最短路径问题的反思及应用
最短路径教学反思
《最短路径》教学反思(共2页)
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《最短路径》教学反思
《最短路径》教学反思范文
11月23号下午第三节，我讲了公开课《最短路径》第一课时，学校领导及没课的老师来到报告厅听课，听课后田校长对我讲的这一节课经行了点评，我受益匪浅，所以把感悟以及所学到的总结如下：
1、问题设计要有启发性。
在设计问题的时候不可以设计无用的问题，要让学生真正有所思考，并且可以经过思考可以得到结论，在设计问题的时候也不要设计太难的问题，打击学生的积极性，要把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。
2、课堂引入，要更加的正规，不能太随意。
比如在引入的时候可以用蚂蚁找食物的实例引入，可以更形象。
3、引入之后，要复习预备知识。
因为所有的知识都是在旧知识的基础上生成的，如果说新知识是冰川露出大海的`部分，那旧知识就是藏在大海中的更大的部分，所以要强调从旧知识的基础上生成新知识，调动旧知识环境，衍生新知识，这样有利于学生形成数学体系，所学的内容也不会让学生感觉太突兀，而是自然而然的得到。
所以要认真分析预备知识，把新知识放在旧知识的基础上，通过复习慢慢引出新的内容，这样学生更容易掌握，更容易接受，不会产生畏难情绪，反而觉得清松自如。
4、授课的过程中应该环环相扣，一步步上，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。
5、注重建模思想。
虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“将军饮马问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。
八年级上册 课题学习《最短路径问题》说课稿
课题学习《最短路径问题》说课稿各位领导、专家、同仁们大家好：今天我说课的的内容是：人教八年级上册第13章第四节课题学习最短路径问题。
下面我将从：教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法、学法、教学手段、教学过程、板书设计、反思十个方面展开我的说课。
一、教材分析：本节课的内容是在学习了轴对称图形及两点之间线段最短知识的基础上学习的最短路径问题。
同时为我们今后解决坐标系下线段和最短的问题打下基础。
所以本节课的学习既是对前面所学知识的应用又为今后学习新知识做了铺垫，起到了呈上起下的作用。
二、学情分析1、已有的知识与能力：八年级学生已经学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”这些关于距离最短问题的解决依据。
也初步接触了逻辑推理证明的方法。
2、未接触的知识能力：由于八年级学生首次遇到线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。
3.综合能力方面：八年级学生这一阶段的学生思维能力发展较快,自我意识增强,有较强的求知欲和表现欲,在情感方面他们能进行自我教育。
经过一年多新课程理念的熏陶及实践,学生已有了初步的自主学习、合作探究的能力,但部分学生存在不自信,羞于表现等思想顾虑,但又希望能得到他人的肯定。
因此我的教学目标分了三层,照顾不同程度的学生。
在教学活动中尽量让他们参与到活动中来,减少他们的恐惧感,通过学生间的合作学习,降低他们的学习难度,使各层次的学生都有所收获,使他们体验到成功的喜悦。
通过以上教材与学情分析我制定了本节课教学目标：三、教学目标：1、知识与能力目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（2）能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把实际问题抽象为数学问题。
2、过程与方法目标：（1）使学生经历提出问题——合作探究——动手操作——组间对比——理论证明——解决问题的过程。
《13.4最短路径问题》教学反思
《13.4最短路径问题》教学反思《最短路径问题》这节课选自八年级数学第13章第4节，是轴对称的一个应用。
我的设计思路是这样的：1.先复习轴对称性质、最值原理，运用最近发展区，激发学生的学习兴趣.2.利用问题情景，设计异侧问题，为进一步探究同侧问题作铺垫.3.研究同侧问题时，先让学生大胆尝试设计路线，测量比较，发现作对称点的方案是最短的，然后小心严格证明。
此环节渗透转化思想、化折为直。
并总结出画图步骤。
4.为了了解学生是会模仿、会理解还是了解背后的数学思想、数学模型方法，设计了两道练习。
把将军饮马问题结合不同的问题背景如特殊三角形，确保实现学生对此类问题的真正掌握。
5.在新的问题情境中，两线一点，让学生应用前面所学的方法策略，举一反三。
6.设计了一个开放性问题，让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 让学生不仅能解决问题，更要有提出问题的能力，培养学生的创造性.7.课堂小结。
对于将军饮马问题如何证AP+PB最短？我用了高矮类比，证明后让学生说为什么作垂线段和中垂线的方案不是最短。
这个地方在磨课时，马宁老师也提出另一种处理方法：先不要播放视频，让所有学生思考作垂线段和作垂直平分线的方案为什么不是最短，再完成从特殊到一般的推理，最后用视频回顾。
由于时间关系就没有采用后者，可放在以后教学中实施。
整节课还有很多不足之处：如问题提问的设置还可以更精准一些等等。
经历了多次的试讲、修改、反思，专家和中心组的老师细致、用心的评课和建议，也让我认识到了自身教学存在的不足，让我对数学教学有了更深刻的思考。
