三角函数及解三角形公式一览

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，

正弦：r y =αsin 余弦：r x

=αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =

αsec 余割：y

r =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，

与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα. 商数关系：αααcos sin tan =

，α

α

αsin cos cot =. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+.

三、诱导公式(总口诀：奇变偶不变，符号看象限)

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵

απ

+2、απ-2、απ+23、απ

-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+ β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-

五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α

α

α2tan 1tan 22tan -=

二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

ααα2tan 1tan 22sin +=，α

α

α22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=.

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．

来表示.

七、和差化积公式

2

cos 2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ …⑴ 2sin

2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=- …⑵ 2

cos

2cos

2cos cos βαβ

αβα-+=+ …⑶ 2

sin

2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=- …⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2sin 2cos 2cos 2sin

22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫

⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin

22

sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫

⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵.

2sin 2sin 2cos 2cos 22

cos cos βαβαβαβαβ

αβαα-+--+=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+

+= 2sin 2sin 2cos 2cos

22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭

⎫

⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷.

八、积化和差公式

[])sin()sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(2

1

cos cos βαβαβα-++=

⋅ [])cos()cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-

=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用.

九、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （*）

其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

2

2sin b a b +=

ϕ，2

2cos b a a +=

ϕ，a

b =

ϕtan .

十、sin 与cos 的大小关系图形

x

α

x

十一、不常见的公式

1.3sin 33sin 4sin 4sin(60)sin sin(60)θθθθθθ=-=︒-︒+

3cos34cos 3cos 4cos(60)cos cos(60)θθθθθθ=-=︒-︒+

2.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-

十二、解三角形之正余弦定理

[基本知识]ABC ∆中：

1. 边边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

2. 角角关系：

180=++C B A

3. 边角关系：①大边对大角，大角对大边：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> ②正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 是外接圆的半径） 常见的变形：2sin , 2sin , 2sin sinA ,sin ,sin 2R 22sin sin ,sin sin ,sin sin ::sin :sin :sin a R A b R B c R

C a b c B C R R

a B

b A a C

c A b C c B a b c A B C

===⎧⎪⎪=

==⎪⎨⎪===⎪=⎪⎩ ③余弦定理：222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，常见的变形：222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

④射影定理：cos cos cos cos cos cos a b C c B

b a C

c A c a B b A =+⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

⑤B A B A B A B A cos cos ,sin sin >⇔<<⇔<