基于层次分析法的大学排名

R 1R1 2 R2 .... s Rs ， R 为模糊一致矩阵。
同理构造 Cij 对于 Bi 的模糊一致矩阵。
第三步：计算每个模糊一致矩阵的权向量，具体算法为：
1 1 1 e0 ( , , , )T n n n Aek 1 ek 为Aek 1的1范数 ek e ek k ek 可以证明,迭代的n维向量序列ek 收敛。
C21 , C22 , C23 对B2的模糊互补矩阵为：
0.5 0.125 0.5 B2 0.5 0.5 0.125 0.875 0.875 0.5
C31 , C32 , C33 , C34 对B3的模糊互补矩阵为：
0.5 0.916667 0.916667 0.666667 0.0833333 0.5 0.5 0.25 B3 0.0833333 0.5 0.5 0.25 0.75 0.75 0.5 0.33333
2
基本假设与名词约定
2.1 基本假设
假设Ⅰ 假设Ⅱ 各个高校之间存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。 各个专家给出的判断矩阵是基于事实的。
2.2 名词约定
①如果 量
W w1 , w2 ,..., wn Wi 的大小表现了因素的重要程度， 则称 为因素的权重向
②设矩阵
A (aij )nn
T ek （1， 2， n） T 权系数矩阵ek （1， 2， n）
可得到指标 B1 , B2 , B3 对指标A的层次单排序重要性权值向量，同理得到指标Cij对 Bi的权重向量。
第四步：计算层次总排序指标的重要性权值
层次总排序计算由上至下逐层进行，第一层包含三个指标 B1 , B2 , B3 量为 ，其权值向
3
模型的设计与算法
3.1 模型的理论基础
本例中采用模糊一致矩阵来代替 AHP 原有的逆称矩阵，从而减少了检验一 致性的繁杂操作，而且符合人们决策思维的一致性。 模糊矩阵具有以下性质： 定理 1 模糊一致矩阵 （1）若 （2）若 （3）若
Al (aij l ) nn , (l 1,..., s)
设五位专家易见权重相等，取
l 1/ 5, (l 1,...5) 算得最终 A 为：
0.5 0.325 0.675 A 0.675 0.5 0.85 0.325 0.15 0.5
同理，得
C11 , C12 , C13 对 B1 的模糊一致矩阵为
1 0.5 0.75 B1 0.25 0.5 0.75 0 0.25 0.5
(WB1 ,WB 2 ,WB 3 )
，
，而第二层包含的指标分别为
(WC11 ,WC12 ,WC13 )
Biblioteka Baidu
，
(WC 21 ,WC 22 ,WC 23 )
(WC 31 ,WC 32 ,WC 33 ,WC 34 )
。
。则第二层的层次总排序权向量为
(WB1WC11 ,WB1WC12 ,...,WB 3WC 33 ,WB3WC 34 )
第二步：构造层次单排序模糊一致矩阵：有
5 位专家对指标体系第一层次 n
个指标 B1 , B2 , B3 相对于目标层重要性进行两两比较，得到层次判断矩阵：
b11 b12 Al b21 b22 b 31 b32
b13 b23 , (l 1,...,5) b33
摘要：
1
问题的提出
高等学校排名是目前社会很重要的一个评估资料． 它的一个很重要的目的就 是通过对现有资料的收集与分析，尽可能地向社会提供各高校的相关信息．一份 权威的高校排行榜，将会为国家的高校教育发展提供一个科学的参照系， 排行榜 有利于国家制定高校教育的规划和提高教育投资的效率； 对学生而言，通过高校 排行榜与自己水平的评估，可以帮助选择最适合自己的高校进行学习，这对学生 个人与社会教育资源的优化配置都是及其有利的。 对高校而言， 排行榜也会对各 高校形成一种激励机制，产生积极效应，促进各高校建设和提升各高校的实力， 促进教育事业的完善与繁荣。 在我国， 类似工作在非官方机构进行研究， 常用的方法为层次分析法(AHP)。 20世纪70年代美国运筹学家Saaty首先提出了“层次分析法”(AHP)的概念，有效 解决了多层次、多属性决策问题。AHP将可以将半定性，定量的问题转化为定量 问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预 测事物的发展提供可比较的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的运用， 主要用于确定综合评价的权系数。 然而， AHP也有其局限性： (1) AHP中的1—9标度法，将重要性分为同样、稍微、明显、强烈、极端以 及它们的中间程度9个档次， 实际应用中人们主观上很难对9个重要性程度进行精 确判断区分，大多数情况下，只是感觉“重要” 、或“不重要” 。 (2) AHP检验判断矩阵是否具有一致性非常困难。且当判断矩阵不具有一致 性时需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要经过若干次调整， 检验、在检验才能使判断矩阵具有一致性。 (3) 最后是 AHP中判断矩阵的一致性与人们思维的一致性有显著差异，判断 矩阵要求 到
，若满足
0 aij 1
，则称矩阵 A 为模糊矩阵。 ，则称矩阵 A 为模糊互补矩阵。
③若模糊矩阵
A (aij )nn
，满足
aij a ji 1
④若模糊互补矩阵 为模糊一致矩阵。
A (aij )nn
,满足对任意 k，有
aij aik a jk 0.5
，则称矩阵 A
第一步：将决策解分解为三个层次，即：