让我感受最深的是：教学重要的不是老师知道什么，而是学生不知道什么。
的确，我们作为教师在每次课前，是否都该问问自己：这节课我该教给学生什么东西？这节课我能教给学生什么东西？这节课学生能学到什么东西？这节课学生会有什么学习障碍？每个学生都有自己的思维层次和思维水平，作为数学教师，数学课堂上该注重的是如何通过数学题目开拓学生的思维、启迪学生智慧。
《课题学习最短路径问题》的教学反思
《课题学习最短路径问题》的教学反思最短路径问题是新人教版的八年级教材内容，是新增加的内容，因此，在备课的过程中难以找到相关的课件或者习题，对于这部分内容的教学，怎样才能讲的透彻，是个值得深入钻研的问题，上了这一节课我有以下几点体会：一：教师要合理安排一节课的组织教学、检查复习、教学新知、巩固练习、课堂小结和布置作业等课堂教学环节的顺序和时间分配。
在一堂课中，要特别精心用好前20分钟左右的“黄金”教学时间，用于讲解新知、重点、难点内容，忌用黄金时间“去炒隔天的夹生饭”，保证学生有充分时间去当堂自学、练习、巩固新知，确保学生的主体地位。
这节课我先从学生身边的数学问题入手，“你从教室到操场有两条路可以走，你会选择走哪条？”“为什么要走这条，走这条路有什么优势？”让学生体会到了数学就在我们身边，为什么要学习最短路径。
这让学生引起了很大的学习兴趣，提高了学生的学习积极性。
二：课堂结构的安排，要主次分清，快慢得当。
教学中，要根据教学内容的深度、难度和学生的认知水平，合理分配时间段，合理把握教学节奏，有的课可合适加快节奏，有的课则需放慢节奏，有的内简易少花时间，有的内容则应多花时间；对于这一堂课而言，各个教学环节可有例外的节奏，开始时的基础训练，可以紧锣密鼓，营造一种热闹的气氛；使学生尽快集中思维，进入状态，当学生探得新知，总结规律时，则应放慢节奏。
特别是对于两点在直线的同侧时，要在直线上找一点使得它到两点的距离和最短，我让学生自己找一个点的对称点，并提出问题：你是怎样想到要找对称点的？它起了什么作用？“让学生解决这个问题，给学生足够的时间和空间进行探索，对于分散教学难点起了很大的作用，收到了很好的教学效果。
因此，一堂课内应视需要，时而似快马奔腾，时而似闭庭信步，使学生的思维有张有弛，快慢相间，提高效率。
三：“少”是相对于“多”而言的，“精”是相对于“杂”或“粗”而言的，所谓精讲，就是教师在充分把握教材、大纲和学生学习情况的基础上，讲解精辟透彻，画龙点睛，抓住实质和关键，讲在点子上。
《最短路径》教学反思
我把复习的感悟以及所学到知识总结如下：
1、课堂引入，从一道中考题入手，阐述两条线段和最小值在中考中的重要性，引起学生注意。
2、引入之后，要复习预备知识，从旧知识的基础上生成新知识，调动旧知识环境，生成新知识，有利于学生形成数学知识体系，所学的内容也不会让学生感觉太突兀，而是自然而然的得到。
所以要认真分析预备知识，把新知识放在旧知识的基础上，通过复习慢慢引出新的内容，这样学生更容易掌握，更容易接受，不会产生畏难情绪。
3、问题设计要有启发性，在设计问题的时候不可以设计无用的问题，要让学生真正有所思考，并且可以经过思考可以得到结论，在设计问题的时候也不要设计太难的问题，打击学生的积极性，要把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。
4、授课的过程中应该环环相扣，讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度。
5、注重建模思想，虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“将军饮马问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题，解决中考试题。
13.4最短路径问题教后反思
13.4最短路径问题教后反思编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（13.4最短路径问题教后反思）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为13.4最短路径问题教后反思的全部内容。
《13。
4课题学习最短路径问题》教学反思巩义市站街镇初级中学刘艳娟根据本次跟岗实践活动的安排，我们六个参加国培学习的老师要在紫荆实验学校进行同课异构。
我们于10月19日针对《13.4课题学习最短路径问题》进行了同课异构活动。
刚接到任务时，其实心里还是感到很大压力,除了来自讲课内容的压力，更是要教别人的学生，而对于他们真的是一无所知，我们之间能有默契吗？走进新课堂，我不断反思自己的教学实践，做到在实践中反思，在反思后实践,新课程理念如何转化为教学行为始终让我在思考,在尝试，究竟怎样教会学生,使复杂的数学问题简单化呢？尤其是上好“课题学习”.“数学课题学习” 我想是在老师的指导下，通过学生自主活动，以获得直接经验和培养实践能力的课程.它可以弥补数学学科实践能力的不足,加强实践环节，重视数学思维的训练,促进学生兴趣、个性、特长等自主和谐的发展，从而全面提高学生的数学素质。
它提倡的是参与探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程理念所倡导的自主、探究、合作交流的学习方式。
在我校备课组老师的热心指导和帮助下,在紫荆学校上了这节课后,我个人感觉还是比较满意的，学生各有所获。
下面就谈谈本人这堂课的教学反思：一、反思本课教学过程的成功之处：（1)本节课指导思想正确，达到了以下目的:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.2。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
