一次函数追击问题培训课件
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人教版七年级上册数学：实际问题与一元一次方程相遇追及问题打印ppt课件
AB 36千米
甲
乙
2 、解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速 度向目的地前进，8小时后部队有急事，派通讯员 骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络．多长 时间后，通讯员能赶上队伍？
家
4×0
4X
.5
8 X
学校
地追 及
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别
线段图分析：
停靠在相距115千米的
A
B
甲、乙两地，A车每小
老师寄语：
千里之行始于足下， 抓住今天就是成功的开始。
任何事，只要努力就精彩！
人教版七年级上册数学：实际问题与 一元一 次方程 相遇追 及问题 打印ppt 课件
列方程是解决实际问题的有效途径之一
1、审题：分析题意，找出题中的已知量、 未知量 及其 相等关系 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（如X） 3、列方程：根据题意找出的相等关系列出方程 4、解方程：求出未知数的值 5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形 6、答：写出答案
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
●
列方程：5x + 400 = 7.5x
相等关系： 小王路程 + 400 = 叔叔路程
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的
线段图分析：
甲、乙两地，A车每小
A
B
时行50千米，B车每小
甲
乙
时行30千米，A车出发
1.5小时后B车再出发。
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追及问题PPT课件
小胖X分钟后行的路程
爸爸
170米/分
爸爸追上小胖用了X分钟
离学校还有多远？ 学校
CHENLI
8
*拓展.
小胖家离学校1000米，小胖早上以70米/分的速度 从家出发去学校上学，5分后，小胖的爸爸发现他忘了带语文书。 于是，爸爸立即以170米/分的速度去追小胖，并且在途中追上了他。 爸爸追上小胖用了多长时间？追上小胖时，离学校还有多远？
24个
8x个
14x个
CHENLI
7
*拓展.
小胖家离学校1000米，小胖早上以70米/分的速度 从家出发去学校上学，5分后，小胖的爸爸发现他忘了带语文书。 于是，爸爸立即以170米/分的速度去追小胖，并且在途中追上了他。 爸爸追上小胖用了多长时间？追上小胖时，离学校还有多远？
70米/分
小胖
5分钟行的路程 家
CHENLI
9
CHENLI
10
小胖上学时忘了带文具盒，爸爸发现时，小胖刚好离家512米， 正以72米/分的速度走向学校，爸爸骑车以200米/分的速度追赶， 爸爸几分钟后在途中追上小胖？
小胖
爸爸 第一段路程512米
（ 第二段路程 ）
（ 爸爸一共行的路程 ）
等量关系：
小胖第一段路程+小胖第二段路程 = 爸爸一共行的路程
512米
72x米
200米
5x米
5x170 米
CHENLI
6
（2）师徒两人加工同样的零件。徒弟每小时做8个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 师傅每小时做14个，徒弟先做了24个后，师傅做了几小时后， 师徒两人做的零件数量相等？
（ 徒弟 ） （ 先做24个 ） ( x小时后做的零件)
（ 师傅 ）
一次函数课件ppt
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数 ，因为它们的图像不关于原点或 y 轴 对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常 数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数； 当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截 距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解 析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解 函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达 式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论 ，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程 度，当 a > 0 时，图像向 右倾斜；当 a < 0 时，图 像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时 ，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于 任意实数 x，y = ax + b 总有一个对 应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图 像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右 上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从 左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、 价格与数量的关系等。
人教版七年级上册3.4实际问题与一元一次方程(追及问题)课件22精选优质 PPT
（1） 客车 实际问题与一元一次方程
（1）设爸爸追上小明用了x分钟,
货车
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。
（1）设爸爸追上小明用了x分钟,
A 设经过x小时甲车追上乙车,
于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了她。
B
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。
两爸匹爸马 走赛的跑路，程黄=1色80马x 的速度慢是6m者/s，先棕走色马的的速路度程是7+m慢/s，者如果后让黄走马的先跑路5m程，棕=色快马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？ 者走的路程 爸爸走的路程=180x
求甲、乙二人的速度各是多少？ 小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。 （1）设爸爸追上小明用了x分钟, 小明前5分钟走的路程=80×5
（1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
（1）设爸爸追上小明用了x分钟,
从爸爸出发到追上小
小明前5分钟走的路程=80×明5，这段时间内小明 走的路程=80x
爸爸走的路程 =180x
等量关系：80×5＋80x＝180x
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/ 分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即 以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（答2：）棕两色辆马汽5车秒同后向可而以行追则，上货黄甲车色车先马开。x3小h,客时车从跑A站的经路B站程多少为小时7可0x追千上货米车？，乙车x小时跑 （1）设爸爸追上小明用路了x程分钟为, 55x千米。 根据题意 45+55x=70 A、B两站间的路程为45千米．甲、乙两车同时分别从A、B两站出发，速度分别是每小时70千米和每小时55千米，两车同向而行。
《一次函数》PPT课件(第1课时)
探究新知 观察以上出现的四个函数解析式，它们是不是正比例函
数，那么它们共同的特征如何表示呢？ （1） c = 7 t - 35 （2） G = h -105 （3） y = 0.1 x + 22 （4） y = -5 x + 50
y = k(常数)x + b（常数）
探究新知
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫 做一次函数.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
探究新知
知识点 2 利用一次函数解答实际问题
汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升,
求油箱的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的
函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：y
50
9 50
x,
自变量x的取值范围是0≤x≤
2500 9
.
