第3章_离散时间信号的傅里叶分析_3.3离散时间傅里叶变换与离散时间非周期信号的频谱
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例1：非周期序列 的频谱分析 已知非周期序列： ①周期序列的时域波形：
xn a
n
Байду номын сангаас
a 0.5 0 n 10
采用 MATLAB计 算该非周期序列的 频谱（DTFT）。
②周期序列的频谱：实部和虚部。
clear all; N=10;%设定序列长度，共10点。 n=0:1:N;%定义序列的离散变量。 a=0.5;%设定指数序列的底。 syms t w;%定义符号变量。 xt=a^t;%定义序列的符号表达式，xt为连续时间指数函数。 Xw=symsum(xt*exp(-j*w*t),t,0,N);%采用符号表达式symsum计算序列的DTFT。 figure(1);%绘制非周期序列的时域波形散点图。 xn=subs(xt,t,n);%将序列的符号表达式离散化，绘制序列的散点图，共10点。 stem(n,xn,'.'); axis([0,N,0,1]); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grid; figure(2);%绘制非周期序列DTFT的实部和虚部。 subplot(2,1,1); ezplot(real(Xw));%实频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Real Part of X(Ω)'); grid; subplot(2,1,2); ezplot(imag(Xw));%虚频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Imaginary Part of X(Ω)'); grid;
离散时间傅里叶正变换（分解公式）：
X
n
xne
jn
离散时间傅里叶反变换（合成公式）：
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
以上两式称为傅里叶变换对，记作
xn X
DTFT
证明：与傅里叶变换的证明类似。
说明： （1）频谱密度函数的概念 对离散时间傅里叶反变换（合成公式）进行改写
（1）复指数序列、余弦序列和正弦序 列的离散时间傅里叶变换
e
j 0 n
2
DTFT
DTFT
k
0
0
2k
cos 0 n
k
k
2k 0 2k
symsum Symbolic summation of series Syntax r = symsum(s) r = symsum(s,v) r = symsum(s,a,b) r = symsum(s,v,a,b) Description r = symsum(s) is the summation of the symbolic expression s with respect to its symbolic variable k as determined by findsym from 0 to k-1. r = symsum(s,v) is the summation of the symbolic expression s with respect to the symbolic variable v from 0 to v-1. r = symsum(s,a,b) and r = symsum(s,v,a,b) are the definite summations of the symbolic expression from v=a to v=b.
xn
X k
n 0
0
e
jk 0 n
0
2 N
为基本数字频率。
其离散时间傅里叶变换为
X DTFTxn 2
k
X k
0
k 0
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
2
0
d jn X 2 e
从此式可以看出，各次谐波exp(j Ω n)的幅值为 [X(Ω)d Ω /2π]，而该幅值的宽度是数字频率Ω 的微分d Ω （无穷小），因此离散时间傅里叶 正变换 X(Ω)表示幅值的密度，称为频谱密度函 数，简称频谱。从此式可以看出，离散时间非 周期信号x(n)的频谱密度函数X(Ω)是数字频率 Ω的连续函数。
3.3.4 脉冲序列和阶跃序列的离散时间傅里叶变换 （1）单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT n 1
证明： X DTFT n
n
xn e jn
n
n e jn
n
n e j0 e j0 1
y n 1
m
n m N
N
n
（4）单位阶跃序列的离散时间傅里叶变换
u n
DTFT
1 1 e
j
k
2k
证明：
3.3.5 周期序列的离散时间傅里叶变换
周期序列： 复指数序列 余弦序列 正弦序列 一般周期序列 周期性单位脉冲序列
（2）连续时间非周期信号的频谱没有周期性， 而离散时间非周期信号的频谱具有周期性，且 周期为2π。 证明：与前述类似，数字频率的周期为2π。
3.3.2 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换的性质与连续时间傅里叶 变换的性质类似。 共轭对称与共轭反对称性质：
3.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换举例
根据离散时间傅里叶变换的时移性质，即可得出时移后的 单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换为
DTFT n n0 e jn0
（2）周期为1的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT xn 1 2
