 无穷大的倒数为无穷小, x 0 )
1 (2) lim . x 0 x
( 无穷小的倒数为无穷大, x 0 )
定理
在某一极限过程中
若 f ( x) 是一个无穷大,
1 则 为无穷小 . f ( x)
若 f ( x) 是一个无穷小且 f ( x) 0,
1 则 为无穷大 . f ( x)
证
设 , 为 x x0 时的两个无穷小量 , 则 0 , 1 0 , 当 0 | x x0 | 1 时, | | , 2 2 0 , 当 0 | x x0 | 2 时, | | , 2 取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
例9
有界函数与无穷大的乘积
是否一定为无穷大？ 不一定再是无穷大！ 不着急, 看个例题:
1 当 x (不妨设 | x | 1) 时, | g ( x) | 2 1, x
f1 ( x) x ( x ) , f 2 ( x) x3 ( x ) ,
而 1 1 f1 ( x) g ( x) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x) g ( x) x 2 x ( x ) . x
证
设 lim f ( x) a , a 0 ; ( x) 0 ( x x0 ) .
x x0
|a| 取 , 则 0 0, 当 0 | x x0 | 0 时, 有 2 |a| | f ( x) a | , 2 |a| 1 2 故 | a | | f ( x) | x U( x0 , 0 ) , 2 f ( x) | a | 1 即 x x0 时, 有界 . f ( x) ( x) 有界函数与无穷小之积！ 故 lim 0. x x0 f ( x)
无穷小量与无穷大量 阶的比较
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 恒有 f ( x ) > , ε 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
x → x0
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则： 此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 可推广到任意有限个具有极限的函数 ④ (2)有两个重要的推论 有两个重要的推论
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
第六节 无穷小的比较
1 x sin x Cx x 不存在 = C , lim 2 = ∞，lim 例如, 不存在. 例如 lim x →0 x x →0 x x →0 x
另外, 且不恒等于1), 另外 对幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 且不恒等于 由
f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) ,
及指数函数与对数函数的连续性, 及指数函数与对数函数的连续性 有
lim f ( x )
x →a
g( x )
=e
x →a
lim g ( x ) ln f ( x )
为未定式的极限, 如果 lim g ( x ) ln f ( x ) 为未定式的极限 即 g ( x ) ln f ( x ) x→a
0 型未定式, 也是未定式, 为 型未定式 则 lim f ( x ) g ( x ) 也是未定式 0 x →a
tan x − sin x 1 当 k − 1 = 2, 即 k = 3 时. lim = ≠0 k x →0 2 x
∴ tan x − sin x为 x 的 3 阶无穷小 .
x 时 常用等价无穷小: 常用等价无穷小 当 →0
arcsin x ~ x , tan x ~ x 1 2 arctan x ~ x , 1 − cos x ~ x , ln(1 + x ) ~ x , 2 x a − 1 ~ x ln a , (1 + x )α − 1 ~ αx , α > 0
2
作业
习题1.6 (67页 习题1.6 (67页)
1 3 4 1；3；4 偶数；5 (3)；6 5 (3) 6 7 奇数；10 (1)
sin x ~ x ,
另外, 且不恒等于1), 另外 对幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 且不恒等于 由
f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) ,
及指数函数与对数函数的连续性, 及指数函数与对数函数的连续性 有
lim f ( x )
x →a
g( x )
=e
x →a
lim g ( x ) ln f ( x )
为未定式的极限, 如果 lim g ( x ) ln f ( x ) 为未定式的极限 即 g ( x ) ln f ( x ) x→a
0 型未定式, 也是未定式, 为 型未定式 则 lim f ( x ) g ( x ) 也是未定式 0 x →a
tan x − sin x 1 当 k − 1 = 2, 即 k = 3 时. lim = ≠0 k x →0 2 x
∴ tan x − sin x为 x 的 3 阶无穷小 .
x 时 常用等价无穷小: 常用等价无穷小 当 →0
arcsin x ~ x , tan x ~ x 1 2 arctan x ~ x , 1 − cos x ~ x , ln(1 + x ) ~ x , 2 x a − 1 ~ x ln a , (1 + x )α − 1 ~ αx , α > 0
2
作业
习题1.6 (67页 习题1.6 (67页)
1 3 4 1；3；4 偶数；5 (3)；6 5 (3) 6 7 奇数；10 (1)
sin x ~ x ,
两个重要极限无穷小比较
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程 谈无穷小量,如sinx是x0时的无穷小量, 但 lim sin x 1.因此，它不是 x 时的无穷小 . 2 x
2
39
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量 .
