黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试数学试卷(文)

黑龙江省哈尔滨市2013届高三第一次模拟考试
数学试卷（文史类）
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合}1,0,1{},2|{-==∈=B y R y A x
，则下列结论正确的是（ ） （A ）}1,0{=B A （B ）),0(+∞=B A （C ）)0,()(-∞=B A C R （D ）}0,1{)(-=B A C R
2．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为（ ）
（A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6-
3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ） （A ）8，8 （B ）9，7 （C ）10，6 （D ）12，4
4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：
①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆． 其中正确的是（ ）
3 侧视图
正视图
2
2 2
（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 5．函数x
x x f 1
ln )(-
=的零点所在区间是（ ） （A ）1(0,)2
（B ）1(,1)2
（C ）(1,2) （D ）(2,3)
6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的 值为（ ）
（A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）12
7．对于命题p ：双曲线
)0(1422
2>=-b b y x 的离心率为2；命题q ：椭圆
)0(12
22>=-b y b
x 的离心率为
2
3
，则q 是p 的（ ） （A ） 充要条件 （B ） 充分不必要条件 （C ） 必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
8． 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，若2
22a bc c b =-+，且
3=b
a
，则角C 的值为（ ）
（A ）︒45 （B ）︒60 （C ）︒90 （D ）︒120
9．已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，08462=-a a a ，则
=2
4
S S （ ） （A ）5 （B ）8 （C ）8- （D ）15
10．已知函数x e x f x
+=)(，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（ ）
（A ）2102+≤<e a ,1≥b （B ）21
02+≤<e a ,1≤b
（C ）212+≥e a ,1≥b （D ）2
1
2+≥e a ,1≤b
11．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ） （A ）两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4
x π
=-成轴对称 （C ）两个函数在区间(,)44
ππ
-
上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同
12． 函数2
cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（ ）
（A ）),0(e （B ）),1(e （C ）),1(e e （D ）),1(),1(e e e
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若279=S ,则423a a -等于 ． 14．设c b a ,,是单位向量，且c b a +=，则向量b a ,的夹角等于____________．
15．已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相
交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p 等于____________． 16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，
使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体
ABCD 外接球表面积为____________．
B C
D A
B C
A
D
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象
如图所示．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合；
（18）（本小题满分12分）
某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：
分组
频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[
3 0.06 )70,60[ 1
4 0.28 )80,70[ 1
5 0.30 )90,80[ )100,90[
4 0.08 合计
（1） 请把表中的空格都填上，并估计高三学生成绩在85分以上的比例和平均分； （2）为了帮助成绩差的同学提高成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从)100,90[成绩中选两名同学，共同帮助)50,40[中的某一位同学。

已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率
（19）（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角
形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，E 为AD 的中点． （1）求证：PB AD ⊥； （2）求点E 到平面PBC 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被
椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3
||=
AB 时，求实数t 的值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数x
e x g x x
f ==)(,ln )( （1）若函数1
1
)()(-+-
=x x x f x ϕ，求函数)(x ϕ的单调区间； （2）设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线，证明：在区间)
,1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切．
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点
F ．
求证：（1）2
CE CE AC DE BE =⋅+⋅； （2）B C F E ,,,四点共圆．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t
y t
x 322（t 为参数），直线l 与
曲线
1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点
（1）求||AB 的长；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为
)4
3,
22(π
，求点P 到线段AB 中点M 的距离．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；
（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．
哈六中2013届第一次高考模拟考试文科数学参考答案
一、选择题
1D 2A 3B 4D 5 C 6B 7C 8C 9A 10 D 11C 12C 二、填空题 13、6- 14、3
