数学建模实验报告4酵母培养物离散阻滞增长模型
差分与微分方程
差分方程理论：1.一阶差分方程k k k x x x -=∆+1….刻画该变量形如)(k k x f x =∆或)(1k k x F x =+称为一阶差分方程；2.二阶差分方程k k k k k k x x x x x x +-=∆-∆=∆+++12122形如),(12k k k x x f x +=∆称为二阶差分方程3.平衡点和稳定性如果*lim x x k k =+∞→即平衡点 渐近稳定：存在*x 的某个邻域U ，对任意的U x ∈0,虽然*0x x ≠，但*lim x x k k =+∞→ 4.应用及软件实现：一阶线性常系数差分方程，)1.1(,......2,1,0,)1(1=+=+k x r x k k 其中r 为常数，有3种方式计算k 时段的增长率前差公式：kkk x x x -+1 中点公式：kk k x x x 211-+- 后差公式：k k k x x x 1--其中中点公式的精度最高)1.1(的解为等比数列,......2,1,0,)1(0=+=k r x x k k若0≠r ，则仅有平衡点0=x 。
稳定当且仅当1|1|<+r下面选取参数r 和初始值0x ，按)1.1(迭代，绘图观察其解的长期行为 详见程序r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09];x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];一阶线性常系数非齐次差分方程)2.1(,......2,1,0,)1(1=++=+k b x r x k k若0=r 则为等差数列0,0,1,2,......k x x kb k =+=；若0≠r ，则rb r r b x x k k -++=)1)((0 引入 rb x y k k +=则.0,1,2.....k )1()1(01=+=+=+k k k r y y r y 可得此时平衡点rb x -=稳定当且仅当02-<<r 实例：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为 1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。
最新数学建模实验报告4酵母培养物离散阻滞增长模型精选全文
一．实验题目：已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：时刻/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 生物量/g 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3 350.7 441.0 时刻/h 10 11 12 13 14 15 16 17 18生物量/g 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8二．实验要求1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.2、建立酵母培养物的增长模型.3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.三．实验内容(1)对于此问，可直接根据数据作图 先求相对增长率随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8]; n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n); endr=dx./x(1:18); plot(0:17,r,'kv')xlabel('时间k （小时）'),ylabel('增长率 (%)') title('增长率与时间')模拟效果图如下：时间 k(小时)增长率 (%)增长率与时间再求增长量随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n); endplot(0:17,dx,'ko')xlabel('时间k （小时） '),ylabel('增长量 (克)')title('增长量与时间')模拟效果图如下：24681012141618时间 k(小时)增长量 (克)增长量与时间（2）建立酵母培养物的模型k---时刻（小时）；x(k)---酵母培养物在第k 小时的生物量（克）；r(k)---用前差公式计算的生物量在第k小时的增长率；r---生物量的固有增长率；N---生物量的最大容量。
张勇《数学建模》酵母菌培养物问题
1.1.1 酵母培养物的增长模型的改进
原始数据： n 观察酵母生物量 pn 0 9.6 1 18.3 2 29.0 3 47.2 4 71.1 5 119.1 6 174.6 7 257.3 8 350.7 9 441.0 10 513.3 11 559.7 12 594.8 13 629.4 14 640.8 15 651.1 16 655.9 17 659.6 18 661.8
修改呢？ 比例系数应该随着生物数量增加而减小，那么如何修改模型呢？
采用： k a bpn .
图形：酵母生物量 pn 与培养时间 n 的数据图 （呈 S 形曲线）
pn pn1 pn k665 pn pn
表明 pn1 pn 与 665 pn pn 近似在一条过原点的直线上。
这里取 k≈0.00082。
原有模型：
变化量 pn+1-pn 8.7 10.7 18.2 23.9 48.0 55.5 82.7 93.4 90.3 72.3 46.4 35.1 34.6 11.4 10.3 4.8 3.7 2.2
pn pn1 pn kpn .
即单位时间的生物数量变化与总数成正比. 问题在于随着时间增长，比例系数始终不变. 这似乎就是问题所在. 那如何
3.4 离散阻滞增长模型及其应用
S 型曲线说明一阶差分 xk xk 1 xk 随着 k 或 xk (k 0,1, ,17) 的增加而逐渐增大然后逐渐减小. 计算 xk 并填入表 3.2 的第 3 列，由计算结果可 发现 xk 确实随着 k 或 xk 的增加而先递增、然后递减.
3.4.2 酵母培养物的增长 （二）问题分析
xk x0 1 r , k 0,1, 2,
k
(3.2.3)
如果 r>0，种群数量将按指数规律随时间无限增长.
3.4.1 离散阻滞增长模型
由于受有限的资源环境的制约，种群数量不可能 无限增长，种群数量的增长率也不可能一直保持不 变，而是会随着种群数量的增加而逐渐减小. 有限的 资源环境对种群数量增长的制约作用即“阻滞作用” . 假设由于受有限的资源环境的制约，用前差公式 计算的增长率随着种群数量的增加而线性递减，即 xk 1 xk xk (3.4.3) r 1 , k 0,1, 2, xk N 模型假设(3.4.3)式即导出离散阻滞增长模型.
