结构受力分析

第9章组合变形

9.1 组合变形的概念

9.1.1 组合变形的概念

在工程实际中，由于结构所受载荷是复杂的，大多数构件往往会发生两种或两种以上的基本变形称这类变形为组合变形。如图9.1所示的挡土墙，除由本身的自重而引起压缩变形外，还由于土壤水平压力的作用而产生弯曲变形。在建筑和机械结构中，同时发生几种基本变形的构件是很多的。

图9.1 图9.2

图9.2所示，工业厂房中的柱子，由于承受的压力并不通过柱的轴线，加上桥式吊车的小车水平刹车力、风荷等，也产生了压缩与弯曲的联合作用；图9.3所示，屋架上的檩条，由于载荷不是作用在檩条的纵向对称平面内，因而产生了非平面弯曲变形；图9.4所示，直升飞机的螺旋杆承受拉伸与扭转的两种变形。雨篷过梁、圆弧梁也同时发生了扭转和弯曲两种变形。

图9.3 图9.4

当杆件的某一截面或某一段内，包含两种或两种以上基本变形的内力分量时，其变形形式称为组合变形。

9.1.2 组合变形的分析方法及计算原理

在小变形和材料服从胡克定律的前提下，处理组合变形问题的方法是，首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。

解决组合变形计算的基本原理是叠加原理，即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，每一种基本变形都是各自独立、互不影响的。因此计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。本章着重讨论组合变形杆件的强度计算方法。

9.2 斜弯曲

9.2.1斜弯曲的概念

在前面章节已经讨论了平面弯曲问题，对于横截面具有竖向对称轴的梁，当所有外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内（即主形心惯性平面）内时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线，因而称之为平面弯曲。如图9.5（a）所示屋架上的檩条梁，其矩形截面具有两个对称轴（即为主形心轴）。从屋面板传送到檩条梁上的载荷垂直向下，载荷作用线虽通过横截面的形心，但不与两主形心轴重合。如果我们将载荷沿两主形心轴分解（图9.5b），此时梁在两个分载荷作用下，分别在横向对称平面（oxz平面）和竖向对称平面（oxy平面）内发生平面弯曲，这类梁的弯曲变形称为斜弯曲，它是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。

图9.5

9.2.2斜弯曲时杆件的内力、应力的计算

现以矩形截面悬臂梁为例，如图9.6（a）所示。矩形截面上的y、z轴为主形心惯性轴。设在梁的自由端受一集中力F的作用，力F作用线垂直于梁轴线，且与纵向对称轴y成一夹角 ，当梁发生斜弯曲时，求梁中距固定端为x的任一截面mm上，点c（y、z）处的应力。

图9.6

将力F 沿主形心惯性轴分解为两个分力

cos y F F ?=， ?s i n F F z =

由y F 和z F 在截面mm 上产生的弯矩为

()()cos cos ()()sin sin z y y z M F l x F l x M M F l x F l x M ????=-=-=???=-=-=??

M

z M 和y M 的转向如图9.6（b ）所示，分弯矩与总弯矩的矢量合成关系用右手螺旋法则的双箭头表示，如图9.6（c ）所示。在截面mm 上还存在剪力Qy F 、Qz F ,但对一般实体截面梁而言，引起切应力数值较小，故在强度和刚度计算中可不必考虑。

图9.6梁的任意横截面mm 上任一点C (y ，z )处，由弯矩z M 和y M 引起的正应力分别为

σ'=cos z Z z

M M y y I I ?=? σ''=sin y

y y

M M z z I I ??=? 于是，由叠加原理，在y F ，z F 同时作用下，截面mm 上C 点处的总的正应力

y z z y

M M y z I I σσσ'''=+=+? cos sin ()z y

M y z I I ??=+ （9.1） 公式（9.1）是梁在斜弯曲情况下计算任一横截面上正应力的一般表达式。式中，z I 和y I 分别为横截面对称轴z 和y 的惯性矩；z M 和y M 分别是截面上位于铅垂和水平对称平面的弯矩，其矩矢分别与z 轴和y 轴正向相一致。该公式适用于具有任意支承形式和在通过截面形心且垂直于梁轴的任意载荷作用下的梁。在应用此公式时，可以先不考虑弯矩z M ，y M 和坐标y ，z 的正负号，以其绝对值代入式中，σ'和σ''的正负号可根据杆件弯曲变形情况