《最短路径问题》的反思及应用
《最短路径问题》的反思及应用我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。
学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。
因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。
有这样一个问题：如图1所示，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?分析 我们把河边近似看做一条直线l (如图2)，P 为直线l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P 在直线l 的什么位置时，AP 与PB 的和最小。
如图3所示，作点B 关于直线l 的对称点'B ，连接'AB ，交直线l 于点P ，则点P 就是牧马人到河边饮马的位置。
事实上，点'B 与点A 的线段'AB 最短，由对称性质知，'PB PB =，因为''PA PB PA PB AB +=+=，即点P 到点A 、B 的距离之和最小。
上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。
从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。
如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。
一、基本应用如图4，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为多少?分析 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则点B 、点O 关于直线CE 对称，3CO CB ==，1122ACB ∠=∠=∠，点O 是矩形ABCD 的中心，知26AC CO ==。
所以12302ACB ∠=∠=︒，又在Rt CBE ∠中，30BCE ∠=︒，3BC =，若设BE x =，则2CE x =，得222(2)3x x -=，1x =2x （舍去），所以2CE x ==二、拓展应用如图5两条公路BA 、BC 相交于点B ，在两条公路之间的P 点有一个油库，若要在公路BA 、BC 上各设置一个加油站Q 和R ，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R )，再到另一个加油站R (或Q )，最后回到油库所走的路程最短，即PQ QR RP ++最小。
最短路径问题教学反思
最短路径问题教学反思一、背景介绍在最近的一次关于最短路径问题的授课中，我意识到自己的教学方法并不理想。
最短路径问题是在图形中寻找两点之间的最短路径，是图论中的经典问题。
尽管我在课程中介绍了相关的概念和算法，但学生在解决实际问题时仍然表现得不够熟练。
为了提高教学质量，我对自己的教学方法进行了反思。
二、教学反思1. 不足之处在这次授课中，我意识到自己的不足之处包括：（1）过于侧重理论讲解：我在授课过程中过于侧重理论讲解，没有给予足够的实际例子和习题让学生实践。
这导致学生在理解和应用方面存在困难。
（2）缺乏互动性：我的授课方式缺乏足够的互动性，没有充分调动学生的积极性和参与度。
学生对于问题的思考和讨论不够充分，也影响了他们的学习效果。
（3）未及时跟进学生反馈：在授课过程中，我没有及时获取学生的反馈意见，无法了解学生的学习情况和困难所在，因此无法做出相应的调整。
2. 改进方案为了提高教学质量，我提出以下改进方案：（1）增加实例和习题：在授课过程中，我将增加一些实际例子和习题，让学生能够通过实践加深对理论知识的理解和应用。
同时，我会根据学生的反馈情况适当调整实例和习题的难度。
（2）加强互动性：我将增加与学生互动的环节，例如组织小组讨论、提问等，以提高学生的参与度和思考能力。
同时，我也会鼓励学生提出自己的问题和看法，以便更好地了解他们的学习情况。
（3）及时跟进学生反馈：在授课过程中，我将积极与学生沟通，及时获取他们的反馈意见，以便了解他们的学习情况和困难所在，从而做出相应的调整。
同时，我也会定期安排小测验和作业，以便更好地跟进学生的学习进度。
三、总结教学反思对于自身成长和职业发展的意义教学反思对于教师自身成长和职业发展具有重要意义。
通过反思自己的教学方法和效果，教师可以发现自己的不足之处，进而提出改进方案，提高教学质量和效果。
在这个过程中，教师也需要不断地学习和尝试新的教学方法和手段，这有助于提升教师的专业素养和综合能力。
初中数学最短路径问题教学研究
初中数学最短路径问题教学研究
一、问题概述
最短路径问题是初中数学中的常见问题，它涉及到图论、几何等知识。
这类问题通常要求从一点到另一点寻找最短的路径，考虑各种可能的路线和障碍物。
这类问题具有很强的实际应用价值，可以帮助学生提高解决实际问题的能力。
二、解题思路&问题建模
解决最短路径问题的基本思路是：首先，确定起始点和目标点，并考虑所有可能的路径；然后，根据实际情况考虑是否需要排除某些路径，例如有障碍物的路径；最后，通过计算比较所有路径的距离，选择最短的路径。
在数学模型中，可以使用轴心-终了标号法、双端点标号法等算法来解决最短路径问题。
这些算法可以有效地处理大规模的图，并找到最短路径。
三、案例分析
下面以一个具体的案例来分析如何解决最短路径问题。
案例中，我们需要在一张地图上找到从A城市到B城市的最短路径，其中A城市和B城市之间的道路有多个节点和障碍物。