3.4.1 离散阻滞增长模型
离散阻滞增长模型就是一阶非线性差分方程 xk (3.4.1) xk rxk 1 , k 0,1, 2, N xk 即 (3.4.2) xk 1 xk rxk 1 , k 0,1, 2, N 分别记 x 和 y 是同一时段的种群数量和用前差公 式计算的增长率，则在 x~y 直角坐标平面内直线方程 (3.4.4) y r (1 x N ) 的纵截距为 r，横截距为 N（见图 3.6）.
图 3.7
1 0
1 0
0 50 100 2<r<2.449,0<x 0<N,x k呈 2周 期 轨 道
酵母菌种群数量增长曲线测定
探究酵母菌种群大小的动态变化研究目的：分别说明种群个体数量的增长规律以及种群外部环境因素和种群内部因素对种群个体数量的制约。
实验过程：1、每八个同学分一组，全班分为7大组。
每组取一个锥形瓶，量取50ml已经配好的酵母菌培养液，至于锥形瓶中。
2、写好标签纸，贴在锥形瓶上。
标签纸格式如下3、每人取一块血球计数板，对本组瓶内酵母菌数量进行计数。
血球计数板的使用方法血球计数板用于在显微镜下直接计数单位容积内分散的单个菌体。
如细菌、酵母菌或霉菌的孢子的数量。
但由于血球计数板本身较厚，不能用油镜观察，仅适用于在干系统物镜下可见的个体较大的微生物的计数一、血球计数板的构造血球计数板是一块特制厚玻片。
玻片上由四道槽构成三个平台，中间的平台分成两半，其上各刻一个相同而有一定面积的小方格网。
方格的刻度有两种规格。
一种是分为25大格，每大格又分为16小格；另一种是分16大格，每大格分为25小格。
总数都是400小格（如图所示）。
每小格边长为0.05毫米，其面积为0.0025立方毫米，深度为0.1毫米，故每小格容积为0.00025立方毫米，即1/4×106毫升。
可由每小格中的菌数换算出每毫升菌液中的数量。
二、血球计数板的使用方法（一）取清洁干燥的血球计数板，加盖玻片盖住网格和两边的槽。
（二）将待测菌液充分摇匀后，用无菌吸管吸少许，由盖玻片边缘或槽内加入计数板来回推压盖玻片，使其紧贴在计数板上，计数室内不能有气泡。
静置5-10分钟。
（三）在低倍镜下找到小方格网后更换高倍镜观察计数，上下调动细螺旋，以便看到小室内不同深度的菌体。
位于分格线上的菌体，只数两条边上的，其余两边不计数。
如数上线就不数下线，数左边线就不数右边线。
（四）计数时若使用刻度为16×25（大格）的计数板，则数四角的4个大格（即100小格）内的菌数。
如用刻度为25×16（大格）的计数板，除数四角的4个大格外，还需数中央1个大格的菌数（即80小格）。
探究培养液中酵母菌种群的动态变化
31．（8分）为研究酵母菌种群密度的动态变化，某同学按下表所列条件进行 了A、B、C和D 共4组实验，用1 000mL锥形瓶作为培养器皿，棉塞封口，在 25℃下静置培养，其他实验条件均相同，定时用血球计数板计数。根据实验结 果绘出的酵母菌种群密度变化曲线图如下，请分析回答以下问题。
每隔24小时取样计数。(注意计数时间每天要固定)
第 1天
第 6天
此法计得的是活菌体和死菌体的总和
死亡
第4天
第7天
三、现象观察 每天同一时间，各组取出本组的试管，用血球计数 板计数酵母菌个数，并作记录，连续观察7天。
菌数 时间 （天） 起始 1 2 3 4 5 6 7
次数
1
2
3
… 平均
……………………
为探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化，某研究性学习小组按 表一完成了有关实验，并定期对培养液中的酵母菌进行计数，绘 制出酵母菌细胞数目变化曲线图。请回答：表一：为了探究培养 液中酵母菌种群数量的动态变化，某同学按下表完成了有关实验。
⑴A组培养液中酵母菌第 2 天的增长率最大；第3天后A组培养液
中酵母菌数目减缓甚至不增长的原因是 培养基中营养物质的大量消耗，代谢废物的积累，
10
—
0.1
28
B
无菌水稀释后，再用血球计数板计数.