确定，即求应力的点位于弯曲拉伸区，则该项应力为拉应力，取正号；若位于压缩区，则为压应力，取负号。

9.2.3 斜弯曲时的强度条件

在工程设计计算中，梁在斜弯曲情况下，梁的强度计算仍是以最大正应力作为控制因素。首先確定危险截面和危险点的位置。由图9.6（a ）可以看出，在悬臂梁固定端截面A 处弯矩z M 和y M 均达到最大值，故该截面是危险截面。但要確定此截面上最大正应力所在点的位置，就必须確定该截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y 0，z 0代表中性轴上任一点的坐标，将其代入公式（9.1），即有0=σ。于是得

cos sin ()o o z y

M y z I I ??σ=+=0 或 cos sin 0o o z y

y z I I ??+= （9.2）

图9.7

公式（9.2）是斜弯曲时横截面中性轴方程的普遍形式。从上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线，只要定出该直线的斜率（或倾角θ），就可以决定中性轴的位置，从图9.7（a ）可以看出

tan tan y o z z o z y y

M y I I z M I I θ?==?= (9.3) 式中，角度?是横截面上合成弯矩M 的矢量与z 轴间的夹角。在一般情况下，梁截面的两个主惯性矩并不相等，即,z y I I θ?≠≠，因而中性轴与合成弯矩M 所在的平面（或外力作

用平面）并不相互垂直。梁轴线变为曲线将不在合成弯矩所在的平面内，这是斜弯曲与与平面弯曲的区别处。显然，对于圆形、正方形、正三角形或正多边形等z y I I =的截面，所有通过形心的轴都是主轴，这时?θ=，中性轴总与外力作用面相垂直，即外力无论作用在哪个纵向平面内，梁只发生平面弯曲。

梁的最大正应力显然会发生在最大弯矩所在截面上离中性轴最远的点处。当中性轴的位置確定后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面周边相切于D 1、D 2两点（图9.7a ），该两点即分别为截面上的最大拉应力和最大压应力的点，其总的正应力分布如图9.7（b ）所示。将最大弯矩max M 和两点的坐标（y ,z ）代入式（9.1），可以得到

max max 11cos sin ()z y

M y z I I ??σ=+ min max 22cos sin (

)z y M y z I I ??σ=-+ 对于工程中常用的，具有棱角的横截面（如矩形、工字形、槽形等），在计算最大正应力时，可以不必先确定中性轴的位置，而直接根据两个相互垂直的平面弯曲的正应力分布情况，直观判断正应力最大点的位置，用叠加原理来计算出最大正应力的值，如图9.7(a)可得 ,max ,max

max max max y z z

y M M y Z I I σ=+ =,max ,max

z y z y M M W W + (9.4)

因斜弯曲时，危险点处于单向应力状态，故强度条件为

][max σσ≤ （9.5）

式（9.4）中，

,max y I W z z = m a x

z I W y y =

利用（9.5）式，可进行强度校核、截面设计和确定许可荷载。但是，在设计截面尺寸

时，要遇到z W 和y W 两个未知数，通常先假设一个y

z W W 的比值，根据强度条件式（9.5）计算出构件所需的z W 值，从而确定截面尺寸及计算出y W 的值，再按式（9.5）进行强度校核。对于不同的截面形状，y

z W W 的比值可按下述范围选取： 矩形截面：

22.1-==b h W W y z ； 工字形截面： 108-==b

h W W y z ； 槽矩形截面：

86-==b h W W y z ； 例题9.1 图（a ）所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2，两屋架之间的距离为4m ，木檩条梁的间距为1.5m ，屋面重（包括檩条）为1.4kN/m 2。若木檩条梁采用120mm×180mm 的矩形截面，许用应力[σ]=10MPa ，试校核木檩条梁的强度。

例题9.1图

解：1、将实际结构简化为计算简图

屋面以上的重量是通过檩条传递给屋桁架的。檩条放在两层架之间的上弦杆上，因而可以简化为一根简支梁,其计算跨度l =4m ，檩条上受的均布载荷q =1.4kN/㎡×1.5m=2.1kN/m ，其檩条梁的计算简图如图（b ）和图（c ）所示。

2、内力及截面惯性矩的计算

8

m 4N/m 101.282232max ??==ql M m kN 2.44200?==Nm

屋面坡度为1:2,即1tan 2

?=,2634?'=o 447.0sin =? 894

.0c o s =? 惯性矩为

33

84120mm (180mm)0.58310mm 1212

z bh I ?===? 440.58310m -=?