k
2k
证明：如图所示，周期为1的单位脉冲序列也可以被称为 单位常数序列，并可以表示为
Xw = 1+1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_real = 1+1/4*exp(-i*w)+1/8*exp(-2*i*w)+1/16*exp(-3*i*w)+1/32*exp(4*i*w)+1/64*exp(-5*i*w)+1/128*exp(-6*i*w)+1/256*exp(-7*i*w)+1/512*exp(8*i*w)+1/1024*exp(-9*i*w)+1/2048*exp(-10*i*w)+1/2*conj(1/2*exp(i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w))
DTFT sin 0 n j
0
2k 0 2k
证明：考虑下列结论即可得证。 单位常数序列的离散时间傅里叶变换 频移性质 欧拉公式
（2）一般周期序列的离散时间傅里叶变换
已知一般周期序列的复指数形式的离散时间傅里叶级数 展开式为 N 1
xn 1
m
n m n
1
（3）周期为N的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
2 y n 1 N
DTFT
2 k N k
证明：如图所示，周期为N的单位脉冲序列也可以被称为 周期为N的单位常数序列，并可以表示为
第3章 离散时间信号的傅里叶分析
3.3 离散时间傅里叶变换与离散时 间非周期信号的频谱
3.3.1 离散时间傅里叶变换的定义
离散时间周期信号能够用具有谐波关系的复指 数序列的线性组合来表示，称为离散傅里叶级 数。将这一概念推广应用到离散时间非周期信 号，认为离散时间非周期信号也能够用具有谐 波关系的复指数序列的线性组合来表示。 当离散时间周期信号的周期N趋于无穷大时， 则离散时间周期信号就转化为离散时间非周期 信号，其离散频谱就转化为连续频谱，称为离 散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。
Xw_imag = -1/2*i*(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w)-conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(10*i*w)))
xn a
n
Байду номын сангаас
a 0.5 0 n 10
采用 MATLAB计 算该非周期序列的 频谱（DTFT）。
②周期序列的频谱：实部和虚部。
clear all; N=10;%设定序列长度，共10点。 n=0:1:N;%定义序列的离散变量。 a=0.5;%设定指数序列的底。 syms t w;%定义符号变量。 xt=a^t;%定义序列的符号表达式，xt为连续时间指数函数。 Xw=symsum(xt*exp(-j*w*t),t,0,N);%采用符号表达式symsum计算序列的DTFT。 figure(1);%绘制非周期序列的时域波形散点图。 xn=subs(xt,t,n);%将序列的符号表达式离散化，绘制序列的散点图，共10点。 stem(n,xn,'.'); axis([0,N,0,1]); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grid; figure(2);%绘制非周期序列DTFT的实部和虚部。 subplot(2,1,1); ezplot(real(Xw));%实频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Real Part of X(Ω)'); grid; subplot(2,1,2); ezplot(imag(Xw));%虚频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel('Ω'); ylabel('Imaginary Part of X(Ω)'); grid;
离散时间傅里叶正变换（分解公式）：
X
n
xne
jn
离散时间傅里叶反变换（合成公式）：
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
以上两式称为傅里叶变换对，记作
xn X
DTFT
证明：与傅里叶变换的证明类似。
说明： （1）频谱密度函数的概念 对离散时间傅里叶反变换（合成公式）进行改写
（1）复指数序列、余弦序列和正弦序 列的离散时间傅里叶变换
e
j 0 n
2
DTFT
DTFT
k
0
0
2k
cos 0 n
k
k
2k 0 2k
symsum Symbolic summation of series Syntax r = symsum(s) r = symsum(s,v) r = symsum(s,a,b) r = symsum(s,v,a,b) Description r = symsum(s) is the summation of the symbolic expression s with respect to its symbolic variable k as determined by findsym from 0 to k-1. r = symsum(s,v) is the summation of the symbolic expression s with respect to the symbolic variable v from 0 to v-1. r = symsum(s,a,b) and r = symsum(s,v,a,b) are the definite summations of the symbolic expression from v=a to v=b.