x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
( k为常数 )
3. lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) lim f ( x ) 4. lim g ( x ) lim g ( x ) ( lim g ( x ) 0 )
5. lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n
( 即 k = 2 的情形)
29
对于 ( 1 )型 极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy a
x y
a
kx
y k
(ii)
a a
x
xk k
a xk a k
1 化为 lim 1 e型极限 x x
x
30
例12
x 1 求 lim x x 1
y g ( x)
O
x0
x0 x0
x
8
例1
2 求 lim x . x 0 x
由取整函数的定义, 有 2 2 2 1 , x x x
解
故当 x 0 时, 当 x 0 时,
2 2 x x 2; x 2 2 x x 2, x
x
极限存在准则两个重要极限17无穷小的比较资料
e
(2) (1 )
(3)互倒
1
注意： lim1 x x e, x
lim
x0
1
1 x
x
e
练习 1
1. lim(1 tan x)5cot x ;
lim [1 ( x)]( x) e
x0
( x )0 1
解 lim(1 tan x)5cotx lim [(1 tan x)tan x ]5 e5
若
lim
k
C
0,则称 是关于 的k 阶无穷小;
若 lim
1,
则称是
的等价无穷小,记作 或
~ ~
定理2 设当x x0 时 , ( x) ~ ( x) , ( x) ~ ( x)
且 lim x x0
( (
x)存在(
x)
或)
tg2x ~ 2x.
sin x
x
lim lim
x x x x
Q x 时，sinx 是无穷小，而 x不是无穷. 小
正确的解法如下.
sin x lim
x x
lim sin( x) x x
1
例2
求 lim tan x0
x sin x3
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
上述两个准则称为夹逼准则.
注: 利用夹逼准则求极限关键是构造出数列
yn 和 zn 并且他们的极限是容易. 求出且相等。
lim
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
无穷小比较定理
无穷小比较定理
本节开始介绍无穷小的比较，主要包括无穷小比较的相关概念，例如
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的定义，以及关于等价无穷小的两
个重要定理，关于等价无穷小的总结以及利用等价无穷小替换求极限的方
法我们以后再介绍。
一、无穷小比较概念的引入。
二、关于无穷小比较的若干定义。
（高阶无穷小、低阶无穷小、同阶
无穷小、k阶无穷小和等价无穷小的定义非常重要，读者务必熟记。
）关于无穷小比较的若干定义
三、无穷小比较的若干例子及一些补充说明。
（注意与函数极限类似，在涉及无穷小比较的问题中也必须指明极限过程。
）
四、关于无穷小比较的各概念之间的简单关系。
各概念之间的简单关系
五、等价无穷小的充要条件（关于o的运算性质以后会专门介绍）。
等价无穷小的充要条件
六、等价无穷小替换定理。
（在求极限中使用等价无穷小替换通常可
以大幅降低计算量，以后我们会总结常见的等价无穷小，并详细介绍利用
等价无穷小求极限的方法。
）
等价无穷小替换定理
七、关于无穷小比较的基础例题。
关于无穷小比较的基础例题。
无穷小量和无穷大量
课堂练习
n2 1 n2 1 3.求 lim n 1 n sin 2 n
3 4.求 lim ( x 1 x sin 2 ) x x
2
e tan x esin x 5.求 lim 3 x 0 8 x3 2
6.求 lim n ( a
2 n n
时的无穷小量 .
x x0
lim f ( x) A
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有 f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
定理4. 2 在自变量的同一变化过程中, (1) 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; (2) 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量;
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
当
但
所以
时,
不是无穷大 !
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小 :
～
～
～ ～ ～ ～
～
～
～
2. 等价无穷小替换定理
作业：p-69 习题1.4 1; 2; 3; 4 (1), (2) ,(3); B组-1
arcsin x ～ x
高等数学-无穷小量与无穷大量
8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量
1
.
例1 求
2
→0 + 1
解 当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1
→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时， 为无穷小；
= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时， 不是无穷小.