函数
y
50
9x 50
，是x的一次函数.
巩固练习
如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm. (1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x，是一次函数. (2)由题意可得x=2（15-x）. 解得x=10，所以y=15-x=5. ∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
课堂检测
拓广探索题
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？
如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，
追及问题PPT课件
———————— = ————————
2020年10月2日
3
相等关系：
通讯员行进路程 学生行进路程
———————— = ————————
2020年10月2日
4
变化（1）：
• 一队学生去校外进行军事野营训练。他 们以5km/h的速度行进，走了18分的时 候，学校要将一个紧急通知传给队长。 通讯员从学校出发，骑自行车以 14km/h的速度按原路追上去。队长出 发后经过多少时间接到通知？
2020年10月2日
5
变化（2）：
• 一队学生去校外进行军事野营训练。他 们以5km/h的速度行进，走了18分的时 候，学校要将一个紧急通知传给队长。 通讯员从学校出发，骑自行车以 14km/h的速度按原路追上去。当通讯 员追上学生队伍时，他们已经走了多少 路？
2020年10月2日
6
变化（3）：
• 一队学生去校外进行军事野营训练。他 们以5km/h的速度行进，走了18分的时 候，学校要通讯员骑自行车从学校出发 按原路追上去，用10分钟的时间将一个 紧急通知传给队长。通讯员必须以怎样 的速度行进？
2020年10月2日
7
变化（4）：
• 一队学生去校外进行军事野营训练。他 们从学校出发，走了18分的时候，学校 要将一个紧急通知传给队长。通讯员也 从学校出发，骑自行车以14km/h的速 度按原路追上去，只用了10分钟就追上 了队伍。通讯员出发前学生走了多少时 间？
2020年10月2日
8
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10、一次函数PPT课件
第一部分 教材同步复习
10、一次函数
第一部分 教材同步复习
1
10、一次函数
知识要点 ·归纳
►知识点一 一次函数的图象与性质
1．一次函数及正比例函数的概念 一般地，如果y＝kx＋b(k，b是①___常__数__，k≠0)，那么，y叫做x的一次函数，特 别地，当②____b_＝__0_时，一次函数y＝kx＋b就变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时，y叫 做x的正比例函数．
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
15
【解答】 (1)∵点 A(2,0)，AB＝ 13，∴BO＝ AB2－AO2＝ 9＝3，∴点 B 的 坐标为(0,3)；
(2)∵△ABC 的面积为 4，∴12×BC×AO＝4，∴12×BC×2＝4，即 BC＝4.∵BO ＝3，∴CO＝4－3＝1，∴C(0，－1)．
第一部分 教材同步复习
13
1.(202X玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是
( D) A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1,0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
【考查内容】一次函数的性质．
【解析】A．当x＝0时，y＝k，即点(0，k)在l上，此选项正确；B．当x＝－1
(3)一次函数图象y＝kx＋b与x轴的交点是⑥__(_－_bk_，__0_)__ ，与y轴的交点是⑦ _(0_，__b_)___．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
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第一部分 教材同步复习
3
3．一次函数的性质 一次函数
k、b 符号 b＞0
k＞0 b＜0
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10、一次函数
第一部分 教材同步复习
1
10、一次函数
知识要点 ·归纳
►知识点一 一次函数的图象与性质
1．一次函数及正比例函数的概念 一般地，如果y＝kx＋b(k，b是①___常__数__，k≠0)，那么，y叫做x的一次函数，特 别地，当②____b_＝__0_时，一次函数y＝kx＋b就变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时，y叫 做x的正比例函数．
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【解答】 (1)∵点 A(2,0)，AB＝ 13，∴BO＝ AB2－AO2＝ 9＝3，∴点 B 的 坐标为(0,3)；
(2)∵△ABC 的面积为 4，∴12×BC×AO＝4，∴12×BC×2＝4，即 BC＝4.∵BO ＝3，∴CO＝4－3＝1，∴C(0，－1)．
第一部分 教材同步复习
13
1.(202X玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是
( D) A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1,0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
【考查内容】一次函数的性质．
【解析】A．当x＝0时，y＝k，即点(0，k)在l上，此选项正确；B．当x＝－1
(3)一次函数图象y＝kx＋b与x轴的交点是⑥__(_－_bk_，__0_)__ ，与y轴的交点是⑦ _(0_，__b_)___．
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第一部分 教材同步复习
3
3．一次函数的性质 一次函数
k、b 符号 b＞0
k＞0 b＜0
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《一次函数的应用》一次函数PPT
第四章 一次函数
4.4 一次函数的应用
学习目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的
过程，发展应用意识；
2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；
3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；
4.初步体会函数与方程的关系.