π
15、2 16、313π
三、解答题：
17．解（1）解（1）由图知ππ
π4
15
4
44
3,3=
-==T A ， ∴π5=T ，∴52=
ω，∴)5
2
sin(3)(ϕ+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)5
8sin(33ϕπ
+=-， ∴
Z k k ∈-=+,2258ππϕπ，∴Z k k ∈-=,10
212ππϕ， ∵2
||πϕ<
，∴10
πϕ-
=，∴)10
5
2
sin(3)(π
-
=x x f …… 6分
（2）由Z k k x k ∈+≤-≤
+
,2
3210522
2ππππ
π 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++
],45,2
35[πππ
π，…… 9分 函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为},2
35|{Z k k x x ∈+=π
π .…… 12分 18解：（1）
分组
频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[ 3 0.06 )70,60[
14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ 12 0.24 )100,90[
4 0.08 合计
高三学生成绩在85分以上的比例约为0.2；
8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计平均分约为8.73分 …… 6分
（2）将)100,90[中的4人记为,,,321a a a 甲；)50,40[中的2人记为b 和乙
则所有的分组结果为乙）,,(),,,(2121a a b a a ，乙）,,(),,,(3131a a b a a ，
甲，乙）甲，（,(),,11a b a ，乙）,,(),,,(3232a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,22a b a ，甲，乙）甲，（,(),,33a b a ，共12种，
甲乙恰好在一组的结果有甲，乙）,(1a ，甲，乙）,(2a ，甲，乙）,(3a 3种， 设“甲乙恰好在一组”为事件A ，则4
1
123)(==
A P …… 12分 19．解（1）证明：连接PE ，E
B ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分
因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分
E BE PE = ，所以⊥AD 平面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分
（2）过E 作PB EF ⊥
由（1）知⊥AD 平面PBE ，∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE
平面PBC ⊥平面PBE,又 平面PBC∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC
2
6
=⋅=
PB EB PE EF …… 12分
20解（1） 由已知32c e a ==，所以2234c a
=，所以2222
4,3a b c b ==
所以22
2214x y b b
+= …… 1分
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为2
21b a
= 所以1b = …… 3分
所以2
214
x y += …… 4分
（2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y
设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得
2
2
(3)14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩
整理得2222
(14)243640k x k x k +-+-=
24222416(91)(14)0k k k ∆=--+> 得215
k <
22121222
24364
,1414k k x x x x k k
-+=⋅=++ …… 6分
1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2
2
24(14)k t k +
[]12122
116()()6(14)
k
y y y k x x k t t t k -=+=+-=+
由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++2
222
1444(14)
k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分
又由34)(1||212212
=-++=x x x x k
AB , 所以2212(1)()3k x x +-<
2
(1)k +3]41)436(4)41(24[2
22242=+--+k
k k k 解得812
=k …… 10分 由2
2
2
36(14)k t k =+得22
22
369
91414k t k k
==-++ 所以3±=t (12)
分
21解：（1）2
22)
1(1
)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ …… 2分 1,0≠>x x ，0)(>'∴x ϕ，增区间为（0,1）和（1，+∞） …… 4分
（2）,1)(,1)(00x x f x x f ='∴=
' 切线方程为)(1ln 00
0x x x x y -=-① ……6分
设)(x g y l =与切于点),,(11x e x 010
ln ,1
,)(1
x x x e
e x g x x
-=∴=
∴=' l ∴方程0
0001ln 1x x x x x y ++=
，② …… 8分 由①②可得1
1
ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=
-x x x x x x x ， 由（1）知，1
1
ln )(-+-
=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增， 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ，01
311ln )(222
22
2>--=-+-=e e e e e e ϕ， 由零点存在性定理，知方程0)(=x ϕ必在区间),(2
e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分 22证明：（1）,~CDE ABE ∆∆ DE AE CE BE ::=∴，
∴2CE CE AC DE BE =⋅+⋅ …… 5分
（2） AB 是⊙O 的直径，所以︒=∠90ECB ，BE CD 2
1
=
∴， BF EF ⊥，BE FD 2
1
=
∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分 23解（1）直线l 的参数方程为标准型⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分
代入曲线C 方程得01042
=-+t t
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB …… 5分
（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分 所以点P 在直线l ， …… 7分
11 / 11 中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分
24解（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式
…… 2分
所以定义域为21|{<x x 或}2
11>x …… 5分 （2）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(…… 7分
由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分 所以04≤-a
所以4≥a …… 10分。