4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷
第6节无穷小的比较
§2.6 无穷的比较
1. 无穷小的比较 2. 常用的等价无穷小
11/4/2019 11:14 AM
第2章 极限与连续
1. 无穷小的比较 引例 x 0 时，x,2x, x2 都是无穷小量，
但它们趋于0的速度却不相同。 列表比较
x 1 0.5 0.1 0.01 0.001
0
2x 2 1 0.2 0.02 0.002
x sin x tan x arcsin x arctan x
x ex 1 ln(1 x) 1 x 1 x
1 cos x x sin x
1 x2 , n 1 x 1 1 x
2
n
1 x3 , a x 1 x lna (a 0,a 1) 6
11/4/2019 11:14 AM
11/4/2019 11:14 AM
第2章 极限与连续
5.当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是 （ B ）。（2007）
A 1e x
B ln(1 x )
C 1 x 1 D 1 cos x
解 1 e x (e x 1) ~ x
ln(1 x ) ~ x , 1 x 1 ~ 1 x
0
x2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001
0
从表中看出，x2 比 x 和 2x 趋于0的速 度都快得多。
11/4/2019 11:14 AM
第2章 极限与连续
趋于0的速度快慢是相对的，是需要相互 比较而言的，下面通过比较两个无穷小量趋于 0的速度，引入无穷小量阶的概念。
【定义2.7】设 , 是同一变化过程中的 两个无穷小量。
11/4/2019 11:14 AM
第2章 极限与连续
1. 无穷小的比较 2. 常用的等价无穷小
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第2章 极限与连续
1. 无穷小的比较 引例 x 0 时，x,2x, x2 都是无穷小量，
但它们趋于0的速度却不相同。 列表比较
x 1 0.5 0.1 0.01 0.001
0
2x 2 1 0.2 0.02 0.002
x sin x tan x arcsin x arctan x
x ex 1 ln(1 x) 1 x 1 x
1 cos x x sin x
1 x2 , n 1 x 1 1 x
2
n
1 x3 , a x 1 x lna (a 0,a 1) 6
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第2章 极限与连续
5.当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是 （ B ）。（2007）
A 1e x
B ln(1 x )
C 1 x 1 D 1 cos x
解 1 e x (e x 1) ~ x
ln(1 x ) ~ x , 1 x 1 ~ 1 x
0
x2 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001
0
从表中看出，x2 比 x 和 2x 趋于0的速 度都快得多。
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第2章 极限与连续
趋于0的速度快慢是相对的，是需要相互 比较而言的，下面通过比较两个无穷小量趋于 0的速度，引入无穷小量阶的概念。
【定义2.7】设 , 是同一变化过程中的 两个无穷小量。
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第2章 极限与连续
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
第二章第6节无穷小和无穷大
00:02
2.
f ( x) lim c0 x x0 g ( x )
则称 f ( x )与 g( x ) 是 x x0 时的同阶无穷小. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小;
f ( x) L, g( x )
3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足:
的无穷小量.
00:02
的等价无穷大量，记为 f ( x ) ~ g( x ) ,
x x0 .
下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,
直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.
定理
(1) 若 f 为 xx0 时的无穷小量, 且不等于零, 则
1 为 x x0 时的无穷大量 . f
1 ( 2) 若 g 为 x x0 时的无穷大量 , 则 g 为 x x0 时
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合． 也就是说，这里的 “=” 类似于 “” .
00:02
f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
2 1
yx
y sin x
3
2
1
0
1
2
3
1
2
00:02
4
tan x ~ x
y tan x
3 2
yx
1 1 0 1
1
2
3
00:02
4
1.5
y arcsin x
1
yx
0.5
1
0.5
2.
f ( x) lim c0 x x0 g ( x )
则称 f ( x )与 g( x ) 是 x x0 时的同阶无穷小. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小;
f ( x) L, g( x )
3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足:
的无穷小量.
00:02
的等价无穷大量，记为 f ( x ) ~ g( x ) ,
x x0 .
下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,
直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.
定理
(1) 若 f 为 xx0 时的无穷小量, 且不等于零, 则
1 为 x x0 时的无穷大量 . f
1 ( 2) 若 g 为 x x0 时的无穷大量 , 则 g 为 x x0 时
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合． 也就是说，这里的 “=” 类似于 “” .
