几种特殊函数的图象及性质
几种特殊函数的图象及性质
几种特殊函数的图象及性质备课教师：刘彩伏教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观察出它们的性质。
2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方法。
教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。
教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。
计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析与训练）教学过程：一、基础知识复习1、正比例函数[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。
[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在二、四象限内，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数[定义]：函数xk y =(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：双曲线。
[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。
3、一次函数[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。
（注意：当b=0时，就成为正比例函数）[图象]：经过（0，b ），（kb -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。
（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）[性质]：①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ；②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四00b b ； 4、二次函数[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。
函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析
函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在函数的研究中，我们常常会遇到一些特殊函数，它们具有独特的性质和图像，对于理解函数的本质和应用有着重要的意义。
本文将从解析和分析的角度探讨特殊函数的一些典型例子。
一、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的图像具有规律的波动特点。
正弦函数表示了一个物体在周期性振动中的位置变化，而余弦函数则描述了物体在周期性振动中的速度变化。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的曲线，其周期为2π。
在解析上，正弦函数和余弦函数都可以用无穷级数展开，这为我们研究它们的性质提供了一种有效的方法。
二、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是互为反函数的特殊函数。
指数函数的图像呈现出逐渐增大的趋势，而对数函数则表示了指数函数的反向关系。
指数函数和对数函数在科学和工程领域有着广泛的应用，如在金融领域的复利计算和放射性元素的衰变等。
在解析上，指数函数和对数函数都可以用级数展开，这为我们研究它们的性质提供了一种有效的工具。
三、双曲函数双曲函数是一类与圆相关的特殊函数，它们的图像具有类似于双曲线的形状。
双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
双曲函数在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用，如在电磁场分析、弹性力学和利率模型等方面。
双曲函数的解析和性质研究是一个复杂而有趣的课题，它们的级数展开和积分表示形式为我们深入理解双曲函数提供了有力的工具。
四、贝塞尔函数贝塞尔函数是一类与圆柱体振动和波动相关的特殊函数，它们的图像具有非常复杂的形态。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学物理学等领域有着广泛的应用，如在电磁场分析、声学和量子力学等方面。
贝塞尔函数的解析和性质研究是一个非常有挑战性的课题，它们的级数展开和积分表示形式为我们深入理解贝塞尔函数提供了重要的工具。
总结起来，函数的图像和性质研究中的特殊函数的解析与分析是数学研究中的一个重要方向。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
理解对数的概念及其运算性质。
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
了解指数函数y=a x与对数函数y log a x互为反函数（a 0,且a 1）。
了解幂函数的概念。
结合函数y=x，y=x2，y=x3，112y ，y x2的图象，了解它们的变化情况。
指数函数、对数函数在高中数学中占有十x分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。
一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念2）．两个重要公式② （n a ） n a （注意 a 必须使na 有意义）。
2．有理数指数幂（1）幂的有关概念注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈ Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈ Q);.3．指数函数的图象与性质①正数的正分数指数幂m :an n a m(a 0,m 、n N ,且n 1);②正数的负分数指数幂m1 1 : a n 1m n 1m (a 0,m 、 n N , 且n 1) a n n a m③0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义①n a nan 为奇数a(a 0)|a|n 为偶数a(a 0)注： 如图所示，是指数函数（ 1） y=a x,（2） y=b x,（ 3） ,y=c x（ 4） ,y=d x的图象，如何确 定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
(完整版)高中的常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x ）=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x ）的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0，b ∈R ）1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k ｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域:R 值域:R单调性：当k 〉0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f （x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x ）没有奇偶性； 反 函 数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。