目标层： （大学的综合测评） 准则层 B： （学科基础 B1，学术队伍 B2，科研成果 B3） 准则层 C:（一级学科点数 C11，博士点数 C12，硕士点数 C13） ， （国家基地数 C21，正 副教授数 C22，国家经费数 C23） ， （国家社科基金奖数 C31,教育部人文社科奖部 C32，发明 专利部 C33，国内外重要期刊发表论文数 C34）
3．2
总分值的规定
高校“总分值”的办法由很多，在本例中采用 10 分法对学校不同的指标进 行评价。 然后再乘以相应的指标层次总排序权值后求和， 即可得到学校的总分值。 为了体现学校在各个指标中的差距， 体现个别大学在特殊领域的贡献，我们在给 分时采取按程度给分， 并不是按排名顺序给分。 比如北京大学和清华大学在国家 社科基金项目奖这一指标中数据分别 15,2， 且分别为前两名。 按照按程度给分的 原则，在 10 分值中给分分别为 10,5，而并非 10,9。
其中元素
aij l
的取值采用 0— 1 三标度法
aij l
=0． 5 指标 i 和指标 j 同样重要
aij l aij l
=0 指标 i 不如指标 j 重要 =1 指标 i 比指标 j 重要
易见矩阵 A 满足
aij a ji 1
，为模糊互补矩阵，根据定理 3 进行改造，变为模
糊一致矩阵 Rl ，在根据定理 2 ，根据专家易见重要性权重，将 Rl 合成为
然后进行排序，即得高校排名结果。
4． 模型求解
1. 构造层次单排序模糊一致矩阵 5 位专家对指标体系第一层次 n 个指标
B1 , B2 , B3
相对于目标层重要性进行两
两比较，得到层次判断矩阵，并对其进行模糊一致化：
0.5 0.875 0.875 A1 0.125 0.5 0.5 0.125 0.5 0.5
第五步：根据数据，对各个高校按照指标评分
评分采用十分制，对于某指标，最高的学校给10分，最低的给1分，其他学校的 分数通过内插法确定其分数。
10 1 amax amin y 1 x amin ，y为分数。以此给每个学校进行指标评分。 其公式为
第六步:
依据评分结果和总层次权值，加权算出最后的综合分数，
定理3 换：
设有模糊互补矩阵
A (aij )nn
，记
ri aik (i 1,..., n)
k 1
n
，施以如下数学变
rij
则矩阵
ri rj 2(n 1)
0.5
R (rij )nn
是模糊一致矩阵。
此性质避开了层次分析法中复杂的检验一致性的过程。
算法:
为给出工作安排的决策建议，根据层次分析法，我们设计以下算法。最终给出各个工作方案 的优先排序。
大学的综合测评
一级学科点数C11 学科基础B1 博士点数C12 W (3)1 硕士点数C 13 国家基地数C 21 学术队伍B 2 正、副教授数C 22 W (3) 2 国家经费数C 23 国家社科基金奖数C31 教育部人文社科奖C32 (3) 科研成果B3 W3 发明专利数C33 国内外重要期刊发表论文C34
2． 用迭代法求得权重向量
WA 0.3333, 0.4615, 0.2052 WB1 0.5447, 0.3333, 0.1220
s
⑤设有模糊互补矩阵 称
Al (aij (l ) )nn (l 1,..., s) , ,令
aij l aij (l ) (l 0, l 1)
l 1 l 1
s
， 则
A (aij ) nn
为合成矩阵。
3
3.1
问题的详细分析
建立高校排名的指标体系
影响高校实力的因素是多方面的，如一级学科点数、博士点数、硕士点数、 经费总数、教师数、获奖总数，发表论文数等．结合以往评价的资料，选取实际 一级学科点数、实际博士点数、实际硕士点数、发明专利数、国家社科基金项目 奖数、教育部人文社科奖数、经费总数、正副教授数、国家基地总数 + 重点学科 数、 国内外重点期刊发表的论文总数这10项指标作为评价因素， 并将其划分为学 科基础、学术队伍、科研成果3类．
0.5 0.125 0.5 A2 0.875 0.5 0.875 0.5 0.125 0.5
0.5 0.25 0.75 A3 0.75 0.5 1 0.25 0 0.5
0.5 0.25 0.75 A4 0.75 0.5 1 0.25 0 0.5 0.5 0.25 0.75 A5 0.75 0.5 1 0.25 0 0.5
aik aij a jk
，假如
aij 3
(i比j稍微重要)，
a jk 3
(j比k稍微重要)，则得
aik 9
(i比k重要的多)，这样的逻辑不符合人们思维的一致性。
为此，我们把模糊思想引入层次分析法，使之符合人们对客观事物本质认识 的模糊性， 考虑到我们的目的是进行 “排名” ， 即只需排出学校的合理顺序即可， 不需要知道“好”学校比“不好”学校“好”多少；其次高校排名指标体系数量 较多，采用过细的标度都容易造成指标之间比较的混乱，难以满足一致性。而 0 ——l三标度法简单、可操作性强，是一种实用的标度方法。 本文综合考虑高校各方面基本情况，尝试给出了高等学校综合实力排名指标 体系，利用层次分析法基本原理， 引入模糊一致矩阵确定各层次指标重要性矩阵 和高校间优劣度矩阵， 有效避免了判断矩阵的一致性， 减少了矩阵一致性修正工 作量。最后通过计算实例，得到了符合实际的运算结果。
>0.5，则
满足传递性，即：
aij
aij aij
>0.5， <0.5， =0.5，
a jk
a jk a jk
aik
>0.5；
<0.5，则
aik
<0 .5； =0.5；
= 0.5，则
aik
由定理 1 知，若因素 i 比因素 j 重要，因素 j 比因素 k 重要，则因素 i 比因素 k 重要，反之亦然。可见模糊一致矩阵符合人们决策思维的一致性。 定理2 模糊一致矩阵的合成矩阵仍为模糊一致矩阵。