调整期 对数期 稳定期 衰亡期
出生率≈死亡率
稳定期
出生率>死亡率
调整期
对数期
出生率<死亡率
探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化(浙科版)
谢谢观看！ 2020
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8Leabharlann 1012时间为了探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化，某学 生按下表完成了有关实验。
试管编号
A B C
培养液 /mL 10 10 ——
无菌水 /mL —— —— 10
酵母菌母 液/mL 0.1 0.1 0.1
温度/℃
28 2 28
请用显写微出镜该定学期生测研酵母究菌的数课目题，名结称果仅A管中第三天开始个
体第数六目天迅结速束温增 实度加 验、， 。营第请养五将物天A质、开对B始酵、A母C管菌三中种组个群预体数期数量结目变果达化的到的走最影势大响图， 表示如下 酵
母 菌 数 目
实验技能培养： 实验结果记录表的设计
表格的基本格式
表格名称
自变量对对象检测指标影响的记录表
栏头
因 变 量列 测题 量 指 标 平均值
• 计数时，常采用抽样检测。
血细胞计数板被用以对人体
内红、白血球进行显微计数之用，
也常用于计算一些细菌、真菌、
酵母等微生物的数量，是一种常
见的生物学工具。
计数室
返回
25×16 大方格规格2mm×2mm×0.1mm 400小格
酵母细胞个数／mL＝80个小方格细胞总数/ 80 ×400×2500×稀释倍数
菌体数之和
n
时间（h）
0
2
46
8 10 12
酵母菌个数 0.9 2.4 5.25 11.35 21 36.5 51.5
（106/ml）
时间（h）
0
2
4 6 8 10 12
1.说明建构种群增长模型的方法。2.通过探究培养液中酵母...
Nn＝２n
观察、统计细菌数量， 对自己所建立的模型 进行检验或修正
对位训练
1．在营养和生存空间等没有限制的理
ห้องสมุดไป่ตู้
想条件下，某细菌每20min就分裂繁殖
一代。现将该细菌种群（m个个体）接
种到培养基上（资源、空间无限），
Th后，该种群的个体总数是
A.m.2T
B.m.220
C.2T/20
D.m.23T
变式训练 调查发现某种一年生植物(当年播种、当年开花结果)
保护：进行野生生物资源保护时，应设法 保护野生生物环境，减小环境阻力，增大 其环境容纳量。如大熊猫的佑护。
（二）有助于农林害虫的防治 如老鼠、蝗虫的防治
降低其环境容纳量——增大其环境阻力
措施：严密封储粮食、清除生活垃圾、保 护老鼠天敌等。
对位训练：(2)对于洞庭湖区的鼠患，有人 主张投放高毒性的灭鼠药，在短期内迅速 杀死大量东方田鼠。你赞成这一方案吗?请 运用所学生物学知识，说出两点理由。
A．12000 B．35000 C．50000 D．100000
变式（2014浙江卷）4.下列关于环境容纳量 的叙述，正确的是
A.环境容纳量是指种群的最大数量
B.种群的内源性调节因素不会改变环境容纳 量的大小
C.在理想条件下，影响种群数量增长的因素 主要是环境容纳量
D.植食动物在自然环境条件下，一年四季的 环境容纳量以冬季最大
式对事物的性质进行 倍数，No表示最初的东方田鼠的数
抽象表达
量。)
III．通过进一步实验 III．
或观察等，对模型进行
跟踪统计东方田鼠的数量，
检验或修正
对所建立的数学模型进行检
验或修正
考点2：种群的两种增长曲线
第4章差分模型(数学建模)
对每个整数n 对每个整数n有
△an=an+1-an
例4.1 储蓄存单 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 考虑一开始有1000美圆的储蓄存单,在月利率为1%的条 1000美圆的储蓄存单 1% 件下的积累价值是一个数列 A={1000, 1010, 1020.10, 1030.30,1040.60…}
C
△bn=bn+1-bn=0.01bn-880.87
一阶动力系统方程
bn+1=bn+0.01bn-880.87
bn+1=1.01bn-880.87 b0=80000
一个序列就是定义在非负整数集上的函数 一个序列就是定义在非负整数集上的函数. 序列就是定义在非负整数集上的函数 一个动力系统是指序列各项之间的关系 动力系统是指序列各项之间的关系. 一个动力系统是指序列各项之间的关系 数值解是该动力系统的一张数值表 数值解是该动力系统的一张数值表 是该动力系统的一张
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
离散阻滞增长模型及其应用ppt
• 其中 a、b 与 c 为实数常数 ，且a > 0. • 应用:在自然科学、社会科学、数学以及工程学等
领域都有高斯函数旳身影，这方面旳例子涉及： • 在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布旳密
度函数，根据中心极限定理它是复杂总和旳有限 概率分布。
22
用期望值及方差作为参数表达旳 高斯曲线