33

84180mm (120mm)0.25910mm 1212

y hb I ?===? mm 602

z mm,902max max ====

b h y 3、强度校核 max max max max (cos sin )z y

y Z M I I σ??=+ )447.0m 10259.0m 1060894.0m 10583.0m 1090(42004

43443???+?????=----m N =10.16×106N/㎡=10.16MPa ＞[]a MP 10=σ

但最大工作应力max σ不超过许用应力[σ]的5%，故满足强度要求。

9.3 杆件偏心压缩（拉伸）的强度计算

作用在杆件上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，杆件就受到偏心受压（拉伸）。对这类问题，仍然运用叠加原理来解决。

9.3.1 单向偏心压缩（拉伸）

图9.8（a ）所示的柱子，荷截F 的作用与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e 称为偏心距。偏心力F 通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心受压。

图9.8

（1）荷载简化和内力计算

将偏心力F 向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力F 和一个力偶矩m F e =?的力偶，如图9.8（b ）所示。可见，偏心压缩实际上是轴向压缩和平面弯曲的组合变形。

运用截面法可求得任意横截面n m -上的内力。由图9.8（c ）可知，横截面n m -上的内力为轴力N F 和弯矩M ，其值分别为：

N F F =

z M F e =?

显然，偏心受压的杆件，所有横截面的内力是相同的。

（2）应力计算

对于该横截面上任一点K （图9.9），由轴力N F 所引起的正应力为：

图9.9

N F A

σ'=- 由弯矩z M 所引起的正应力为：

z

Z I y M -=''σ 根据叠加原理，K 点的总应力为：

N Z z

F M y A I σσσ'''=+=-- （9.6） 式中弯曲正应力σ''的正负号由变形情况判定。当K 点处于弯曲变形的受压区时取负值，处于受拉区时取正号。

（3）强度条件

从图图9.9（a ）中可知：最大压应力发生在截面与偏心力F 较近的边线n n -线上；最大拉应力发生在截面与偏心F 较远的边线m m -线上。其值分别为：

min max max max Z c Z Z l Z M F A W M F A W σσσσ?==

+????==-+??

（9.7） 截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为：

min max max max [][]Z c c Z Z l t Z M F A W M F A W σσσσσσ?==+≤????==-+≤??

（9.8） 对于单向偏心压缩，从图9.9（a ）可以看出，中性轴是一条与z 轴平行的直线N N -。

（4）讨论

下面来讨论当偏心受柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距e 之间的关系。

图9.9（a ）所示的偏心受压柱，截面尺寸为h b ?，bh A =，6

2

bh W z =，z M F e =?，将各值代入式（9.7），得：

max 26(1)6

F F e F e bh bh bh h

σ?=-+=-- （9–9） 边缘m m -上的正应力max σ的正负号，由上式中)61(h e -

的符号决定，可出现三种情况： ①当

h

e 6＜1，即e ＜6h 时，max σ为压应力。截面全部受压，截面应力分布图9.10（a ）所示。

图9–10

②当壁h

e 6=l ，即e =6h 时，max σ为零。截面全部受压，而边缘m m -上的正应力恰好为零，截面应力分布如图9.10（b ）所示。

③当h

e 6＞l ，即e ＞6h 时，max σ为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布如图9.10(c)所示。

可见，截面上应力分布情况随偏心距e 而变化，与偏心力F 的大小无关。当偏心距e ≤

6h 时，截面全部受压；当偏心距e ＞h

e 6时，截面上出现受拉区。 例题9.2 如图12.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力F 1=l00kN ，吊车梁传来的压力F 2=50kN ，F 2的偏心距e =0.2m 。已知截面宽b —200mm ，试求：

(1)若h =300mm ，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少?