知识回顾
什么是一次函数？
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，
即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.
一 确定一次函数表达式
待定系数法确定一次函数表达式
(1) 设出函数表达式；
(2) 将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到
关于k,b的一元一次方程；
(3) 解方程求未知数；
(4) 写出函数的表达式.
合作探究
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增
b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
上式中k，b对函数
图象有什么影响？
合作探究
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间
t（s）的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
v（m/s）
6
5
4
分析：因为直线过原点，符合正比例函数的
3
量的关系，根据图象填空：
大于4t
(4) 当销售量________时，该公司赢利
l1
6000
l2
5000
（收入大于成本）；
4000
3000
当销售量_________时，该公司亏损
小于4t
2000
（收入小于成本）.
4.4 一次函数的应用
学习目标
1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的
过程，发展应用意识；
2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；
3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；
4.初步体会函数与方程的关系.
知识回顾
什么是一次函数？
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，
即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.
一 确定一次函数表达式
待定系数法确定一次函数表达式
(1) 设出函数表达式；
(2) 将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到
关于k,b的一元一次方程；
(3) 解方程求未知数；
(4) 写出函数的表达式.
合作探究
探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增
b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
上式中k，b对函数
图象有什么影响？
合作探究
探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间
t（s）的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3s时物体的速度是多少？
v（m/s）
6
5
4
分析：因为直线过原点，符合正比例函数的
3
量的关系，根据图象填空：
大于4t
(4) 当销售量________时，该公司赢利
l1
6000
l2
5000
（收入大于成本）；
4000
3000
当销售量_________时，该公司亏损
小于4t
2000
（收入小于成本）.
追及问题课件
02
追及问题的解决方法
代数法
定义 步骤 适用范围 注意事项
代数法是通过设立方程来求解追及问题的方法。
首先，根据题意设立未知数，表示出各物体的速度、时间、距 离等；然后，根据物理规律列出方程；最后，解方程得出答案
。
适用于涉及多个物体、多种物理量，且需要求解具体数值的问 题。
在设立方程时，需要准确理解题意，并注意物理规律的正确应 用。
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详细描述
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设速度较快的车的速度为v1，速度较慢的车速度为v2， 追及时间为t。
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两车同向行驶，起始时两车之间的距离为d，速度较快的 车在后，速度较慢的车在前。
在此添加您的文本16字
根据题意，可以列出方程：v1t - v2t = d。
例题二：两人跑步的追及问题
例题三：相遇后再追及的问题
总结词：两物体在某点相遇后，一物体速度较快，另一 物体速度较慢，两物体之间的距离逐渐缩短，直到速度 较快的物体再次追上速度较慢的物体。 两物体在某点相遇后，一物体速度较快，另一物体速度 较慢。
设速度较快的物体的速度为v1，速度较慢的物体的速度 为v2，追及时间为t。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相对速度
在追及问题中，需要考虑 物体的相对速度，特别是 当两个物体在同一直线上 移动时。
碰撞问题
在物理中，追及问题也可 以用来描述两个物体碰撞 前的相对位置和速度。
在数学竞赛中的应用
几何图形
在数学竞赛中，追及问题 常与几何图形相结合，例 如圆、三角形等，以考察 学生的综合解题能力。
代数方程
在解决追及问题的过程中 ，学生需要建立并解决一 系列的代数方程，以找到 物体的位置和速度。
一次函数追击问题ppt课件
图（二）
读图小提示：读横轴与纵轴，读起点、终点及关键点
3
甲、乙两人相约从A地到B地游玩，由于乙早上睡懒觉，乙比 甲晚出发了1个小时，最后甲乙同时到达了B地。试画出甲、 乙两人路程y(km)随时间x(h)变化的大致的函数图像。（假设 两人均为匀速运动）
y(km) B
乙
甲
(A)o 1
x(h)
画图小提示：确定横轴，纵轴表示的量； 确定起点，终点及关键点。
乙 ： 当 0 x 1 . 5 时 , 设 乙 路 程 随 时 间 变 化 的 函 数 关 系 式 为 y 乙 k 2 x 图 像 过 （ 1 . 5 , 3 0 ） 代 入 解 析 式 有 ： 1 . 5 k = 3 0 解 得 : k = 2 0 ， 所 以 y 乙 = 2 0 x
当 1 . 5 x 7 .5 时 , 设 乙 函 数 关 系 式 为 y 乙 k 3 x b 图 像 过 （ 1 . 5 , 3 0 ） , ( 7 . 5 , 6 0 ) 代 入 解 析 式 有 ： 1 7 ..5 5 k k b b 3 6 0 0解 得 : b k 3 2 5 2 .5 所 以 y 乙 = 5 x 2 2 .5
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中
停留了______小时；
48
0 （2）甲组的汽车排除故障后，立即提
速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故
障时， 距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组 在第一次相遇时约定此后两车之间的路 程不超过25千米，请通过计算说明，按 图象所表示的走法是否符合约定？
5
解：
( 3 ) 设 甲 、 乙 两 人 路 程 随 时 间 变 化 的 函 数 关 系 式 分 别 为 y 甲 k 1 x 和 y 乙 k 2 x b 2
一元一次方程的应用相遇与追及问题课件北师大版七年级数学上册
第三章 一元一次方程
一元一次方程的应用 相遇与追及问题
一、导入新课
速度、路程、时间之间的关系?