14
这个坐标系后来被称为H-D曲线，也称为特征曲线， 特征曲线描述旳是胶片显影后不同曝光量与相应密
度旳关系。
15
3.4.2 酵母培养物旳增长
1. 问题提出
16
图3.8
17
3.4.2 酵母培养物旳增长
2. 问题分析
18
19
3.4.2 酵母培养物旳增长
2. 问题分析
20
图3.9
21
高斯函数
5. 模型求解和模型检验
36
3.4.2 酵母培养物旳增长
5. 模型求解和模型检验
37
3.4.2 酵母培养物旳增长
5. 模型求解和模型检验
38
3.4.2 酵母培养物旳增长
5. 模型求解和模型检验
39
图3.12
40
3.4.2 酵母培养物旳增长
5. 模型求解和模型检验
41
3.4.3 人口预报
1. 问题提出
3. 模型一
51
图3.14
52
3.4.3 人口预报
3. 模型一
53
3.4.3 人口预报
4. 模型二
54
3.4.3 人口预报
4. 模型二
55
3.4.3 人口预报
4. 模型二
56
3.4.3 人口预报
受限环境下培养的酵母生物量数学模型
酵母在受限环境下生长的简化数学模型
在受限环境下培养酵母的生物量数学模型可以根据实验数据和观察结果进行建立。
以下是一个可能的简化模型：
1.生长速率模型：
假设酵母的生长速率与生物量成正比，可以表示为：
dX/dt = kX
其中，X表示酵母的生物量，t表示时间，k表示生长速率常数。
这个方程描述了酵母的指数生长。
2.限制因子模型：
如果环境中的限制因子（如营养物质、氧气等）是有限的，那么酵母的生长速率会受到限制。
假设限制因子为R，则生长速率可以表示为：dX/dt = kX - kXR
其中，kX表示酵母在没有限制因子时的生长速率，kXR表示限制因子对酵母生长的抑制作用。
3.营养物质消耗模型：
酵母的生长需要消耗营养物质，假设营养物质的浓度为S，则营养物质的消耗速率可以表示为：
dS/dt = -kXS
其中，kX表示酵母的生长速率，S表示营养物质的浓度。
这个方程描述了酵母消耗营养物质的过程。
4.联立方程：
将以上三个方程联立起来，可以得到一个描述酵母在受限环境下生长的数学模型：
dX/dt = kX - kXR
dS/dt = -kXS
X(0) = X0, S(0) = S0
其中，X0和S0分别表示初始时刻的酵母生物量和营养物质浓度。
这个方程组描述了酵母在受限环境下生长和营养物质消耗的过程。
需要注意的是，以上模型是一个简化模型，实际情况可能更加复杂。
因此，在实际应用中需要根据实验数据和观察结果进行模型的调整和优化。
生物酵母菌培养实验报告
一、实验目的1. 掌握酵母菌培养的基本方法。
2. 观察酵母菌的生长过程和形态变化。
3. 了解酵母菌在不同培养条件下的生长特性。
二、实验原理酵母菌是一种广泛分布于自然界中的单细胞真菌，具有较强的发酵能力。
在适宜的培养条件下，酵母菌能够迅速繁殖，形成菌落。
本实验通过培养酵母菌，观察其生长过程和形态变化，探究不同培养条件对酵母菌生长的影响。
三、实验材料与仪器1. 实验材料：- 酵母菌菌种- 麦芽汁琼脂培养基- 葡萄糖琼脂培养基- 氨基酸琼脂培养基- 温度计- 烧杯- 研钵- 移液管- 镜头- 显微镜- 计数板2. 实验仪器：- 培养箱- 灭菌器- 高压蒸汽灭菌锅四、实验方法1. 培养基制备：- 称取麦芽汁琼脂、葡萄糖琼脂、氨基酸琼脂，分别加入适量的蒸馏水，搅拌均匀。
- 将配制好的培养基分装至无菌试管中，进行高压蒸汽灭菌。
- 待培养基冷却后，分别加入适量的酵母菌菌种，混匀。
2. 酵母菌培养：- 将接种好的培养基放入培养箱中，设置不同的温度（如25℃、30℃、35℃）和pH值（如5.0、6.0、7.0）。
- 观察并记录酵母菌在不同培养条件下的生长情况。
3. 酵母菌形态观察：- 将培养好的酵母菌涂布于载玻片上，进行染色处理。
- 使用显微镜观察酵母菌的形态、大小、细胞壁、细胞核等特征。
4. 酵母菌计数：- 使用计数板对培养皿上的酵母菌进行计数。
- 根据计数结果，计算酵母菌的密度。
五、实验结果与分析1. 酵母菌在不同培养条件下的生长情况：- 在25℃、pH 6.0的培养条件下，酵母菌生长速度最快，菌落形态良好。
- 在35℃、pH 5.0的培养条件下，酵母菌生长速度较慢，菌落形态较差。
- 在30℃、pH 7.0的培养条件下，酵母菌生长速度适中，菌落形态一般。
2. 酵母菌形态观察结果：- 酵母菌为单细胞真菌，呈椭圆形或圆形，细胞壁较厚，细胞核明显。
- 酵母菌细胞内含有大量的蛋白质、糖类、脂肪等营养物质。
3. 酵母菌计数结果：- 在25℃、pH 6.0的培养条件下，酵母菌密度最高，约为 1.5×10^8 C FU/mL。
酵母生长曲线实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 了解酵母菌在不同环境条件下的生长规律。
2. 掌握酵母菌生长曲线的基本特征，包括滞期、对数生长期、平衡期和衰老死亡期。
3. 分析环境因素（如温度、pH值、营养物质等）对酵母菌生长的影响。
二、实验原理酵母菌是一种单细胞真菌，其生长过程可分为四个阶段：滞期、对数生长期、平衡期和衰老死亡期。
在这四个阶段中，酵母菌的生长速度和代谢活动都有明显的差异。
