数学在材料科学中的应用

数学在材料科学中的应用

材料科学作为21世纪的重要基础科学之一，同样离不开数学。通过建立适当的数学模型对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。

从材料的合成、加工、性能表征到材料的应用都可以建立相应的数学模型。在材料工程领域，实验是非常重要的手段，但现在认为，除了实验方法之外，数学模型也起着同样重要的作用，甚至是更好的一种方法。从材料设计上来看，要进行理论设计首先要建立正确的数学模型，这样才能设计出具有优良性能、工艺可行的材料。在生产过程中，为了分析和改进生产中出现的问题，先建立适当的数学模型，然后在计算机上进行模拟计算来代替实验，可以节约人力、物力和财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。

一个数学建模就是某事物规律的一种表现，建立数学模型的过程就是数学建模的过程，应用数学模型就是对某事物的一个数学模拟过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。按照建立模型的数学方法分，可以分

为初等模型，图论模型，规划论模型，微分方程模型，最优控制模型，随机模型，模拟模型。随机模型是根据概率论的方法讨论描述随机现象的数学模型。

例如描述高分子材料链式化学反应的数学模型。模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。例如在材料科学采用非牛顿流体力学和流变学来描述高聚物加工过程、建立液晶高分子材料本构方程。在材料科学中常用的数学建模方法有理论分析法、模拟方法、类比分析法、数据分析法。理论分析法指应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。

在工艺比较成熟，对机理比较了解时，可采用理论分析法。根据问题的性质可直接建立模型。例：在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。模拟方法：模型的结构和性质已经了解，但其数量及其求解却相当麻烦。

如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。分为：实验模型来模拟理论模型和简单理论模型来模拟分析较复杂理论模型。类比分析法：若两

个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。例在聚合物结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程。数据分析法：当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。回归方程是处理这类问题的有利工具