(2)欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h 应为多少?在确定的h 尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少?

例题9.2图

解 1、内力计算

将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为

12(10050)150N F F F kN kN =+=+=

截面的弯矩为

2500.210z M F e kN m kN m =?=??=?

2、计算max max c l σσ和

由式（9.7）得

36max 2

1501010102003002003006N z l z F M MPa A W σ?? ???=-+=-+ ??? ? ??

?

MPa MPa 83.0)33.35.2(=+-= max ( 2.5 3.33) 5.83N z c z

F M MPa MPa A W σ-=-=--=- 3、确定h 和计算m ax c σ

欲截面不产生拉应力，应满足max l σ≤0，即

N z z

F M A W -+≤0 6

20010102001015026

3h

h ?+?-≤0 则取：mm h 400≥ mm h 400=

当mm h 400=时，截面的最大压应力为

36max 2

1501010102004002004006N Z c Z F M MPa A W σ?? ???=--=-- ??? ? ??

?

MPa MPa 75.3)875.1875.1(-=--= 对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。这一类问题与偏心压缩(拉伸)相类似，下面通过例题来说明。

例9.3 图（a ）所示的悬臂式起重架，在横梁的中点D 作用集中力15.5F kN =，横梁材料的许用应力MPa 170][=σa 。试按强度条件选择横梁工字钢的型号（自重不考虑）。

例题9.3图

解 1、计算横梁的外力

横梁的受力图如图（b ）所示。为了计算方便，将拉杆BC 的作用力NBC F 分解为Bx F 和By F 两个分力。由平衡方程解得

7.752

AY by F F F kN === 3.4ct 7.7517.571.5AX Bx By F F F ga kN kN ===?

= 2、计算横梁内力

横梁在AY F 、F 和By F 的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面D 的弯矩最大，其值为：

m kN m kN Fl M ?=??==18.134

4.3

5.154max 横梁在AX F 和Bx F 作用下产生轴向压缩，各截面的轴力都相等，其值为：

17.57N AX F F kN ==

3、选择工字钢型号

由式（9.8），有：

max max []N c z

F M A W σσ=--≤ 由于式中A 和Z W 都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力F N 的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由：

][max max σσ≤=z

W M

得 33336

max 5.77105.77170

1018.13][cm mm mm M W z =?=?=≥σ 查型钢表，选择14号工字钢，3

102cm W z =，25.21cm A =。 根据式（9.8）校核，有

36max max 2317.571013.1810137[]21.51010210

N c z F M MPa MPa A W σσ??=--=--=

9.3.2 双向偏心压缩（拉伸）

当偏心压力F 的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩。如图9.11（a ）所示，偏心压力F 至Z 轴的偏心距为y e ，至y 轴的偏心距为z e 。

（1）荷载简化和内力计算

将压力F 向截面的形心O 简化，得到一个轴向压力F 和两个附加力偶矩z m 、y m 如图

9.11（b ）所示，其中：

z y m F e =?， y z m F e =?

可见，双向偏心压就是轴向缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。

由截面法可求得任一截面ABCD 上的内力为：

N F F =， Z y M F e =?， y z M F e =?

（2）应力计算

对于该截面上任一点K 如图9.11c 的应力。

由轴力N F 所引起的正应力为：

N F A

σ'=- 由弯矩z M 所引起的正应力为：

z

Z I y M -=''σ 由弯矩y M 所引起的正应力为：

y y I z M -

='''σ

根据叠加原理，K 点的总应力为：

y N Z z y

M z F M y A I I σσσσ''''''=++=--- （9.10） 式中弯曲应力σ''和σ'''的正负号，可根据变形情况直接判定，如图9.11（c ）所示。

图9.11

（3）强度条件

由图9.11（c ）可见，最大压应力min σ发生在C 点，最大拉应力max σ发生在A 点，其值为

min max max max y N Z c Z y y N Z l Z y M F M A W W M F M A W W σσσσ?==-

--????

==-++??