路程＝ 速度×时间 速度＝ 路程÷时间 时间＝ 路程÷速度
二、例题讲解-相遇问题
例1：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相 向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时后 可以相遇？
西安(慢车) 慢车先行路程
慢车后行路程
（快车）武汉 快车路程
（慢车先行路程＋慢车后行路程）＋快车路程＝总路程. 慢车后行的时间＝快车行驶的时间.
三、例题讲解-追及问题
例2：甲、乙从一点出发，同向而行，甲每小时走3km，乙每小时
走2km，乙先出发3小时，甲再出发追赶乙，问甲要多久才能追上
乙？
画出示意图： 乙 23
练习1 相遇问题
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，一 列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同时相向而行，几小时相遇？
西安(慢车车路程＝总路程. 慢车行驶的时间＝快车行驶的时间.
延伸拓展
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，一列快车 从武汉开出，速度为85km/h，若两车相向而行，慢车先开30分钟，快车行驶几 小时后两车相遇？
练习2 追及问题
两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄 马先跑5m，棕色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？
5米
棕色马路程 ＝ 黄色马路程 ＋相隔距离
练习3 追及问题 两地相距28千米，甲以15千米/小时的速度，乙以30千米/小时的速度，分别骑自 行车和开汽车从同一地前往另一地，甲先出发1小时，乙几小时后才能在两地之间 追上甲？ 解：设乙开车x小时后才能追上甲.
一元一次方程的应用 相遇与追及问题
一、导入新课
速度、路程、时间之间的关系?
路程＝ 速度×时间 速度＝ 路程÷时间 时间＝ 路程÷速度
二、例题讲解-相遇问题
例1：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相 向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时后 可以相遇？
西安(慢车) 慢车先行路程
慢车后行路程
（快车）武汉 快车路程
（慢车先行路程＋慢车后行路程）＋快车路程＝总路程. 慢车后行的时间＝快车行驶的时间.
三、例题讲解-追及问题
例2：甲、乙从一点出发，同向而行，甲每小时走3km，乙每小时
走2km，乙先出发3小时，甲再出发追赶乙，问甲要多久才能追上
乙？
画出示意图： 乙 23
练习1 相遇问题
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，一 列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同时相向而行，几小时相遇？
西安(慢车车路程＝总路程. 慢车行驶的时间＝快车行驶的时间.
延伸拓展
西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，一列快车 从武汉开出，速度为85km/h，若两车相向而行，慢车先开30分钟，快车行驶几 小时后两车相遇？
练习2 追及问题
两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄 马先跑5m，棕色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？
5米
棕色马路程 ＝ 黄色马路程 ＋相隔距离
练习3 追及问题 两地相距28千米，甲以15千米/小时的速度，乙以30千米/小时的速度，分别骑自 行车和开汽车从同一地前往另一地，甲先出发1小时，乙几小时后才能在两地之间 追上甲？ 解：设乙开车x小时后才能追上甲.
