第五章 附有限制条件的条件平差

ˆ x ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )We N bb1C T N cc1Wx （5-1-26）
将（5-1-22）式代入（5-1-16）式，整理可得 （5-1-27） 在实际计算时，当列出函数模型（5-1-11）、（5-11 N aa 、 aa1、N bb 、 bb1、 cc 、cc 和 W e ， N N N N 12）式后，即可计算 ˆ 然后根据（5-1-26）式解算 x ，再由（5-1-27）式求 得观测值的改正数V。最后根据（5-1-20）、（5-1-21） 式求得观测值的平差值和参数的平差值，完成求平差 值的工作。
T 2 K T B 2 K S C 0 ˆ x
两边转置整理后，则有：
nn n1
T
PVA K 0
T nc c1
T
（5-1-14）
B K C KS 0
uc c1 u s s1
（5-1-15）
以上（5-1-11）、（5-1-12）、（5-1-14）、（5-115）四式联合称为附有限制条件的条件平差的基础方 程。其中共包括有n+u+c+s个方程，包含的未知量的 个数也是n+u+c+s个，它们分别是：
附有限制条件的条件平差法单位权方差估值的计算 仍然是用 V T PV 除以它的自由度r，即:
ˆ2 0 V T PV r V T PV cu s
（5-2-1）
其中 V T PV 的计算，可以利用观测值的改正数及其 权阵直接计算，当不能直接知道改正数的情况下， 也可以使用下面推导的公式进行计算。
1 ˆ V P 1 AT N aa (W Bx)
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。

一、单位权方差估值的计算公式
Qww AQll A N aa
T
（5-2-4）
We B T N aa1W
QW eW e B N N aa N B B N B N bb （5-2-5）
T T
Q XˆX ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) N bb ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) T ˆ
，为此，
按求条件极值的方法组成新的函数
ˆ V PV 2 K ( AV Bx W ) T ˆ 2 K S (Cx Wx ) （5-1-13）
T T
ˆ 为求其极小值，将上式分别对V和 x 求一阶偏导数 并令一阶偏导数为零，得
V 2V T P 2 K T A 0
K s N cc1 (W x CN bb1W e ) N cc1W x N cc1CN bb1W e
V P A K QA K
T T n 1
1
ˆ L L V
ˆ 下面举例说明若干协因数阵的推导过程，考虑到 X 为非随机量，所以 W x 可以视为常量。
u c c 1
u s
s1
0
s u u 1
C ~ Wx 0 x
s1
(5-1-17)式称为附有条件的条件平差的法方程，其系 数矩阵对称，所以仍是一个对称线性方程组。可将 其写成如下形式：
N aa T B 0 B 0 C 0 K W T ˆ 0 0 C x 0 K s W x
如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个 参数中存在着s个函数关系式，则建立平差模型时应 列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s个 一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s个， 形成如下的函数模型
~ ( X ) 0
~ ~ A L B X A0 0
cu u1 c1
（5-1-22）
将其代入（5-1-17b）得：
ˆ B T N aa1 (W Bx ) C T K s 0
即
ˆ B N Bx C K s B N W 0 （5-1-23）
T T T
u u
1 aa
1 aa
若令 N B T N 1 B , bb aa 则（5-1-23）式可以写为
CN C K s CN We W x 0
N cc CN bb1C T
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN W e W x 0 由此式可得
1 bb
K s N (Wx CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）
将上式代入（5-1-24）式，整理可得
前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未 知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观 测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为 一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件 方程。
但在很多情况下，即使我们选了u<t或u=t个 参数，但它们之间却是相关的，即使我们选择 了u>t个参数，也不一定就包含t个独立参数， 这是前面几种方法中所未提及的概念。在这种 情况下，就无法应用前面介绍的几种平差方法 进行平差了，那么针对这种情况，采用什么样 的函数模型和平差方法，正是本章所要讨论的 内容。 在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模 型建立方法，该方法也要增选u个参数，方程的 总数为r+u个。
则可写出其线性化后的函数模型为 A B ~ W 0 x （5-1-8） cn n1 cu u1 c1
su u 1
C ~ Wx 0 x
s1
（5-1-8） （5-1-8） （5-1-8）
以和的估值和代入上式，则
cn n1
ˆ A V B x W 0
cu u1 c1
u 1
1 aa
1 aa
1 aa
( E N bb1C T N cc1C )( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )
( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 N bb1C T N cc1CN bb1
T T T T T
因为
BT K C T K S 0
u c c1 us s1
，则有
ˆ T C T K s W T K (C x ) T K s ˆ V PV W K x
T T
考虑到
T
su u 1
ˆ C x W x 0，有
s1
V PV W K W K s
ˆ L L V ˆ X0 x ˆ X
（5-1-20） （5-1-21）
就平差目的而言，V和 x 是所需要的解，联 ˆ Ks 系数 s1 和 cK1 则是解算过程中的过渡数值。因 此，下面将进一步推导各量的显性表达式。 由（5-1-17a）式可得：
ˆ K N (W Bx)
1 aa
第五章 附有限制条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
前面几章介绍的条件平差、附有参数的条件平差、 间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差 方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法 都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数 的个数分别是u<t，u=t，u>t，且要求参数间彼此 独立，在u>t的情况下，也要求必须包含t个独立 参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含 如下四类的方程：
T T x
（5-2-2）
ˆ 若将代入上式 K N (W Bx ) ，得
ˆ V T PV W T N aa1 (W B x ) W xT K s T 1 T 1 T ˆ W N aa W W N aa B x W x K s
1 aa
顾及到
We B T N aa1W ， u 1
L EL
W ( AL BX A0 ) AL W
0 0
ˆ ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )W e N bb1C T N cc1W x x
ˆ ˆ K N aa1 (W Bx ) N aa1W N aa1 Bx
V,
n1
ˆ x , K, Ks u1 c1
s1
方程的个数和待定量的个数相同，可唯一确定各未知 数。 解算此基础方程，通常是先从（5-1-14）式解得：
V P A K QA K
T T n1
1
（5-1-16）
上式称为改正数方程。
将此式代入（5-1-11）式，则有：
c n n n
ˆ A P 1 A T K B x W 0
n c c u u 1 c 1
令
N aa AP A
1
T
连同（5-1-15）、（5-1-12）式，则得：
ˆ N aa K B x W 0
cc c1 cu u 1
c 1
T BT K C KS
（5-1-17a） （5-1-17b） （5-1-17c）
N bb1C T N cc1CN bb1C T N cc1CN bb1 )
c1
~ ~ F (L, X ) 0
（5-1-5） （5-1-6） （5-1-7） （5-1-8）
S 1
若为线性形式，则为
cn n1
su u1
~ C X C0 0
s1
无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍的 线性化方法和结论，并考虑到
~ X X0 ~ x
~ L L
su u 1
ˆ C x Wx 0
s1
式中
W ( AL BX 0 A0 )