通过观察酵母菌在不同环境条件下的生长曲线，可以了解酵母菌的生长规律，并分析环境因素对酵母菌生长的影响。
三、实验材料与仪器1. 实验材料：- 酵母菌（啤酒酵母）- 葡萄糖- 氮源（如酵母提取物）- 无机盐- pH值调节剂- 温度控制器2. 实验仪器：- 恒温培养箱- 移液器- 光学显微镜- 计数板- 记录纸四、实验方法1. 配制酵母菌培养液：将葡萄糖、氮源、无机盐和pH值调节剂按比例混合，制备成酵母菌培养液。
2. 设置实验组：将酵母菌培养液分为若干组，分别设置不同的实验条件，如温度、pH值、营养物质等。
3. 接种酵母菌：将酵母菌接种到各个实验组的培养液中，置于恒温培养箱中培养。
4. 观察与记录：定期观察酵母菌的生长情况，记录酵母菌数量、形态等特征。
5. 数据处理：利用光学显微镜和计数板对酵母菌数量进行计数，绘制酵母菌生长曲线。
五、实验结果与分析1. 酵母菌生长曲线：- 滞期：酵母菌进入新环境后，需要一定时间适应环境，此时酵母菌数量基本不变。
- 对数生长期：酵母菌适应环境后开始大量繁殖，繁殖速度最快，酵母菌数量呈指数增长。
- 平衡期：酵母菌繁殖速度逐渐减慢，死亡数量与增殖数量基本持平，酵母菌数量达到峰值。
- 衰老死亡期：酵母菌繁殖速度进一步减慢，死亡数量大于增殖数量，酵母菌数量逐渐减少。
2. 环境因素对酵母菌生长的影响：- 温度：适宜的温度有利于酵母菌的生长繁殖，过高或过低的温度都会抑制酵母菌的生长。
- pH值：酵母菌对pH值的要求较为严格，最适pH值一般在4.5-5.5之间。
数学建模试卷
1、从一个酵母培养物增长的实验中采集到的数据如下表和下图所示（增长率是根据数值微分三点公式计算所得）：(1)根据以上图表，文字描述酵母生物量的变化过程，并初步分析其原因；(2)请引入合理的简化假设，建立数学建模，描述酵母生物量的变化过程；(3)你建立的模型包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？如何估计模型中的参数？2、司机培训课程有这样的“2秒规则”——即在正常驾驶条件下，后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒钟之后到达同一标志，而不管车速如何。
下表是由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据，车速的单位是英里/小时，距离的单位是英尺，时间的单位是秒。
（单位换算：1英里＝5280英尺）反应距离和制动距离的实际观测值请建立数学模型，根据以上数据，经过简单的计算，回答以下问题：（1）“2秒规则”足够安全吗？（2）有没有更合理的规则？3、建立数学模型，给出计数器读数n与录像带转过时间t的关系，这样计数器就可以起到记录时间的作用。
录像机计数器工作原理如下图。
录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满左轮盘，右轮盘的轴与计数器相连，右轮转的圈数与计数器读数成正比，开始时右轮盘是空的，计数器读数为0000。
录像带从左往右运动，与小马达相连的主动轮的转数是固定不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，录像带的运动速度（线速度）为常数，使得录像机播放出稳定的图像。
随着录像带从左向右运动，右轮盘半径增加，转速越来越慢，计数器读数的（1）为了建模，需要引入哪些变量和参数？（2）根据以上分析写出模型假设。
（3）建立数学模型(提示：通过计算缠绕在右轮盘上的录像带m圈的长度来建模)。
（4）模型中可能有很多个参数，并且难以一一直接测量，事实上也没必要那样做。
如何辨识模型中的参数？4、汽车配件厂为装配流水线轮换生产若干种部件。
每轮换生产一种部件，都因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）。
同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付贮存费。
数学建模__细菌繁殖问题
细菌繁殖摘要本文针对酵母菌种群繁殖的基本特点，为达到解决所列出的三个问题的目的，建立了符合实际情况的预测模型。
预测模型：根据题目给出的已知条件，最终建立了符合本题的Logistic模型。
综合考虑了各种因素，利用计算机MATLAB编程分别对问题进行求解，并分别绘制出本题的Logistic数学模型和问题三中所列的二次多项式的曲线，以供对比。
对于问题一得出，本文建立了种群预测的Malthus模型以及符合本题的Logistic模型，模型中参数K的值为：0.00081411，参数M的值为：663.97。
对于问题二得出，自初始时刻起，20小时时酵母菌的数量为：663.06。
该种群的增长呈现出S型，前期呈指数型增长，中后期增长缓慢，种群数量最终达到最大值：663.97。
对于问题三得出，根据计算机MATLAB程序绘制出的本题Logistic数学模型以及问题三中所列的二次多项式的曲线。
对两条曲线进行对比，易知符合本题的Logistic模型具有更好的预测能力。