追及问题PPT课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运动比赛
如田径、游泳等项目的比 赛成绩计算涉及到追及问 题的概念。
物理现象
如行星运动、地球自转等 现象也可以用追及问题的 原理来解释。
02
直线上的追及问题
匀速与匀加速直线运动中的追及问题
匀速追匀速
匀加速追匀加速
当追及者做匀速运动，而被追及者也 做匀速运动时，可以通过比较两者的 速度和初始距离来解决追及问题。
椭圆运动中的追及问题
定义
椭圆运动中的追及问题是指两个 或多个物体在椭圆轨道上运动， 其中一个物体追赶另一个物体的
问题。
解决方法
解决椭圆运动中的追及问题需要 利用椭圆的参数方程和运动学公 式，分析物体的速度、加速度和
运动轨迹，并求解追及时间。
示例
一行星绕太阳运行，其轨道为椭 圆，太阳位于其中一个焦点，另 一行星也绕太阳运行，从另一方 向追赶前行星，求两行星的最近
数学建模法
定义
数学建模法是一种通过建立数学模型来解答追及问题的数 学方法。
步骤
首先，根据题目描述，确定追及问题的相关变量和参数；然后，根据追及问题 的条件，建立相应的数学模型；最后，通过求解数学模型，得出追及问题的答 案。
适用范围
数学建模法适用于各种类型的追及问题，特别是当追及问题中 涉及多个未知数和多个因素时，数学建模法具有更大的优势。
05
追及问题的实际案例
赛车比赛中的追及问题
赛车比赛中，两辆或多辆赛车在赛道上行驶 ，如果一辆赛车想要超越另一辆，它需要满 足一定的条件，如速度、加速度和时间等。
追及问题在赛车比赛中非常重要，因 为超车是比赛中的关键策略之一。
超车过程中，后车需要加速并超过前 车，同时保持足够的距离，以便在减 速之前完成超车。
追及问题ppt课件
04
追及问题的应用
在日常生活中的应用
相遇问题
在日常生活中，人们经常会遇到两个人或多 个团队在同一起点或不同起点同时出发并朝 着对方移动的情况。例如，两个朋友在公园 里散步，从不同的方向相向而行，相遇后互 相问候。相遇问题可以通过追及问题的数学 模型来解决，帮助人们预测相遇的时间和地 点。
追赶问题
的距离关系。
建立数学方程
根据问题建立数学方程，如一 元一次方程或二元一次方程组
。
解方程得出答案
通过解方程得出答案，并根据 实际情况进行验证。
建立正确的数学模型
01
02
03
确定变量和单位
根据问题确定变量，如时 间、速度、距离等，并统 一单位。
建立数学方程
根据问题建立数学方程， 如速度-时间关系、距离时间关系等。
追及问题ppt课件
• 追及问题概述 • 追及问题基本形式 • 追及问题的解题方法 • 追及问题的应用 • 追及问题的挑战与解决方案 • 追及问题的实例分析
01
追及问题概述
定义与概念
追及问题的定义
追及问题是指两个或多个物体在同一 直线上运动，一个物体在后面追赶前 面物体的问题。
追及问题的基本概念
事等领域。
培养思维
解决追及问题需要运用数学、物理 和逻辑推理等知识，有助于培养学 生的思维能力和解决问题的能力。
数学建模
通过解决追及问题，学生可以学习 并掌握数学建模的方法，如建立方 程、求解等。
02
追及问题基本形式
匀速直线运动追及问题
总结词
速度相同，时间相同，不分前后，不相撞。
详细描述
两个物体以相同的速度做匀速直线运动，它们运动的时间相同，所以它们之间 的距离不变，不分前后，也不相撞。
一元一次方程实际问题(相遇,追及问题)ppt课件
一元一次方程实际应用 ---路程问题
4/28/2020
铜陵市新梦想辅导机构 授课人：管锦浩
1
异地相向而行
• 1.A.B两地相距48千米，甲每小时 行4千米，乙每小时行6千米，现在 甲乙两人分别从甲乙两地出发，问 多少小时后两人相遇？4/28/2020 Nhomakorabea2
同时不同地出发，动画展示
B地 A地
4x
6x
4/28/2020
3
异地相向，不同时问题
• 2.A.B两地相距48千米，甲每小时行4 千米，乙每小时行6千米，甲从A.地现 行2小时后，乙才从B地出发，则二人 多少小时后相遇
4/28/2020
4
不同时出发动画演示
A地
B地
8km
4x
6x
4/28/2020
5
追赶问题
• 3.若明明以每小时4千米的速度行 驶上学，哥哥半小时后发现明明忘 了作业，，就骑车以每小时8千米 追赶，问哥哥需要多长时间才可以 送到作业？
• 一条环行跑道长400米，甲每分 钟行550米，乙每分钟行250米， 甲、乙两人同时同地同向出发， 问多少分钟后他们再相遇
4/28/2020
10
4/28/2020
550x 250x
11
4/28/2020
6
家
4×0.5
4X
4/28/2020
8X
学校
追 及 地
7
• 敌军在早晨5时从距离我军7千米的 驻地开始逃跑，我军发现后立即追 击，速度是敌军的1.5倍，结果在7 时30分追上，我军追击速度是多少？
4/28/2020
8
2.5X
7千米
2.5(1.5X)
4/28/2020
4/28/2020
铜陵市新梦想辅导机构 授课人：管锦浩
1
异地相向而行
• 1.A.B两地相距48千米，甲每小时 行4千米，乙每小时行6千米，现在 甲乙两人分别从甲乙两地出发，问 多少小时后两人相遇？4/28/2020 Nhomakorabea2
同时不同地出发，动画展示
B地 A地
4x
6x
4/28/2020
3
异地相向，不同时问题
• 2.A.B两地相距48千米，甲每小时行4 千米，乙每小时行6千米，甲从A.地现 行2小时后，乙才从B地出发，则二人 多少小时后相遇
4/28/2020
4
不同时出发动画演示
A地
B地
8km
4x
6x
4/28/2020
5
追赶问题
