第13讲 因式分解及其应用

第13讲 因式分解及其应用

考点·方法·破译

1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；

2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；

3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；

4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；

5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析

【例１】

⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________

⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________

【解法指导】形如222a ab b ±+的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.

解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式，∴6kxy xy =± ∴6k =±； ⑵22225522y x xy ky x x ky -+=-⋅⋅

+是完全平方式，∴225()2ky y = ∴254

k = 【变式题组】

01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________

02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值.

03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值.

04．（四川省初二联赛试题）已知a 、b 、c 满足22|24||2|22a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.

【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）

A ．()()x x y x y +-

B ．22(2)x x xy y -+

C ．2()x x y +

D ．2()x x y -

⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________

⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________

【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形

解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-

⑵42224(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x -=+-=++-

⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++--

【变式题组】

⑴3223223612x y x y x y -+

⑵2222(1)2a x ax +-

⑶222045a bx bxy -

⑷2249()16()a b b a --+

⑸222(5)8(5)16a a -+-+

【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ）

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．无数多个

【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知，在整数范围内分解因式25x x p -+，p 为(5)n n -的积为整数，∴p 有无数多个，因而选D

【变式题组】

⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个

【例4】分解因式：⑴221112x x -+

⑵22244x y z yz --+

⑶22(52)(53)12x x x x ++++-

⑷

226136x xy y x y +-++- 【解法指导】

解：⑴ ∴

221112(23)(4)x x x x -+=-- ⑵

222244x y z y --+ 222(44)x y yz z =--+

22(2)x y z =-- (2)(2)x y z x y z =+--+

⑶设2525x x ++=，则原式可变为2(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+

∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++

22(51)(56)x x x x =+-++

2 1

3 4

2(51)(2)(3)x x x x =+-++

⑷226136x xy y x y +-++-

22(6)(13)6x xy y x y =+-++- (2)(3)(13)6x y x y x y =-+++-

(23)(32)x y x y =-++-

【变式题组】

01．分解因式：

⑴2224912x y z yz ---

⑵224443x x y y --+-

⑶236ab a b --+

⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++

⑸261910y y -+

【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=的整数解；

⑵（希望杯）设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值

【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解； ⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x 、y 为正整数的特点，结合不等式求解. 解：⑴64970xy x y +--=，(64)(96)1xy x y +-+=，2(32)3(32)1x y y +-+=，

∴(23)(32)1x y -+=，∵x 、y 都是整数 ∴{{(23)1(23)1(32)1(32)1

x x y y -=-=-+=+=-或 ∴{21113x x y y =⎧⎪=⎨=-=-⎪⎩（舍去）或，∴方程的整数解为{

11x y ==-， ⑵224960x y y ++-=，2244100y y x ++=-，22(2)100y x +=-，∵21000x -≥∴2100x ≤ ∵x 为正整数，∴x ＝1，2，…，10 ，又∵2(2)y +是平方数，∴x ＝6或8

当x ＝6时2(2)y +＝64，y ＝6，当x ＝8时2(2)y +＝36，y ＝4，∴xy ＝36或32

【变式题组】

01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y

+-+的值是___________ 02.（第二届宗沪杯）已知a 、b 为整数，则满足a ＋b ＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有

__________

03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法

有（ ）

A ．16种

B ．14种

C ．12种

D ．10种

04．方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数为（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．不少于3个

05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，

求这个正整数.

3 －2