关键词：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；预测1 问题重述已知酵母菌种群在培养物中的增长情况，见附录中表a 所示。
现根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。
根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：问题一：建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数； 问题二：利用问题一中的模型，预测20小时时酵母菌的数量；问题三：若用二次多项式2210)(t k t k k t N ++=（其中)2,1,0(=i k i 为常数）作为新模型，试从误差角度说明新模型与问题一中的模型哪个具有更好的预测能力，并画出对比曲线。
2 问题的基本假设与说明1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为检验所建立的数学模型的准确性的事实依据。
2）在自然环境中，细菌繁殖增长会受到各方面复杂因素的影响，为简化模型，本文以题目中给出的实测数据，作为衡量所建立的数学模型准确度的主要因素。
阻滞增长模型实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解阻滞增长模型的基本原理和数学表达式。
2. 通过实验验证阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化。
3. 探讨阻滞增长模型在实际问题中的应用，如人口增长、生物种群数量变化等。
二、实验原理阻滞增长模型，也称为逻辑斯蒂增长模型，是一种描述系统增长受资源限制和内在增长速度影响的理论模型。
该模型的基本假设是，系统的增长速度随着系统规模的增加而逐渐降低，最终趋于稳定。
数学表达式如下：\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{K}) \]其中：- \( x \) 为系统规模或数量；- \( t \) 为时间；- \( r \) 为固有增长率，表示系统在没有限制时的增长速度；- \( K \) 为环境容纳量，即系统可以达到的最大规模。
三、实验材料与工具1. 实验材料：计算机、绘图软件（如MATLAB、Python等）。
2. 实验工具：阻滞增长模型数学模型、实验数据。
四、实验步骤1. 参数设置：根据实验目的，设置不同的初始条件（如初始规模 \( x_0 \)）和参数值（如 \( r \)、\( K \)）。
2. 模型构建：使用计算机软件建立阻滞增长模型，输入参数和初始条件。
3. 模型运行：运行模型，观察并记录系统规模随时间的变化情况。
4. 数据分析：对实验数据进行处理和分析，绘制系统规模随时间变化的曲线图。
5. 结果讨论：根据实验结果，讨论阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化特点。
五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，我们得到了不同参数设置下系统规模随时间的变化曲线。
结果表明，随着时间推移，系统规模逐渐增长，但增长速度逐渐降低，最终趋于稳定。
2. 结果分析：- 当 \( r \) 值较大时，系统规模增长速度较快，但最终仍会趋于稳定。
- 当 \( K \) 值较大时，系统规模增长速度较慢，但最终仍会达到稳定状态。
- 初始条件 \( x_0 \) 也会对系统规模的增长速度和最终稳定状态产生影响。
离散阻滞增长模型及其应用-PPT
以按其给出的数列递推关系迭代计算出数值解.
当 r>0 且初始值 x0 (0, N ) 时，随着 r 的增大，
(3.4.2)式的解会出现复杂的数学现象——单调收敛、
振荡收敛、倍周期分岔和混沌（见图 3.7）.
实践中，一般 0<r<1 且 x0 (0, N ) ，解 xk 关于 k
的散点沿
S
型曲线分布，
散阻滞增长模型的模型假设. 我们用前差公式计算生物量的增长率
rk
xk 1 xk
xk
,
k
0,1,,17
(3.4.7)
并将计算结果填入表 3.2 的第 4 列，可以发现 rk 大致
上是随着 k 或 xk 的增加而递减的.
希望由散点图发现 rk 关于 k 或 xk 的近似而简单的
函数关系.
（ 1） rk关 于 k的 散 点 图 100
（ 2） rk关 于 xk的 散 点 图 100
90
90
80
80
70
70
增 长 率 r k（ %） 增 长 率 r k（ %）60 Nhomakorabea60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
0
5
10
15
0
时 间 k（ 小 时 ）
图3、10
200 400 600 生 物 量 xk（ 克 ）
3、4、2 酵母培养物得增长
3、4、2 酵母培养物得增长
3、 符号说明
k ~ 时刻（小时）； xk ~ 酵母培养物在第 k 小时的生物量（克）； rk ~ 用前差公式计算的生物量在第 k 小时的增长率； r ~ 生物量的固有增长率； N ~ 生物量的最大容量.
实验报告-探究培养液中酵母菌种群数量的变化
实验报告-探究培养液中酵母菌种群数量的变化实验报告: 探究培养液中酵母菌种群数量的变化班级姓名小组年月日一、实验目的：1、通过探究培养液中酵母菌种群数量的变化，来研究一个种群的数量变化情况，尝试构建种群增长的数学模型。
2、通过使用血球计数板掌握单细胞生物的计数方法。
二、实验原理：1、酵母菌可以用液体培养基来培养，培养液中的酵母菌种群的增长情况与培养液中的成分、空间、PH 、温度等因素有关，我们可以根据培养液中的酵母菌数量和时间为坐标轴做曲线，从而掌握酵母菌种群数量的变化情况。
2、利用血球计数板在显微镜下直接计数是一种常用的细胞计数法，这种方法可以直接测定样品中全部的细胞数目，所以一般用于单细胞微生物数量的测定，由于血球计数板上的计数室盖上盖玻片后的容积是一定的，所以可根据在显微镜下观察到的细胞数目来计算单位体积的细胞的总数目。
三、实验材料：酵母菌菌种，无菌马铃薯培养液或肉汤培养液。
四、实验用具：无菌水，试管，棉塞，恒温培养箱，显微镜，无菌滴管，无菌移液管，小烧杯或小试管，血球计数板(2mm×2mm×0.1mm)、纱布、滤纸、镊子、盖玻片。
五、方法步骤：1、取相同洁净试管若干支，分别加入5ml 马铃薯培养液，塞上棉塞。
2、用高压锅进行高压蒸汽灭菌后，标记甲、乙、丙等。
3、将酵母菌母液分别加入试管甲、乙、丙，各5ml ，摇匀后用血球计数板计数起始酵母液个数，做好记录。
4、将各试管送进恒温箱，25℃下培养7天。
5、每天时间，各组取出本组的试管，用血球计数板计数酵母菌个数，并作记录，连续观察7天。
六、实验记录表根据表格数据绘图：七、实验结论：培养液酵母菌种群数量随时间呈型增长变化。
数量时间。
(好)3 4探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化
课后练习1：在研究“酵母菌种群数量变化”的实验中， 将10ml酵母液放在适宜温度下培养，并于不同时间内等量 均匀取样4次，分别测定样品中酵母菌的数量和PH，结果 如表所示
样品 酵母菌数量（个/mm3） PH
1 2 3 4
1210 820 1210 1000
4.8 5.4 3.7 5.0
（1）表中样品的取样先后次序为 . （2）对酵母菌而言，10ml该培养液的环境负荷量？ （3）若第5次均匀取样时，样品中的酵母菌数量为760 个/ml3，产生这一结果的原因是 。
例1例2两题，均将整个计数室2mm×2mm方格作为实验计 数的空间，并按照公式：a/4×105（×稀释倍数）来计算 10mL培养液中的酵母菌的数量（a为所计数酵母菌的平均数）。 与血球计数板的实际操作不相符，特别是例2中将2mm×2mm的 计数室当成一个小方格了，存在科学性错误。
例3 通常用血球计数板对培养液中酵母菌进行计数， 若计数室为1mm×1mm×0.1mm方格，由400个小方格 组成，如果一个小方格内酵母菌过多，难以计数， 应先 ▲ 后再计数。若多次重复计数后，算得 每个小方格中平均有5个酵母菌，则10mL该培养液 中酵母菌总数有 ▲ 个。 （参考答案：稀释；2×108）
深度 25×16型的计 数板 大方格规格 1mm×1mm×0.1mm 400小格
计数器大方格规格： 2mm×2mm×0.1mm 或 1mm×1mm×0.1mm
25×16
浙科版默认第一种
关于血球计数板的计数方法：
先将盖玻片放在计数室上，用吸 管吸取培养液，滴于盖玻片边缘，让 培养液自行渗入。多余培养液用滤纸 吸去。稍待片刻，待细菌细胞全部沉 降到计数室底部，将计数板放在载物 台的中央，计数一个小方格内的酵母 菌数量，再以此为根据，估算试管中 的酵母菌总数。每个小方格内含有细 胞数不宜超过10个。（人教版）
离散阻滞增长模型及其应用总结共63页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
பைடு நூலகம்
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
离散阻滞增长模型及其应用 总结
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
63
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一．实验题目：
已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：
时刻/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 生物量/g 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8
二．实验要求
1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.
2、建立酵母培养物的增长模型.
3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.
4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.
5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.
