2017-2018学年人教A版高中数学选修4-5全册教学案

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5全册教学案

目录

第一讲一 1.不等式的基本性质

第一讲一 2.基本不等式

第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式

第一讲二 1.绝对值三角不等式

第一讲二 2.绝对值不等式的解法

第一讲本讲知识归纳与达标验收

第二讲一比较法

第二讲二综合法与分析法

第二讲三反证法与放缩法

第二讲本讲知识归纳与达标验收

第三讲一二维形式的柯西不等式

第三讲二一般形式的柯西不等式

第三讲三排序不等式

第三讲本讲知识归纳与达标验收

第四讲一数学归纳法

第四讲二用数学归纳法证明不等式

第四讲本讲知识归纳与达标验收

1．不等式的基本性质

对应学生用书P1 1．实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．

(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.

(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.

(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.

(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.

(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．

(6)如果a>b>0n

a＞

n

b n∈N，n≥2)．

3．对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．

(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，

c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．

(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不

成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒n

a>

n

b(n＝2k

＋1，k∈N＋)．

(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质

的条件．如a＞b，ab＞0⇒1

a＜

1

b，而反之不成立．

对应学生用书P1

实数大小的比较

[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4

x ＋y ，试比较m 和n 的大小．

[思路点拨] 两式作差――→变形

转化为因式乘积形式

――→与0比较

判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4

x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，

∵x ，y 均为正数，

∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．

比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．

1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋3

4

b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.

2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 2

9＋a 4

，B 点对应的实数为1，试判别A 点在

B 点的左边，还是在B 点的右边？

解：因为6a 2

9＋a 4－1＝－(a 2－3)29＋a 4

≤0，

所以6a 2

9＋a 4

≤1.

当且仅当a ＝±3时取“＝”，

所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．

不等式的证明

[例2] 已知a >b >0，c

e a －c >e b －d

. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －e

b －d ＝e (b －d －a ＋

c )(a －c )(b －

d )＝

e (b －a ＋c －d )

(a －c )(b －d )，

∵a >b >0，c

又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0.

∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即e a －c >e

b －d

.

法二：⎩⎪⎨

⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫c －d >0a >b >0⇒

⎭⎪⎬⎪⎫

a －c >

b －d >0⇒1a －

c <

1b －d e <0

⇒e a －c ＞e b －d .

进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ；