【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 第2讲 数形结合思想课件 文
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[试题调研] [例2] (2014· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学
log21－x＋1，－1≤x<k， 高三联考)已知函数f(x)＝ 3 x －3x＋2，k≤x≤a，
若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是 ( ) A．[ 3，＋∞) C．(0， 3]
b ∴a≥ 3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2.
(2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知x，y满足约束条件 x≥0， 3x＋4y≥4， y≥0，
16 答案：25
则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．
在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那 么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．
(1)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以 避免繁琐的运算，获得简捷地解答． (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、 最低点的纵坐标．
解析：由定义可知，
2x－1x，x≤0， f(x)＝ －x－1x，x>0.
作出函数f(x)的图象，如图所示． 由图象可知， 1 当0<m< 4 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3. 不妨设x1<x2<x3， 1 易知x2>0，且x2＋x3＝2× ＝1， 2
[回访名题] 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝
2 a －ab，a≤b， 2 b －ab，a>b.
设
f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互 不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
1－ 答案： 16 3 ，0
＝1上存在点N，使得∠OMN＝45° ，则x0的取值范围是 ________．
[思路方法] 处理直线与圆的位置关系问题，“数形结合” 是最为重要的思想与方法．对于几何中的存在性问题，常考虑 与之相关的“临界”情况．本题中有两处用到“临界思想”： 一是圆上任意一点N对应的∠OMN的大小——最小为0° ，最大 为∠OMP，从而使问题得到有效转化；二是∠OMP≥45° 的临界 值——∠OMP＝45° ，利用此临界值“转动为定”，求出x0的临 界值，再结合图形即得到x0的取值范围．
由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切 时，x2＋y2取得最小值， |－4| 4 即 x ＋y ＝ 5 ＝5，
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
16 所以(x ＋y )min＝ . 25
2 2
答案：B
解析：f(x)＋xf′(x)>0，即[xf(x)]′>0，说明xf(x)在(0，＋∞) 上单调递增，又f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数，有一个零点 为3.令g(x)＝0，得xf(x)＝－lg|x＋1|，在同一坐标系内画出两函 数图形，如图，
可知g(x)共有3个零点．
数形结合解决求参数范围及不等式问题
[试题调研] [例1] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且
当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)
1 3 －f(x)在－2，2上的零点个数为(
) C．7 D．8
A．5
B．6
[思路方法]
[回访名题] (1)(2013· 天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
1 可得|log0.5x|＝2x. 1 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝ 2 x，在同一坐标系下分别画出函数
[答案] [－1,1]
[解析] '由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝ 1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在 ∠OMN＝45° ，只需∠OMP≥45° .特别地，当∠OMP＝45° 时， 有x0＝± 1.结合图象可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
[回访名题] x2 y2 (1)已知双曲线 a2 － b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此 双曲线离心率的取值范围是( A．(1,2] C．[2，＋∞)
答案：C
) B．(1,2) D．(2，＋∞)
b 解析：(1)∵渐近线y＝ x与过焦点F的直线l平行，或渐近线 a 从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有一个 交点，如图，
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问 题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技 巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求 我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速 度．具体操作时，应注意以下几点：
[答案] B
1 B.2， 3
D．{2}
[解析]
先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<k的图象，
再研究f(x)＝x3－3x＋2，k≤x≤a的图象，如图．
令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，当x>1时，f′(x)>0，当－ 1<x<1时，f′(x)<0， ∴当x＝1时，f(x)在(－1，＋∞)上取得最小值f(1)＝0，又 1 f( 3 )＝2，若存在k使f(x)的值域是[0,2]，a只需满足 <a≤ 3 .故 2 选B.