• 3.若明明以每小时4千米的速度行 驶上学，哥哥半小时后发现明明忘 了作业，，就骑车以每小时8千米 追赶，问哥哥需要多长时间才可以 送到作业？
• 一条环行跑道长400米，甲每分 钟行550米，乙每分钟行250米， 甲、乙两人同时同地同向出发， 问多少分钟后他们再相遇
4/28/2020
10
4/28/2020
550x 250x
11
4/28/2020
6
家
4×0.5
4X
4/28/2020
8X
学校
追 及 地
7
• 敌军在早晨5时从距离我军7千米的 驻地开始逃跑，我军发现后立即追 击，速度是敌军的1.5倍，结果在7 时30分追上，我军追击速度是多少？
4/28/2020
8
2.5X
7千米
2.5(1.5X)
4/28/2020
一元一次方程相遇追及问题 ppt课件
50x+30x=240 解得 x=3
答：设B车行了3小时后与A车相遇。
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米
线段图分析：
的甲、乙两地，甲车每 小时行50千米，乙车每 小时行30千米。
A 50x
甲
80千米
30x B
乙
（2）若两车同时相向
而行，请问B车行了多 第一种情况：
长时间后两车相距80千 A车路程＋B车路程＋相距80千米=
答:甲、乙两地距离为120千米。
例 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时； 从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知 水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。
根据往返路程相等，列得
1.顺逆问题 2.相遇问题 3.追及问题
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程 引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地
驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时
24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、
线段图分析：
A 50x
30x B
小时行50千米，乙车每
甲
乙
小时行30千米。 （1）若两车同时相向 而行，请问B车行了多 长时间后与A车相遇？
A车路程＋B车路程=相距路程
若设B车行了x小时后与A车相遇， 显然A车相遇时也行了x小时。则A车
路程为 千5米0x；B车路程
为 30千x米。根据相等关系可列出方
答：设B车行了3小时后与A车相遇。
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米
线段图分析：
的甲、乙两地，甲车每 小时行50千米，乙车每 小时行30千米。
A 50x
甲
80千米
30x B
乙
（2）若两车同时相向
而行，请问B车行了多 第一种情况：
长时间后两车相距80千 A车路程＋B车路程＋相距80千米=
答:甲、乙两地距离为120千米。
例 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时； 从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知 水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。
根据往返路程相等，列得
1.顺逆问题 2.相遇问题 3.追及问题
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程 引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地
驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时
24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、
线段图分析：
A 50x
30x B
小时行50千米，乙车每
甲
乙
小时行30千米。 （1）若两车同时相向 而行，请问B车行了多 长时间后与A车相遇？
A车路程＋B车路程=相距路程
若设B车行了x小时后与A车相遇， 显然A车相遇时也行了x小时。则A车
路程为 千5米0x；B车路程
为 30千x米。根据相等关系可列出方
一次函数教学课件ppt
速度与时间计算
在匀速直线运动中，速度、时间和距 离之间的关系可以用一次函数表示， 例如计算汽车行驶100公里所需的时 间。
一次函数在数学问题中的应用
线性计划
在资源分配问题中，如最大化利润、最小化成本等，可以通过一次函数表示束缚条件和目标函数。
代数方程的求解
一次函数可以用于求解代数方程，例如将方程转化为一次函数情势，通过找到与x轴交点的方式求解 。
03
已知函数$f(x) = ax + b$，其中$a neq 0$，求当$-1 < x < 1$
时，$f(x)$的最小RY
THANKS
感谢观看
REPORTING
图解法应用
利用图像视察函数的单调性、交点 、最值等性质，解决实际问题。
图解法优缺点
优点是直观、易于理解，缺点是绘 图进程可能存在误差，且不易表示 复杂函数的图像。
一次函数的代数法
代数法定义
通过代数运算来研究一次函数的 性质和求解相关问题。
代数法应用
求解方程、不等式、求最值等。
代数法优缺点
优点是严谨、系统化，缺点是对 于一些复杂问题需要进行大量的
综合练习题
综合练习题1
01