00:02
f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
2 1
yx
y sin x
3
2
1
0
1
2
3
1
2
00:02
4
tan x ~ x
y tan x
3 2
yx
1 1 0 1
1
2
3
00:02
4
1.5
y arcsin x
1
yx
0.5
1
0.5
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
2-6无穷小的比较 无穷小的阶
cos(a 2
b)
,
x
1
1
cos(a 2
b) ,
x
1
四、1、 cos(a bx), x 1 ；
2、a 2k ( k 0, 1, ) ,b 0.
x0
x2
2
1
lim(cos x)ln(1x2 )
e . 1 2
x0
练习 求 lim ex ex ,( ,且不同时为零) x0 sinx sin x
解
原式
lim
x0
2
sin
ex 1
x
1 cos
ex
x
2
2
ex 1
1 ex
x0
x
三、 证明：若 , 是无穷小，则
~ 0( ).
x2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f (x) 的表达式 .
2、确定 a,b 的值,使得
lim f ( x) f (1)， lim f ( x) f (1) .
x f ( x) x
不存在且不为无穷大
故当 x 函数 f ( x)和g( x)不能
比较.
练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x ________; x0 sin 2 x
2、
arcsin xm
lim
x0
(sin x)n
_______;
3、 lim ln(1 2x) ________;
lim(
函数、极限与连续-无穷小量与无穷大量
第1章 函数、极限与连续第4讲无穷小量与无穷大量主讲教师 |引言早在古希腊时期，人类就已经对无穷小量有了一定的认识，阿基米德曾经利用无穷小量得到了许多重要的结论.下面我们来学习无穷小量与无穷大量的定义及性质，并将其应用于求极限.01 无穷小量本节内容02 无穷大量03 无穷小量阶的比较04 等价无穷小代换日常生活中清洗衣物时,清洗次数越多,衣物上残留的污渍就越少.当清洗次数无限增大时,衣物上的污渍趋于零.归纳：在某一个变化过程中,事物数量的变化趋势为“趋于零”。
引例“无穷小”具体来说：极限为零的量称为无穷小量。
Ὅ 定义1.15注注释（1）一个变量是否为无穷小量，除了与变量本身有关，还与自变量的变化趋势有关；（2）因为数列极限只有一种极限过程，所以可以直接说一个数列是无穷小量，不必指出极限过程；（3）无穷小量不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数值趋近于0的变量；（4）常数 0 可以看成任何一个极限过程中的无穷小量.Ὅ定理1.17证明（1）必要性（2）充分性对于自变量的同一变化过程中的无穷小量，有以下性质：性质1.1有限个无穷小量的代数和是无穷小量.性质1.2有限个无穷小量的乘积是无穷小量.性质1.3有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.推论常数与无穷小量的乘积是无穷小量．注（1）无穷多个无穷小量的和不一定是无穷小量；（2）无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量。
Ὅ例1求极限解01 无穷小量本节内容02 无穷大量03 无穷小量阶的比较04 等价无穷小代换Ὅ定义1.16注注释（1）无穷大量是变量，要区分无穷大量与很大的数；（2）无穷大量是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大量；（3）因为数列极限只有一种极限过程，所以可以直接说一个数列是无穷大量，不必指出极限过程；（4）无穷大量一定无界，但无界函数不一定是无穷大量；（无穷小量与无穷大量的关系）Ὅ 定理1.18相互转化！注Ὅ例2解求极限因此不能应用上的极限的运算法则。
无穷小的比较
1
1
x0 x
ax 1
lim
1
x0 x ln a
(5) lim 1 cos x 1
x0 1 x2 2
x 0时sin x ~ x x 0时arcsinx ~ x
x 0时 ln(1 x) ~ x
x 0时ex 1 ~ x
x 0时ax 1 ~ x ln a x 0时1 cos x ~ 1 x2
4、利用等价无穷小计算下列极限:
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换
例5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
A(A
0)
f(x)与g(x)为同阶无穷小.
1 称f(x)与g(x)等价无穷小,记f(x) ~ g(x)
若 lim f ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量. xX g( x)
例1 :当x 0时, x 1000x3与x相比是(C )无穷小.
(A)高 阶; (B)低 阶; (C)等 价; (D)同 阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
无穷小的比较
例1 证明 : 当x → 0时, tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
tan x − sin x 解 ∵ lim x→0 x3
1 sin x 1 − cos x = lim( ⋅ ⋅ ) 2 x → 0 cos x x x 1 sin x 1 − cos x 1 = lim ⋅ lim ⋅ lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 x x →0 x 2
β ( ２ ) 如果 lim = ∞，就说 β 是比 α 低阶的无穷小． 低阶的无穷小． α β ( 3) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α β 特殊地， 如果 lim = 1, 则称 β 与 α 是等价的无穷小; 特殊地， α 记作 α ~ β;
β (4) 如果 lim k = C ≠ 0, k > 0, 就说 β 是 α 的 k 阶的 αin
π
x + cos(a + bx )
lim f ( x ) = f ( −1) .