xn
X k
n 0
0
e
jk 0 n
0
2 N
为基本数字频率。
其离散时间傅里叶变换为
X DTFTxn 2
k
X k
0
k 0
1 xn 2
2
0
X e
jn
d
2
0
d jn X 2 e
从此式可以看出，各次谐波exp(j Ω n)的幅值为 [X(Ω)d Ω /2π]，而该幅值的宽度是数字频率Ω 的微分d Ω （无穷小），因此离散时间傅里叶 正变换 X(Ω)表示幅值的密度，称为频谱密度函 数，简称频谱。从此式可以看出，离散时间非 周期信号x(n)的频谱密度函数X(Ω)是数字频率 Ω的连续函数。
3.3.4 脉冲序列和阶跃序列的离散时间傅里叶变换 （1）单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT n 1
证明： X DTFT n
n
xn e jn
n
n e jn
n
n e j0 e j0 1
y n 1
m
n m N
N
n
（4）单位阶跃序列的离散时间傅里叶变换
u n
DTFT
1 1 e
j
k
2k
证明：
3.3.5 周期序列的离散时间傅里叶变换
周期序列： 复指数序列 余弦序列 正弦序列 一般周期序列 周期性单位脉冲序列
（2）连续时间非周期信号的频谱没有周期性， 而离散时间非周期信号的频谱具有周期性，且 周期为2π。 证明：与前述类似，数字频率的周期为2π。
3.3.2 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换的性质与连续时间傅里叶 变换的性质类似。 共轭对称与共轭反对称性质：
3.3.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换举例
根据离散时间傅里叶变换的时移性质，即可得出时移后的 单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换为
DTFT n n0 e jn0
（2）周期为1的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
DTFT xn 1 2
k
2k
证明：如图所示，周期为1的单位脉冲序列也可以被称为 单位常数序列，并可以表示为
Xw = 1+1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_real = 1+1/4*exp(-i*w)+1/8*exp(-2*i*w)+1/16*exp(-3*i*w)+1/32*exp(4*i*w)+1/64*exp(-5*i*w)+1/128*exp(-6*i*w)+1/256*exp(-7*i*w)+1/512*exp(8*i*w)+1/1024*exp(-9*i*w)+1/2048*exp(-10*i*w)+1/2*conj(1/2*exp(i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w))
DTFT sin 0 n j
0
2k 0 2k
证明：考虑下列结论即可得证。 单位常数序列的离散时间傅里叶变换 频移性质 欧拉公式
（2）一般周期序列的离散时间傅里叶变换
已知一般周期序列的复指数形式的离散时间傅里叶级数 展开式为 N 1
xn 1
m
n m n
1
（3）周期为N的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换
2 y n 1 N
DTFT
2 k N k
证明：如图所示，周期为N的单位脉冲序列也可以被称为 周期为N的单位常数序列，并可以表示为
第3章 离散时间信号的傅里叶分析
3.3 离散时间傅里叶变换与离散时 间非周期信号的频谱
3.3.1 离散时间傅里叶变换的定义
离散时间周期信号能够用具有谐波关系的复指 数序列的线性组合来表示，称为离散傅里叶级 数。将这一概念推广应用到离散时间非周期信 号，认为离散时间非周期信号也能够用具有谐 波关系的复指数序列的线性组合来表示。 当离散时间周期信号的周期N趋于无穷大时， 则离散时间周期信号就转化为离散时间非周期 信号，其离散频谱就转化为连续频谱，称为离 散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。
Xw_imag = -1/2*i*(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w)-conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(10*i*w)))