3．数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关 系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和 证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题；
[二轮备考讲义]
第一部分
数学思想方法专题大突破
第二讲
数形结合思想
思想方法
归纳概括
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
1．数形结合的数学思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致 可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之 间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图 象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如 应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
(2)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根 式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法， 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表 达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后 在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方 程解的个数．
g(x)，h(x)的图象，如图所示．
可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个 零点．
(2)(2014· 山西名校二模)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3) ＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x) ＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( A．4 B．3 C．2 D．1 )
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域； (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是 一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数 式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作 图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．
5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以 下四点 (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征； (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
(1)如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要 考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比 较常见的对应有： b－n ① ↔(a，b)，(m，n)连线的斜率； a－m ② a－m2＋b－n2↔(a，b)，(m，n)之间的距离． (2)在解析几何中的一些范围及最值问题中，常根据图形的 性质结合几何概念进行相互转换，使问题得到简便快捷地解 决．
先由f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)可得出函数f(x)
为T＝2的偶函数，然后结合g(x)可转化为x2＝|cos (πx)|，分区间 结合图象交点个数进行求解．
[答案] B
[解析]
根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，且
0≤x≤1时，f(x)＝x3， 则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3， 且g(x)＝|xcos(πx)|， 所以当x＝0时，f(x)＝g(x)． 1 当x≠0时，若0<x≤2， 则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cos(πx)|.
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则 (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质转换 必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局 限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一 种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口， 恰当设参、用参，建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件， 准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选 择动直线与定二次曲线．
(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； (4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题 几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何 意义，往往能达到事半功倍的效果．
热点盘点
细研深究
必须回访的热点名题
数形结合解决函数零点(方程的根)的个数问题
1 1 3 同理可得在区间－2，0，2，1，1，2上的关系式都是上
式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象， 如图所示，有5个根，所以总共有6个．
(1)研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数 形结合的方法．一般地，方程f(x)＝0的根，就是函数f(x)的零 点，方程f(x)＝g(x)的根，就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横 坐标．
1 ∴x2x3< . 4 1 2x－1x＝ ， 4 令 x<0， 1－ 3 1＋ 3 解得x＝ 4 或x＝ 4 (舍去)． 1－ 3 ∴ 4 <x1<0， 1－ 3 ∴ 16 <x1x2x3<0.
数形结合在解析几何中的应用
[试题调研] [例3] (2014· 全国新课标Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2
log21－x＋1，－1≤x<k， 高三联考)已知函数f(x)＝ 3 x －3x＋2，k≤x≤a，
若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是 ( ) A．[ 3，＋∞) C．(0， 3]
b ∴a≥ 3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2.
(2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知x，y满足约束条件 x≥0， 3x＋4y≥4， y≥0，
16 答案：25
则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．
在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那 么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．
(1)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以 避免繁琐的运算，获得简捷地解答． (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、 最低点的纵坐标．
解析：由定义可知，
2x－1x，x≤0， f(x)＝ －x－1x，x>0.
作出函数f(x)的图象，如图所示． 由图象可知， 1 当0<m< 4 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3. 不妨设x1<x2<x3， 1 易知x2>0，且x2＋x3＝2× ＝1， 2
[回访名题] 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝
2 a －ab，a≤b， 2 b －ab，a>b.