通过使用轴心-终了标号法，我们可以找到从A城市到B城市的最短路径。
四、实践教学
在实践教学中，可以通过组织学生进行小组讨论、编程实现等方式来进一步巩固最短路径问题的解决方法。
同时，可以引入一些实际场景，让学生感受到最短路径问题在实际生活中的应用价值。
五、总结反思
最短路径问题是一种常见的数学问题，它可以帮助学生提高解决实际问题的能力。
在解决这类问题时，需要熟练掌握数学知识和算法，同时还需要具备灵活的思维方式和较强的实践能力。
通过实践教学中的小组讨论和编程实现等方式，可以进一步提高学生的解决实际问题的能力和实践能力。
城市最短路径问题心得体会
城市最短路径问题心得体会城市是人类社会的重要组成部分，同时也是交通运输的重要枢纽。
在现代社会中，城市中不同地点之间的交通联系变得越来越重要，因此，寻求最短路径问题是一个非常实际的问题。
在此，我将分享一些我对城市最短路径问题的心得体会。
首先，城市最短路径问题的基本原理是图论基础知识。
在图论中，城市的地点可以看作是图中的节点，而连接不同地点的道路可以看作是图中的边。
因此，寻找城市最短路径问题就是在图中找到从起点到终点的最短路径。
当然，在城市的实际交通运输中，问题可能会更加复杂，因为道路、交通工具和交通规则等因素都需要考虑。
其次，城市最短路径问题可以使用多种算法来解决。
最常用的算法之一是迪杰斯特拉算法。
这个算法通过维护一个数组，表示从起点到每个节点的最短路径长度。
算法会首先将起点加入路径集合，并标记为已访问。
然后，算法会查找与该节点相邻的节点，并计算它们到起点的距离。
如果新的距离更短，则更新数组，并将新的节点加入路径集合。
然后，算法会继续查找未被访问的相邻节点，直到路径集合中包含了所有节点。
该算法的时间复杂度是O（V^2），其中V是节点的数量。
另一个常见的算法是弗洛伊德算法，该算法通过建立一个距离矩阵，得到每个节点之间的最短路径。
这个算法通常用于处理节点数量较小的问题，时间复杂度是O（V^3）。
还有一些其他的算法，比如贝尔-福德-摩尔曼算法，该算法更适合处理负权重边，但时间复杂度较高。
总的来说，城市最短路径问题是一个具有实际应用价值的问题。
对于这个问题的解决，算法选择和实际情况的考虑是非常重要的。
同时，图论基础知识的掌握也是非常关键的。
除了上述提到的算法，还有一些智能化的算法应用。
比如人工智能算法，它能够识别出每个节点的交通情况，规划出更加优质的最短路径。
在实际中，人们通常会借助各种地图软件方便地找到最短路径。
但对于一些特殊情况，比如繁忙时段经常堵车的路段，人工智能算法相信会更容易找到更优质的最短路径。
数学人教版八年级上册最短路径问题反思
八年级数学《最短路径问题》教学反思本节课是人教版八年级上册第十三章第四节《课题学习——最短路径问题》，前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。
现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节课利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
本节课的学习目标是能利用轴对称做出一个图形经轴对称变化后的图形，解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题，培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。
学习重点是利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点是在实际题目中会运用最短路径问题。
在新课程的实施过程中，我们欣喜地看到传统的接受式教学模式已逐渐被生动活泼的数学活动所取代。
课堂活起来了，学生动起来了：敢想、敢问、敢说、敢做、敢争论，充满着求知欲和表现欲。
在“以学论教”的今天，结合本节课一些习题，从学生的变化看课改，别有洞天。
一、交流让学生分享快乐和共享资源学生已有的生活经验、活动经验以及原有的生活背景，是良好的课程资源。
在“最短路径问题”这节课中，不同的学生依据不同的生活背景进行活动，自己抽象出图形，彼此间的交流，实现了他们对最短路径问题的理解和认识，大家共同分享发现和成功的快乐，共享彼此的资源。
二、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐本节课由上节课的一个习题引入，带领学生一起探究得出一个规律，然后以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
最短路径问题教案
最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。
最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。
一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。
3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。
4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。
二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。
三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。
2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。
四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。