补充：反函数定义：例题:定义在r y=f （x ）； y=g （x ）都有反函数,且f （x-1）和g —1(x ）函数的图像关于y=x 对称，若f （4）=周 期 性:无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：xy b Of (x )=bx yOf (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x ）=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远） 图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k 〉0时，函数f (x ）的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x ）的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性:无奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x —2）和y=1/x —2的图像移动比较 2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较3）、f （x ）= dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0）（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。
高中各种函数图像和性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数b，0）两点的一条直线，我们称它为一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-k直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
专题16 几个特殊函数(对勾函数绝对值函数等)-2021原创精品之高中数学黄金100题系列(解析版)
第16题 几个特殊函数（对勾函数、绝对值函数等） I.对勾函数一、对勾函数的定义 形如)0,0(>>+=b a x b ax y 的函数，叫做对勾函数. 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xb ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）. 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即ab x -=时取等号）. 函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+. 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数. 4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a b 或a b x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(ab -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab 上为增函数. 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xb ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限. 当0>x 时，x b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax x b ax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示：例1.【河北唐山市2015届高三上学期期末(文)】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3-【答案】A考点：函数值、函数的奇偶性.例2.【云南省师范大学附属中学2015届高三月考文】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞【解析】试题分析：∵'2()323f x x tx =-+，由于()f x 在区间[1,4]上单调递减，则有'()0f x ≤在[1,4]上恒成立，即23230x tx -+≤，也即31()2t x x ≥+在[1,4]上恒成立，因为31()2y x x=+在[1,4]上单调递增，所以3151(4)248t ≥+=，故选C ．例2. 【山西省2016届高三四校联考】若函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2Ⅱ.绝对值函数一、绝对值函数的定义形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数.二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R2.值域：),0[+∞3.单调性函数)(x f 在）（a b -∞-,上为减函数，在),(+∞-ab 上为增函数.例3.【浙江省台州中学2015届高三上第三次统考（理）】函数{}()min 2,2f x x x =-，其中 {},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】 试题分析：作出函数()x f 的图象所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==22x y x y ，得()()()202222≤≤=-x x x ， 得324-=x ，因此，()232,324--A ，由图知，m y =与 ()x f y =图象有三个交点，则2320-<<m不妨设32120x x x <<<<，则由m x =12，得421m x = 由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=， 即2=m 时取到等号，故答案为D.例4.【北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷数学（文科）】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.【答案】2-或4；(1,3]-考点：1.分段函数值；2.函数的零点.Ⅲ.取整函数一、取整函数的定义考点1.取整函数与程序框图例5. 【2016届高三山西省四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为 A. 5 B. 7 C. 9 D. 122.取整函数与函数的周期性例6.（陕西省西北工业大学附属中学2015届高三下学期二模考试数学（文）试题）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D试题分析：因为f （x ）=x-[x]，所以f （x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f （x ），∴f （x ）=x-[x]在R 上为周期是1的函数．所以选D ．考点：函数的周期性.三、取整函数与函数的零点例7.（天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（文）试题）已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦作出g （x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点， 由图象可知：5443≤<a . 故答案为：5443≤<a .例8.【2014学年杭州地区重点中学高三数学(理)】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x =-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＜0，此时[x ]＜0；若﹣1≤x ＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1，因为[x]≤x ＜-1；[x]≤x ＜[x]+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜, 且[][]1x x 随着[x]的增大而增大． 又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x（）有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3． 