设
f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互 不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
1－ 答案： 16 3 ，0
＝1上存在点N，使得∠OMN＝45° ，则x0的取值范围是 ________．
[思路方法] 处理直线与圆的位置关系问题，“数形结合” 是最为重要的思想与方法．对于几何中的存在性问题，常考虑 与之相关的“临界”情况．本题中有两处用到“临界思想”： 一是圆上任意一点N对应的∠OMN的大小——最小为0° ，最大 为∠OMP，从而使问题得到有效转化；二是∠OMP≥45° 的临界 值——∠OMP＝45° ，利用此临界值“转动为定”，求出x0的临 界值，再结合图形即得到x0的取值范围．
由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切 时，x2＋y2取得最小值， |－4| 4 即 x ＋y ＝ 5 ＝5，
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
16 所以(x ＋y )min＝ . 25
2 2
答案：B
解析：f(x)＋xf′(x)>0，即[xf(x)]′>0，说明xf(x)在(0，＋∞) 上单调递增，又f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数，有一个零点 为3.令g(x)＝0，得xf(x)＝－lg|x＋1|，在同一坐标系内画出两函 数图形，如图，
可知g(x)共有3个零点．
数形结合解决求参数范围及不等式问题
[试题调研] [例1] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且
当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)
1 3 －f(x)在－2，2上的零点个数为(
) C．7 D．8
A．5
B．6
[思路方法]
[回访名题] (1)(2013· 天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
1 可得|log0.5x|＝2x. 1 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝ 2 x，在同一坐标系下分别画出函数
[答案] [－1,1]
[解析] '由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝ 1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在 ∠OMN＝45° ，只需∠OMP≥45° .特别地，当∠OMP＝45° 时， 有x0＝± 1.结合图象可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
[回访名题] x2 y2 (1)已知双曲线 a2 － b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此 双曲线离心率的取值范围是( A．(1,2] C．[2，＋∞)
答案：C
) B．(1,2) D．(2，＋∞)
b 解析：(1)∵渐近线y＝ x与过焦点F的直线l平行，或渐近线 a 从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有一个 交点，如图，
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问 题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技 巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求 我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速 度．具体操作时，应注意以下几点：
[答案] B
1 B.2， 3
D．{2}
[解析]
先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<k的图象，
再研究f(x)＝x3－3x＋2，k≤x≤a的图象，如图．
令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，当x>1时，f′(x)>0，当－ 1<x<1时，f′(x)<0， ∴当x＝1时，f(x)在(－1，＋∞)上取得最小值f(1)＝0，又 1 f( 3 )＝2，若存在k使f(x)的值域是[0,2]，a只需满足 <a≤ 3 .故 2 选B.
3．数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关 系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和 证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题；
[二轮备考讲义]
第一部分
数学思想方法专题大突破
第二讲
数形结合思想
思想方法
归纳概括
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
1．数形结合的数学思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致 可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之 间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图 象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如 应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
(2)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根 式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法， 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表 达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后 在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方 程解的个数．
g(x)，h(x)的图象，如图所示．
可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个 零点．
(2)(2014· 山西名校二模)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3) ＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x) ＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( A．4 B．3 C．2 D．1 )
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域； (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是 一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数 式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作 图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．
5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以 下四点 (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征； (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
(1)如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要 考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比 较常见的对应有： b－n ① ↔(a，b)，(m，n)连线的斜率； a－m ② a－m2＋b－n2↔(a，b)，(m，n)之间的距离． (2)在解析几何中的一些范围及最值问题中，常根据图形的 性质结合几何概念进行相互转换，使问题得到简便快捷地解 决．
先由f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)可得出函数f(x)
为T＝2的偶函数，然后结合g(x)可转化为x2＝|cos (πx)|，分区间 结合图象交点个数进行求解．
[答案] B
[解析]
根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，且
0≤x≤1时，f(x)＝x3， 则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3， 且g(x)＝|xcos(πx)|， 所以当x＝0时，f(x)＝g(x)． 1 当x≠0时，若0<x≤2， 则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cos(πx)|.
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则 (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质转换 必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局 限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一 种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口， 恰当设参、用参，建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件， 准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选 择动直线与定二次曲线．
(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； (4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题 几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何 意义，往往能达到事半功倍的效果．
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数形结合解决函数零点(方程的根)的个数问题
1 1 3 同理可得在区间－2，0，2，1，1，2上的关系式都是上
式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象， 如图所示，有5个根，所以总共有6个．
(1)研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数 形结合的方法．一般地，方程f(x)＝0的根，就是函数f(x)的零 点，方程f(x)＝g(x)的根，就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横 坐标．
1 ∴x2x3< . 4 1 2x－1x＝ ， 4 令 x<0， 1－ 3 1＋ 3 解得x＝ 4 或x＝ 4 (舍去)． 1－ 3 ∴ 4 <x1<0， 1－ 3 ∴ 16 <x1x2x3<0.
数形结合在解析几何中的应用
[试题调研] [例3] (2014· 全国新课标Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2