2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。
3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。
4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。
（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。
5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。
（2）小组展示解题过程和结果。
6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。
五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。
2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。
3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。
4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。
六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。
新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题
新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的问题2 如图,什么位置时,AC 与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充教师可作如下提示如果学生有困难,作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC =B'C,BC'=B'C'.AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在?AC'B'中,AC'+B'C'>AB',当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A,使AA等于河宽,连接AB交河岸于N.作桥MN,此时111路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥MN,连接AM,BN,AN. 由平移性质可111111 知,AM=AN,AA=MN=MN,AM=AN. AM+MN+BN转化为AA+AB,而111111111AM+MN+BN 转化为AA+AN+BN. 在?ANB中,由线段公理知AN+BN>AB.11111111111111因此AM+MN+BN> AM+MN+BN,如图所示: 1111三、巩固训练)基础训练 (一1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.)变式训练 (二如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图a 图b四、反思小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置课本93页第15题.。
最短路径问题（将军饮马问题）的教学反思
最短路径问题（将军饮马问题）的教学反思
最短路径问题的教学反思
本堂课主要是以“将军饮马”问题为导线引出最短路径问题，和学生们一起探究最短路径问题及其延伸，从中体会解决实际问题的一般过程。
在课的难易程度和逻辑性上较为合理，在教学的过程中有好的地方，同时也存在一定的问题，下面将我教学本课的过程和方法总结如下：
优点：
1、我在教学本知识点内容的选择上较为科学，安排的内容都是围绕“将军饮马”这一核
心主线，把问题进行改进和延伸，使学生最大程度了解我们要解决的问题。
2、在教学方法选择上，运用了启发式教学、教练结合等方法，使学生在掌握基本方法的
同时了解它的延伸。
3、在教学中合理地使用现代化的教学设备，最大程度缓解学生学习几何问题畏难的心理。
不足：
1、在课堂导入环节的过渡较为僵硬，部分练习的衔接不是很好，课程的进度上“头重脚
轻”。
2、学生学习的主观能动性没有调动起来，课堂气氛不够，没有达到我既定的效果。
3、课堂中对知识的总结没有及时地进行板书，板书的条理较差。
以上是我对本次教学的总结及反思，争取在以后的教学中继续发扬优点，积极的改进存
在的不足之处。
把更好的内容，更合理有效的教学过程展示给我的学生。
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《最短路径问题》小学数学教学反思
最短路径问题生活中，为了节约时间，人们总会选择最短的路线行驶，这就涉及到了最短路径问题。
举个简单的例子：小明要尽快从A地到达B地，现在有三条路线供他选择，你认为他会选哪条路呢? 无可置疑，他会选择路线b，因为在路况基本相同的条件下，由“两点之间线段最短”可知，走路线b可更快到达B地。
当然，这只是最短路径问题中最基本的一个方面，除此之外，还有更深一层次的选址问题，这就更侧重于便民服务了。
选址问题可根据解决方法的不同分为两大类：分别是利用平移解决最短路径问题和利用轴对称解决最短路径问题。
首先，讲讲利用平移解决最短路径问题。
从M地到N地要经过一条小河(小河两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从M地到N地的路程最短?现将文字语言换为图形语言(如右图) 。