练习题答案
3 一、1. ； 2
0, m < n 2. 1, m = n ； 3. 2； ∞ , m > n
6.
a ； n
4. ∞ ；
5. x ；
1 ； 2
7. 3； 3；
8.
1 , 2. 2
例如， 例如，
x2 ∵ lim = 0， x →0 3 x
sin x ∵ lim = 1， x →0 x
即 x 2 = o( 3 x ) ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
无穷小与无穷大-无穷小的比较
当 x 时， 1 ， x2
1 x2
是无穷小量．
我们经常用希腊字母 ， ， 来表示
无穷小量．
注意：
（1）无穷小是以零为极限的变量， 常数中只有零是无穷小
（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，
例如: f (x) 1 x
当
x
时,
f
(x)
1 为无穷小
x
当 x 1时, f (x) 1 就不是无穷小
则称 与 是同阶无穷小量．若c 1，则称
与 是等价无穷小量．
关于等价无穷小，有下面重要的性质．
定理4–4 设 ~ ， ~ ，且lim ' 存在， '
则
lim lim '
'
证明：
lim lim ' ' lim '
1 cos x ~ x2 2
22
例4–32 求极限
sin 2x lim x0 sin 5x
lim 2x x0 5x
2 5
例4–33
求极限
lim tan x sin x0 x sin x2
x
lim
x0
tan x sin x sin x2
x
lim
x0
sin x(1 x sin x2
' '
'
21
在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因 子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种 方法称为等价无穷小替换法．
常用的无穷小替换有：(x 0)
sin x ~ x tan x ~ x ex 1~ x
arcsin x ~ x arctan x ~ x ln(1 x) ~ x
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第六节 无穷小量的比较
引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？
一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换
一、无穷小量的比较 观察下列极限
当 x 0时, 3x, x2, sinx都是无穷小,
lim x 2 0, x0 3x
lim sin x 1, x0 x
lim
t 0
t 2
t 3
tn1
t n
1 n!
.
x0
x sin x
例10. 求 解
作业 P57 3, 4
例11. I lim x ln1 2x tan 3x2 1 u 1 ~ 1 u
x0 1 x2 x3 1
2
解
I
2
lim
x0
x
ln1 2x
x2
tan x3
3x2
ln1 2x ~ 2x
tan 3x2 ~ 3x2
x ln 1 2x tan 3x2
x 0,
1 cos x3 ~
x6 2
x 0时，
பைடு நூலகம்
5 1 3x3 2x2
1 ~
1 5
(3x3
2x2)
二、等价无穷小量代换
定理1 在自变量的同一变化过程中, , ,
且 lim 存在，则 lim lim .
证
lim
lim(
)
lim lim lim
lim
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
例3. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
n
1
x
1
～
1 n
x
常用的等价无穷小：当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
例6
求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解 x 0时,1 cos x ~ 1 x2, 2
原式
lim
x0
x x3
x
故
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x 1 cos
x3
x
x 1 x2
lim x0
2 x3
1. 2
注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和
各
无穷小不能分别替换。
1
例7. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
例8
lim
x0
(1 cos x2)(2x 1) ln(1 x2) sin x3
lim
x0
x4 2
x
ln
2
x2 x3
ln 2 2
.
例9. 求 I lim ex esin x . x0 x sin x
解: I limesin x exsin x 1. 1
又如 ，
lim1
x0
cos x2
x
lim
x0
2
sin
2
x 2
4( 2x ) 2
1 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1
cos
x
～
1 2
x
2
例1. 求 解: 原式
例2. 求
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t), 原式 lim t t0 loga (1 t)
说明: 当
时, 有
2lim [ x0
x2 x3
x2 x3 ]
2lim [ x0
2x2 x2 x3
3x2 x2 x3
]
2 lim [ 2 x0 1 x
3] 1 x
2(2 3) 10
例12
lim (
x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) (x 1)n1
令x
1t
lim
(
t 0
1 t 1)(3 1 t 1)(n 1 t 1) tn1
.