已知函数$f(x) = x^2 + kx + 3$，其中$k in mathbb{R}$，求
当$-1 < x < 1$时，$f(x)$的最小值。
综合练习题2
02
已知函数$f(x) = frac{x + 2}{x}$，求当$-1 < x < 0$时，$f(x)$
的最大值。
综合练习题3
图像性质
当$k > 0$时，函数图像为上升直线； 当$k < 0$时，函数图像为降落直线。 截距$b$决定了函数与y轴的交点。
在匀速直线运动中，速度、时间和距 离之间的关系可以用一次函数表示， 例如计算汽车行驶100公里所需的时 间。
一次函数在数学问题中的应用
线性计划
在资源分配问题中，如最大化利润、最小化成本等，可以通过一次函数表示束缚条件和目标函数。
代数方程的求解
一次函数可以用于求解代数方程，例如将方程转化为一次函数情势，通过找到与x轴交点的方式求解 。
03
已知函数$f(x) = ax + b$，其中$a neq 0$，求当$-1 < x < 1$
时，$f(x)$的最小RY
THANKS
感谢观看
REPORTING
图解法应用
利用图像视察函数的单调性、交点 、最值等性质，解决实际问题。
图解法优缺点
优点是直观、易于理解，缺点是绘 图进程可能存在误差，且不易表示 复杂函数的图像。
一次函数的代数法
代数法定义
通过代数运算来研究一次函数的 性质和求解相关问题。
代数法应用
求解方程、不等式、求最值等。
代数法优缺点
优点是严谨、系统化，缺点是对 于一些复杂问题需要进行大量的
综合练习题
综合练习题1
01
已知函数$f(x) = x^2 + kx + 3$，其中$k in mathbb{R}$，求
当$-1 < x < 1$时，$f(x)$的最小值。
综合练习题2
02
已知函数$f(x) = frac{x + 2}{x}$，求当$-1 < x < 0$时，$f(x)$
的最大值。
综合练习题3
图像性质
当$k > 0$时，函数图像为上升直线； 当$k < 0$时，函数图像为降落直线。 截距$b$决定了函数与y轴的交点。
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组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程 （千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象。请根据 图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中
停留了______小时；
480
y(千米)
DF
甲
乙
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提
C
速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故
2、画图：
确定横轴与纵坐标轴表示的量 确定起点，终点及关键点
3、解图：
直接根据图象实际意义解决相关问题。 利用函数解析式解决相关问题。
二、数形结合的思想 分类讨论地思想
两人相遇，即10x 20x 20
此时y 10x 10 2=20
解得x 2
所以甲、乙两人在甲出发后两小时相遇，此时距离A地20km
变式训练：甲乙两人同时去B地，甲骑自行车，乙骑摩托中途
乙的车出现问题改为步行，下图是他们路程随时间变化的图像。
y(km)
60
乙
30
甲
15
o
1.5
x0
(2)甲到达终点时，即y 60代入解析式y 10x, 解得x 6
(3)x 1.5时，此时相距15千米
中考链接：
2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级 通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480 千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲
例1：甲、乙两人相约从A地到B地游玩，甲骑自行车，乙骑摩托车 ，下图是他们离开A地的路程y（km）随时间x(h)变化的函数图象 ，据图像回答下列问题：
y(km)
60
乙
甲
y0
o
1 x0
4
6 x(h)
Hale Waihona Puke （1）A与B地相距多少千米？
（2）甲、乙二人的速度分别是多少？ （3）甲与乙两人何时相遇？此时与A地距离是多少？
一次函数的综合应用 ———追及问题
两物体在同一直线或封闭图形上运动
所涉及的追及、相遇问题通常归为追及问 题。
甲乙两人一起参加马拉松比赛，下图是他们的 行程图，s表示行走的路程，t表示时间
s(km)
s(km)
10 甲
10 乙
乙 甲
o
3 图（一）
5 t(h) o
t1
t2 t3 5 t4 t(h)
图（二）
当1.5 x 7.5时,设乙函数关系式为y乙 k3x b图像过（1.5,30）,(7.5,60)
代入解析式有：17..55kk
b b
30 60
解得:bk3252.5所以y乙 =5x 22.5
综上所述，乙的函数解析式为y乙
=
20 5x
x
22.5
0 x 1.5 1.5 x 7.5
解：
(3)设甲、乙两人路程随时间变化的函数关系式分别为y甲 k1x和y乙 k2x b2
甲的图像经过（6,60）代入解析式有
60=6k1 k1 10
乙的图像经过（1,0），（4,60）
4k2k2b2b2060
bk22
20 20
所以，甲:y=10x,乙:y 20x 20
障时， 距出发点的路程是多少千米？
A B