（9.11） 危险点A 、C 均处于单向应力状态，所以强度条件为：

min max max max [][]y N Z c c Z y y N Z l l Z y M F M A W W M F M A W W σσσσσσ?==---≤????==-++≤??

（9.12） 单向偏心受压是双偏心受压的特殊情况，当偏心压力通过截面形心主轴时，即y e 和z e 。

9.3.3 截面核心

在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力F 的偏心距小于某一值时，横载面上的正应力全部为压应力，而不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷载作用区域称为截面核心。土建工程中大量使用的砖、石、混凝土材料，其抗拉能力远低于抗压能力。对于这类材料做成的偏心受压构件，应当力求整个截面上只出现压应力，而不出现拉应力，这就要求荷载必须作用在截面核心内。

在图9.12中画出了圆形、矩形、工字形和槽形等四种截面的截面核心，其中A I i y y =2，A

I i Z y =2。

图9.12

本章小结

1、组合变形是由两种以上的基本变形组合而成的。解决组合变形问题的基本原理是叠加原理。即在材料服从虎克定律的小变形的前提下，将组合变形分解为几个基本变形的组合。

2、组合变形的计算步骤：

（1）简化或分解外力。目的是使每一个外力分量只产生一种基本变形。通常是将横向力沿

截面形心主轴分解；纵向力向截面形心平移。

（2）分析内力。按分解后的基本变形计算内力，明确危险截面位置及危险面上的内力方向。

（3）分析应力。按各基本变形计算应力，明确危险点的位置，用叠加法求出危险点应力的大小，从而建立强度条件。

3、主要公式

（1）斜弯曲是两个相互垂直平面内的平面弯曲组合。强度条件为：

][max max max σσ≤+=y

y z z W M W M （2）压缩（拉伸）是轴向压缩（拉抻）和平面弯曲的组合。单向偏心压缩（拉伸）的强度条件为：

max []N Z l l Z

F M A W σσ=-+≤ []max N Z c c Z

F M A W σσ=--≤ (3) 双向偏心压缩（拉伸）的强度条件为：

max []y N Z l l Z y

M F M A W W σσ=-++≤ ][min c y

y z z N c W M W M A F σσ≤---= 在应力计算中，各基本变形的应力正负号最好根据变形情况直接确定，然后再叠加，比较简便不易发生错误。要避免硬套公式。

4、截面核心

当偏心压力作用点位于截面形心周围的一个区域内时，横截面上只有压应力而没有拉力，这个区域就是截面核心。“截面核心”在土建工程中是较为有用的概念。

思考题

9.1 思考题图9.1为等截面直杆的矩形和圆形横截面，受到弯矩y M 和z M 的作用，它们的最大正应力是否都可以用公式max y

z y z

M M W W σ=+计算？为什么？

思考题9.1图

9.2 拉压和弯曲的组合变形，与偏心拉压有何区别和联系？

9.3 试问图示各折杆各段的组合变形形式。

思考题9.3图

习 题

9.1试判断图中杆AB 、BC 、CD 各产生哪些基本变形？

题图9.1

9.2图示檩条两端简支于屋架上，檩条的跨度m l 4=，承受均布荷载m kN q /2=，矩形截面cm cm h b 2015?=?，木材的许用应力MPa 10][=σ，试校核檩条的强度。

9.3图示简支梁、选用25a 号工字钢。作用在跨中截面的集中荷载5F kN =，其作用线与截面的形心主轴y 的夹角为30°，钢材的许用应力MPa 160][=σ，试校核此梁的强度。

题图9.2 题图9.3

9.4由木材制成的矩形截面悬臂梁，在梁的水平对称面内受到1800F N =作用，在铅直对称面对受到21650F N =，木材的许用应力MPa 10][=σ。若矩形截面b h 2=，试确定其截面尺寸。

9.5链环如图所示，已知直径mm d 50=，接力10F kN =。试求链环的最大正应力。

9.4由木材制成的矩形截面悬臂梁，在梁的水平对称面内受到1800F N =作用，在铅直对称面对受到21650F N =，木材的许用应力MPa 10][=σ。若矩形截面b h 2=，试确定其截面尺寸。

题图9.4 题图9.5