几种特殊函数的图象及性质

几种特殊函数的图象及性质

备课教师：刘彩伏

教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待

定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观

察出它们的性质。

2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴

的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方

法。

教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。

教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。

计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析

与训练）

教学过程：

一、基础知识复习

1、正比例函数

[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。

[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。

[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在

二、四象限内，y 随x 的增大而减小。

2、反比例函数

[定义]：函数x

k y =(k 是常数，k ≠0)。 [图象]：双曲线。

[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。

3、一次函数

[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。（注意：当b=0时，就成为正比例函

数）

[图象]：经过（0，b ），（k

b -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）

[性质]：

①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩

⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ； ②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四

00b b ；

4、二次函数

[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。

[图象]：抛物线

[性质]：

①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

②顶点：)44,2(2

a

b a

c a b -- ；对称轴：a b x 2-= 。 （注：可对y =ax 2+bx+c 用配方法来求顶点与对称轴，即：若配方得y =a(x+h)2

+k ，

则顶点为（-h ，k ），对称轴为x =-h ，而y =a(x+h)2+k 也被称为二次函数的顶点式） ③最值与增减性：a>0时，函数y 当a b x 2-=时，有最小值a

b a

c 442

-，且a b x 2->时，增，a b x 2-<时，减；a<0时，函数y 当a b x 2-=时，有最大值a

b a

c 442

-，且a b x 2->时，减，a

b x 2-<时，增。 ④与坐标轴的交点：与y 轴交于点（0，

c ）；与x 轴的交点个数要由Δ判定（注意

理解一元二次方程与二次函数两者的联系）。

二、题型分析练习

1、利用函数概念与性质解题

例1：在函数1992)92(+--=m m x m y 中，当实数m 为何值时，

(1) 此函数为正比例函数，且它的图象在第二、四象限内；

(2) 此函数为反比例函数，且它的图象在第一、三象限内。

[分析]：同时考虑系数与x 的次数的取值，利用正、反比例函数的概念和性质可解。

[注意]：对系数(2m-9)的限制，要考虑图象的情况。

[解]：略。

例2：点A （a ，b ），B （a-1，c ）均在函数x

y 1=的图象上，若a<0，则b ？ [分析]：点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式。

[解]：略。

例3：已知二次函数y=x 2-4x-5

①把函数化成顶点式；

②指出图象的顶点坐标和对称轴；

③画出函数图象

④利用函数图象解不等式x 2-4x-5<0。

[解]：略。

[练习]：1、已知点（2，5），（4，5）是某抛物线上两点，则此抛物线的对称轴方

程为？

2、《学力提升》27页例2。

例4：已知正比例函数ax y =1，反比例函数x

b y =2，在同一坐标系中这两个函数的图象没有公共点，则a 与b 的关系是（ ）

A 、同号

B 、异号

C 、互为倒数

D 、互为相反数

[分析]：由x b ax =得a b x =2，当a 、b 异号时，x 2<0，这样的x 不存在，所以选B 。

例5：若反比例函数)0(≠=k x

k y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数k kx y -=的图象经过第 象限。

[分析]：由已知k<0，-k>0，所以k kx y -=的图象经过第一 、二、四象限。

[练习]：《学力提升》30页16—20，32页8—13，33页15—21。

2、交点问题

[说明]：“交点”即两函数图象的公共点。若已知两函数解析式，求其图象交点，可将两解析式列为方程组求解；若已知交点，求函数解析式中系数的值，可将交点坐标分别代入函数解析式求解。

例6：求两直线y=2x+3与y=-3x+8与x 轴所围成的三角形面积。

[分析]：分别求出两直线与x 轴的交点及两直线的交点，结合图形可求。

[解]：略。

[说明]：函数图象与x 轴的交点可令y 值为0来求；函数图象与y 轴的交点可令x

值为0来求；x(y)轴上两点间的距离等于两点横坐标（纵坐标）差的绝对值。

例7：若直线若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=?