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组 在第一次相遇时约定此后两车之间的路 程不超过25千米，请通过计算说明，按 E 图象所表示的走法是否符合约定？
o 1.25 3 4.9 6 7 7.25 x(小时)
一、一次函数图像的应用
1、读图： 读横轴与纵轴，起点、终点及关键点
读图小提示：读横轴与纵轴，读起点、终点及关键点
甲、乙两人相约从A地到B地游玩，由于乙早上睡懒觉，乙比 甲晚出发了1个小时，最后甲乙同时到达了B地。试画出甲、 乙两人路程y(km)随时间x(h)变化的大致的函数图像。（假设 两人均为匀速运动）
y(km)
B
乙
甲
(A)o 1
x(h)
画图小提示：确定横轴，纵轴表示的量； 确定起点，终点及关键点。
7.5 x(h)
（1）求出甲、乙两人路程与时间的函数关系式；
（2）甲到达终点用了多长时间；
（3）两人何时相距最远，最远距离是多少？
解： (1)设甲路程随时间变化的函数关系式为y甲 k1x,图像过（1.5,15）代入解析式 有：1.5k=15 ，解得k=10，所以y甲=10x
乙：当0 x 1.5时,设乙路程随时间变化的函数关系式为y乙 k2x图像过（1.5,30） 代入解析式有：1.5k=30 解得:k=20，所以y乙=20x
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中
停留了______小时；
480
y(千米)
DF
甲
乙
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提
C
速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故
2、画图：
确定横轴与纵坐标轴表示的量 确定起点，终点及关键点
3、解图：
直接根据图象实际意义解决相关问题。 利用函数解析式解决相关问题。
二、数形结合的思想 分类讨论地思想
两人相遇，即10x 20x 20
此时y 10x 10 2=20
解得x 2
所以甲、乙两人在甲出发后两小时相遇，此时距离A地20km
变式训练：甲乙两人同时去B地，甲骑自行车，乙骑摩托中途
乙的车出现问题改为步行，下图是他们路程随时间变化的图像。
y(km)
60
乙
30
甲
15
o
1.5
x0
(2)甲到达终点时，即y 60代入解析式y 10x, 解得x 6
(3)x 1.5时，此时相距15千米
中考链接：
2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级 通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480 千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲
例1：甲、乙两人相约从A地到B地游玩，甲骑自行车，乙骑摩托车 ，下图是他们离开A地的路程y（km）随时间x(h)变化的函数图象 ，据图像回答下列问题：
y(km)
60
乙
甲
y0
o
1 x0
4
6 x(h)
Hale Waihona Puke （1）A与B地相距多少千米？
（2）甲、乙二人的速度分别是多少？ （3）甲与乙两人何时相遇？此时与A地距离是多少？
一次函数的综合应用 ———追及问题
两物体在同一直线或封闭图形上运动
所涉及的追及、相遇问题通常归为追及问 题。
甲乙两人一起参加马拉松比赛，下图是他们的 行程图，s表示行走的路程，t表示时间
s(km)
s(km)
10 甲
10 乙
乙 甲
o
3 图（一）
5 t(h) o
t1
t2 t3 5 t4 t(h)
图（二）
当1.5 x 7.5时,设乙函数关系式为y乙 k3x b图像过（1.5,30）,(7.5,60)
代入解析式有：17..55kk
b b
30 60
解得:bk3252.5所以y乙 =5x 22.5
综上所述，乙的函数解析式为y乙
=
20 5x
x
22.5
0 x 1.5 1.5 x 7.5
解：
(3)设甲、乙两人路程随时间变化的函数关系式分别为y甲 k1x和y乙 k2x b2
甲的图像经过（6,60）代入解析式有
60=6k1 k1 10
乙的图像经过（1,0），（4,60）
4k2k2b2b2060
bk22
20 20
所以，甲:y=10x,乙:y 20x 20
障时， 距出发点的路程是多少千米？
A B
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组 在第一次相遇时约定此后两车之间的路 程不超过25千米，请通过计算说明，按 E 图象所表示的走法是否符合约定？
o 1.25 3 4.9 6 7 7.25 x(小时)
一、一次函数图像的应用
1、读图： 读横轴与纵轴，起点、终点及关键点
读图小提示：读横轴与纵轴，读起点、终点及关键点
甲、乙两人相约从A地到B地游玩，由于乙早上睡懒觉，乙比 甲晚出发了1个小时，最后甲乙同时到达了B地。试画出甲、 乙两人路程y(km)随时间x(h)变化的大致的函数图像。（假设 两人均为匀速运动）
y(km)
B
乙
甲
(A)o 1
x(h)
画图小提示：确定横轴，纵轴表示的量； 确定起点，终点及关键点。
7.5 x(h)
（1）求出甲、乙两人路程与时间的函数关系式；
（2）甲到达终点用了多长时间；
（3）两人何时相距最远，最远距离是多少？
解： (1)设甲路程随时间变化的函数关系式为y甲 k1x,图像过（1.5,15）代入解析式 有：1.5k=15 ，解得k=10，所以y甲=10x
乙：当0 x 1.5时,设乙路程随时间变化的函数关系式为y乙 k2x图像过（1.5,30） 代入解析式有：1.5k=30 解得:k=20，所以y乙=20x