三．实验内容
(1)对于此问，可直接根据数据作图
先求相对增长率随时间的变化，程序如下：
k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651. 1,655.9,659.6,661.8];
n=1;
for n=1:18
dx(n)=x(n+1)-x(n);
end
r=dx./x(1:18);
plot(0:17,r,'kv')
xlabel('时间k（小时）'),ylabel('增长率(%)')
title('增长率与时间')
模拟效果图如下：
时间 k(小时)
增长率 (%)
再求增长量随时间的变化，程序如下：
k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8]; n=1;
for n=1:18
dx(n)=x(n+1)-x(n); end
plot(0:17,dx,'ko')
xlabel('时间k （小时） '),ylabel('增长量 (克)') title('增长量与时间')
模拟效果图如下：
2
4
6
81012
14
16
18
时间 k(小时)
增长量 (克)
（2）建立酵母培养物的模型 k---时刻（小时）；
x(k)---酵母培养物在第k 小时的生物量（克）；
r(k)---用前差公式计算的生物量在第k 小时的增长率； r---生物量的固有增长率； N---生物量的最大容量。
在营养有限的环境下，假设用前差公式计算的增长率r(k)随着生物量x(k)的增加而线性递减，即
r_k=(x_(k+1)-x_k)/x_k=r*(1-x_k/N),k=0,1,2… 根据以上模型假设，即可建立离散阻滞增长模型 x_(k+1)=x_k+r*x_k*(1-x_k/N),k=0,1,2…
（3）首先，根据r_k 和x_k 的数据多项式拟合出（2）问中的r,N ；然后根据生物量的观测数据直接取x_0=9.6，用(2)问中的循环语句进行迭代计算，算出0~18小时酵母生物量的模拟值，并计算误差平方和，绘制模拟效果图和模拟误差图。
程序如下：t=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];
r=(x(2:19)-x(1:18))./x(1:18); a1=polyfit(x(1:18),r,1); r1=a1(2),N1=-a1(2)/a1(1) x1=x(1); for k=1:18
x1(k+1)=x1(k)+r1*x1(k)*(1-x1(k)/N1); end
resd1=x-x1;sse1=sum(resd1.^2) subplot(2,1,1),plot(t,x,'k*',t,x1,'ks')
axis([-1,19,0,670]),legend('观测值 ','模拟值 ',4) xlabel('时间 k(小时)'),ylabel('生物量 x_k(克)') title('离散阻滞增长模型的线性模拟效果图 ') subplot(2,1,2),plot(t,resd1,'k.',[-1,19],[0,0],'k') axis([-1,19,-40,40])
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('模拟误差') title('离散阻滞增长模型的线性模拟误差')
线性拟合结果如下：
R1=0.66935 N1=635.71 sse1=6293.2
线性模拟效果图如下：
0200400
600时间 k(小时)
生物量 x k
(克)
离散阻滞增长模型的线性模拟效果图
2
4
6
81012
14
16
18
-40
-2002040时间k(小时)
模拟误差
离散阻滞增长模型的线性模拟误差
(4)对于此问，可以利用MATLAB统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit计算参数r和N 以及初始值x_0的值，使得误差平方和达到最小值。
困难在于待拟合的函数模型不是熟悉的初等函数，而是数列递推关系，但是非线性拟合函数nlinfit仍然胜任。
程序如下：
函数：
function y=Untitled(b,x)
y=zeros(size(x));
y(1)=b(3);
for k=2:length(x)
y(k)=y(k-1)+b(1).*y(k-1).*(1-y(k-1)./b(2));
end
脚本：
t=0:18;
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651. 1,655.9,659.6,661.8];
[a2,resd2]=nlinfit(t,x,@Untitled,[0.5,660,9.6])
sse2=sum(resd2.^2)
subplot(2,1,1)
plot(t,x,'k*',t,Untitled(a2,t),'ks')
axis([-1,19,0,670])
legend('观测值','模拟值',4)
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('生物量x_k(克)')
title('离散阻滞增长模型的非线性模拟效果图')
subplot(2,1,2)
plot(t,resd2,'k.',[-1,19],[0,0],'k')
axis([-1,19,-40,40])
xlabel('时间k(小时)'),ylabel('模拟误差')
title('离散阻滞增长模型的非线性模拟误差')
非线性拟合结果如下：
A2=0.56037 652.46 15
Sse2=1353.5
非线性模拟效果图如以下：
0200400
600时间 k(小时)
生物量 x k
(克)
离散阻滞增长模型的非线性模拟效果图
2
4
6
81012
14
16
18
-40
-2002040时间 k(小时)
模拟误差
离散阻滞增长模型的非线性模拟误差
（5）两个模型的区别及评价分别如下：
由线性拟合得出的结果和模拟效果图可知，计算结果即固有增长率r=0.66935，大容量N=635.71，误差平方和等于6293.2。
计算结果以及模拟误差图表明，线性拟合能够用离散阻滞模型模拟酵母培养物生物量的变化趋势，前半段的误差很小，但后半段的误差很大，误差平方和很大。
另外，最大容量N 的估计值偏低。
总之，线性拟合的模拟效果不够令人满意。
由拟和结果及模拟效果图可知，固有增长率r=0.56073，最大容量N=652.46，初始值x_0=15，误差平方和等于1353.5，计算结果以及模拟效果图和模拟误差图表明，非线性拟合能够更好地用离散阻滞增长模型模拟酵母培养物生物量的变化趋势，误差平方和比线性拟合明显下降。
另外最大容量N 的估计值也比线性拟合更合理。
总之，非线性拟合的模拟效果比较令人满意。
今后计算差分方程的数据拟合问题，一般都采用这种非线性拟合方法。