例4 求 lim sin x . x0 tan 2x
解 因为当 x 0时,sin x ~ x, tan 2x ~ 2x, 所以 lim sin x lim x 1 .
x0 tan 2x x0 2x 2
例5
求
lim
x0
tan x x2 3x .
解
lim tan x lim x 1 . x0 x2 3x x0 x2 3x 3
（3）若
lim C 0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
（4）若 lim C 0, (k 0) 则称 是 的k阶无穷小. k
例如 , 当 x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
lim
x0
3x x2
,
上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的极
限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.
下面给出无穷小量比较的几个概念.
定义1 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
（1）若
lim
0,
则称
是比
高阶的无穷小, 记作
o()
（2）若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
2 x2
2
ln(1 x) ~ x,
loga (1
x)
~
x ln a
,
e x 1 ~ x, a x 1 ~ x ln a
n 1 x 1 ~ 1 x, 1 x 1 ~ x. n
一般形式
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)
其他公式类似
如 x 0 asinx 1 ~ sin x lna
引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？
一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换
一、无穷小量的比较 观察下列极限
当 x 0时, 3x, x2, sinx都是无穷小,
lim x 2 0, x0 3x
lim sin x 1, x0 x
lim
t 0
t 2
t 3
tn1
t n
1 n!
.
x0
x sin x
例10. 求 解
作业 P57 3, 4
例11. I lim x ln1 2x tan 3x2 1 u 1 ~ 1 u
x0 1 x2 x3 1
2
解
I
2
lim
x0
x
ln1 2x
x2
tan x3
3x2
ln1 2x ~ 2x
tan 3x2 ~ 3x2
x ln 1 2x tan 3x2
x 0,
1 cos x3 ~
x6 2
x 0时，
பைடு நூலகம்
5 1 3x3 2x2
1 ~
1 5
(3x3
2x2)
二、等价无穷小量代换
定理1 在自变量的同一变化过程中, , ,
且 lim 存在，则 lim lim .
证
lim
lim(
)
lim lim lim
lim
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
例3. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
n
1
x
1
～
1 n
x
常用的等价无穷小：当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
例6
求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解 x 0时,1 cos x ~ 1 x2, 2
原式
lim
x0
x x3
x
故
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x 1 cos
x3
x
x 1 x2
lim x0
2 x3
1. 2
注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和
各
无穷小不能分别替换。
1
例7. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
例8
lim
x0
(1 cos x2)(2x 1) ln(1 x2) sin x3
lim
x0
x4 2
x
ln
2
x2 x3
ln 2 2
.
例9. 求 I lim ex esin x . x0 x sin x
解: I limesin x exsin x 1. 1
又如 ，
lim1
x0
cos x2
x
lim
x0
2
sin
2
x 2
4( 2x ) 2
1 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1
cos
x
～
1 2
x
2
例1. 求 解: 原式
例2. 求
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t), 原式 lim t t0 loga (1 t)
说明: 当
时, 有
2lim [ x0
x2 x3
x2 x3 ]
2lim [ x0
2x2 x2 x3
3x2 x2 x3
]
2 lim [ 2 x0 1 x
3] 1 x
2(2 3) 10
例12
lim (
x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) (x 1)n1
令x
1t
lim
(
t 0
1 t 1)(3 1 t 1)(n 1 t 1) tn1
.
例4 求 lim sin x . x0 tan 2x
解 因为当 x 0时,sin x ~ x, tan 2x ~ 2x, 所以 lim sin x lim x 1 .
x0 tan 2x x0 2x 2
例5
求
lim
x0
tan x x2 3x .
解
lim tan x lim x 1 . x0 x2 3x x0 x2 3x 3
（3）若
lim C 0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
（4）若 lim C 0, (k 0) 则称 是 的k阶无穷小. k
例如 , 当 x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
lim
x0
3x x2
,
上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的极
限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.
下面给出无穷小量比较的几个概念.
定义1 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
（1）若
lim
0,
则称
是比
高阶的无穷小, 记作
o()
（2）若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
2 x2
2
ln(1 x) ~ x,
loga (1
x)
~
x ln a
,
e x 1 ~ x, a x 1 ~ x ln a
n 1 x 1 ~ 1 x, 1 x 1 ~ x. n
一般形式
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)
其他公式类似
如 x 0 asinx 1 ~ sin x lna