解决此类问题时，可以通过平移桥的方法转化为求直线异侧两点到直线一点所连接线段的和最小的问题。
故，先作MP⊥L1且MP为河宽，再连接NP，与L2交于点H，作HL⊥L2.则HL为所建桥的位置。
其次，是利用轴对称解决最短路径问题了。
它分为两大类型：一、两线一点型。
如图，小明在C处，要到OA与0B上各取一些物品，若要他走的路最短，应怎么走?要使所走的总路程最短，由“两点之间，线段最短”可知需利用轴对称的知识将三角形的三条线段转化到一条线段上。
二，两线两点型。
此类题型一般比较复杂，如图，要使所走的总路程最短，由“两点之间，线段最短”，可知需利用轴对称的知识将三条线段转化到一条线段上。
最后，总结一下，在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
【教师点评】数学源于生活而又服务于生活。
秀云同学从“便民”的角度出发去思考最短路径问题，不仅有一双善于发现的眼睛，更有一颗难能可贵的“数学生活心”。
小作者从生活中最常遇到的路径最短问题，提炼出“两点之间，线段最短”的原理，但孩子的学习又不仅仅只限于学习该知识。
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《最短路径问题》的反思及应用
我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。
学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。
因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。
有这样一个问题：
如图1所示，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?
分析 我们把河边近似看做一条直线l (如图2)，P 为直线l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P 在直线l 的什么位置时，AP 与PB 的和最小。
如图3所示，作点B 关于直线l 的对称点'B ，连接'AB ，交直线l 于点P ，则点P 就是牧马人到河边饮马的位置。
事实上，点'B 与点A 的线段'AB 最短，由对称性质知，'PB PB =，因为''PA PB PA PB AB +=+=，即点P 到点A 、B 的距离之和最小。
上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。
从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。
如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。
一、基本应用
如图4，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3BC =，则折痕CE 的长为多少?
分析 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则点B 、点O 关于直线CE 对称，
3CO CB ==，1122
ACB ∠=∠=∠，点O 是矩形ABCD 的中心，知26AC CO ==。
所以12302
ACB ∠=∠=︒，又在Rt CBE ∠中，30BCE ∠=︒，3BC =，若设BE x =，则 2CE x =，得222(2)3x x -=，13x =23x -（舍去），所以223CE x == 二、拓展应用
如图5两条公路BA 、BC 相交于点B ，在两条公路之间的P 点有一个油库，若要在公
路BA 、BC 上各设置一个加油站Q 和R ，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R )，再到另一个加油站R (或Q )，最后回到油库所走的路程最短，即PQ QR RP ++最小。
分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到
P 关于BA 、BC 的对称点'P 、''P ，
连接'''P P ，由对称性易知：'PQ P Q =，''PR P R =，此时'''PQ QR RP P Q RQ P R ++=++，欲使PQ QR RP ++最小，应在'"P P ，上取Q 、R 点为'"P P 分别与AB 、CB 的交点，此时PQR 的周长最小。
三、灵活运用
如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A 爬到桶内点B 去寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 弧长为15cm ，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走?
分析 将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在CD 上求一点P ，使得PA PB +最小，因此，作点B 关于CD 的对称点'B ，连接'AB ，交CD 于点P ，线段'AB 就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP 到PB 的路线走最短。
过'B 作'B E AC ⊥交AC 的延长线于E ，则20AE cm =，'15B E cm =，根据勾股定理得'25AB =。
故蚂蚁爬行的最短路线为25cm 。
本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。