若[x]=1，有121≤<a 若[x]=2，有132≤<a 若[x]=3，有143≤<a 若[x]=4，有154≤<a 若[x]=-1， 有a ＞1；若[x]=-2，有1≤a ＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若[x]=-4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a 故选：B ．例9.【2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（文科）试题】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A．510xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B．410xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C．310xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D．10xy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：新定义及函数解析式的求法.。
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象
§3.2幂函数和几个特殊幂函数的图象预备知识∙用描点法作函数图象的步骤∙正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及作法重点∙用描点法画出几种特殊幂函数的图象∙一些特殊幂函数的变化特性难点∙确定幂函数的定义域∙根据幂函数的定义域，列出合适的x,y对应值表学习要求∙掌握描点法作函数图象的步骤∙建立几种特殊幂函数的图象形象在上一节中，幂a α的底a 、指数α都认为是不变化的常数．但在实际问题中，常常会遇到α或a 之一变化的情况．在这种情况出现时，我们不仅要求出幂，更关心的是它变化的规律．本节首先学习当底a 变化时，幂的变化规律． 1. 幂函数 (1)幂函数的定义在第二章，我们曾经计算过人口问题．如果人口的年净增率是5.3‰，设当年人口基数为12亿，那么在25年时，人口总数为y =12⨯(1+0.0053)25= 12⨯ 1.005325 (1) 现在，想知道不同的人口的年净增率，对25年时总人口的影响．这时的年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，这样(1)中幂的底数也是一个变化的量，不妨用x 来表示它，于是(1)成为y =12x 25 (2) 我们考察(2)中的x 25．对每一个x ≥1，x 25是一个幂；随着x 的变化，幂也发生变化．对每一个确定的x ，x 25有唯一的值与之对应，因此x 与x 25之间具有函数关系．这种函数关系称为幂函数．幂函数的一般形式是y =x α，其中的x 是自变量，指数α是常量． 在幂函数中的指数α可以取定为任何实数值．但在目前，我们不准备对一般的α讨论，仅对若干个经常遇到的、具有代表性的α，讨论函数y =x α的变化规律，而且主要以图象形式，直观地予以反映．在指数α不同情况，幂a α的底a 允许取值是不同的．例如当α=21，a只能是非负数．此即说，如果撇开实际问题的含义，对确定的α，幂函数y =x α的自变量x 的取值范围是有限制的，它只能在使幂x α有意义范围内取值，这个范围，就是确定的α所对应幂函数y =x α 的定义域．对不同的α,如何求幂函数y =x α 的定义域呢？我们通过具体的例子来说明． 例1 求列幂函数的定义域：(1)y=x 2/3； (2)y=x -2； (3)y=x 1/4； (4)y=x – 3/2．解 (1)x 2/3=(x 2)1/3，x 2≥0，指数31>0，因此任何x ∈R ，(x 2)1/3总有意义，所以定义域为R ▌(2)x –2=21x，除了使分母为0的x=0外，其它的x 都有意义，所以定义域为{x|x ≠0}=(-∞,0)⋃(0,+∞) ▌(3)y=x 1/4=4x ，即知定义域为{x|x ≥0}= [0,+∞)▌(4)x – 3/2=(x -3)1/2=(31x)1/2，为了使它有意义，必须保证x ≠0且31x≥0，因为只有正数的奇次方才是正数，所以定义域为{x|x>0}= (0,+∞) ▌课内练习11. 确定下列幂函数的定义域：(1)y=x 6； (2)y=x 5/6； (3)y=x – 5/3； (4)y=x – 3/4；2. 几个特殊幂函数的图象因为1α=1(α∈R )，因此所有幂函数的图象都经过点(1,1)．当α=1时幂函数y=x α成为y =x ，它的图象是你所熟悉的直线——坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限的分角线；当α≠1时幂函数的图象，一般都是用你所熟悉的描点法作出．描点法的基本步骤是三步：第一步 列表．在使幂函数有意义的范围内(即幂函数的定义域内}，取一些特殊的x ，求出对应的函数值y ，列出函数值表；第二步 描点．以表上每一组对应的(x ,y )作为坐标，在直角坐标系内标出对应点；第三步 连线．用平滑的曲线依次连接各点，即得所求图象．图象的精确程度，与特殊x 如何选取密切相关．一般在图象弯曲较明显的区段，取特殊的x 要密一些，反之则可以疏一些．在你知道了不同α的幂函数图象的大致特征后，就会知道弯曲剧烈的区段的位置．例2 在直角坐标系内，作出y =x 3的图象．解 函数y =x 3的定义域为R ，所以在列表时，x 应在0的左右取一些特殊的值． 第一步 列表例3 在直角坐标系内，作出x y =的图象．解 21x x y ==的定义域为{x |x ∈R ,x ≥0}，即[0,+∞)．图3-1第一步 列表第二步 描点(见图3-2)； 第三步 连接(见图3-2) ▍ 观察x y =的图象，你也能发现，它除了过点(1,1)外的其它一些特点： ①仅在x 轴的上方有图象，当x无限增大时，图象向右上方无限延伸， 因此y ∈[0,+∞)；②随着x 增大，图象上升，即y 增大；③图象没有对称性． 课内练习21. 在直角坐标系内，作出y =x 2的图象(要求列表)，并尽可能多地说出图象 和函数的特性．例4 在直角坐标系内，作出y =x -2的图象．解 y =x -2的定义域为{x |x ∈R ,x ≠0}，即(-∞,0)∪(0,+∞)，所以x 应在x =0的左右取值，但不能取0． 第一步 列表第二步 描点(见图3-3)； 第三步 连线(见图3-3) ▍观察y =x -2的图象，你又可以发现过点 (1,1)以外的其它一些特性：①图象位于x 轴的上方，即y >0，随着 x 与0无限接近，图象无限向上延伸，因此 y ∈(0,+∞)；②函数虽然是一个，但图象却由两支曲 线构成，这两支曲线关于y 轴对称，即x 与 -x 处的y 是相同的；③在左支，随着x 的增大，图象是上升的，即y 增大，且当x 无限减小时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象又与y 轴无限靠近；在右支，随着x 增大，图象是下降的，即y 反而减小，且当x 无限增大时，图象与x 轴无限靠近，当x 无限接近0时，图象与y 轴无限靠近．图3-2图3-3同一个函数的图象分成两支这一现象， 并不新鲜，你过去学过的反比例函数 y =x1=x -1 它的图象也是分成左右两支的(函数草图见 图3-4)． 课内练习31. 在直角坐标系内，作出y =x 1的图象，并分析图象和函数的特性．课外习题 A 组1. 求下列幂函数的定义域： (1)3x y =；(2)3x y =；(3)5-=xy ；(4)3-=xy ．2. 在直角坐标系内，画出23x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性3. 在直角坐标系内，画出31x y =的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．B 组1. 在直角坐标系内，画出3-=x y 的图象(要列表)，并分析图象及函数的变 化特性．2. 函数y =|x |3是幂函数吗？它的图象与y =x 3有什么关系？与y =x 2图象的相 对关系又怎样？图3-4。
一次函数的图像(解析版)
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
几类特殊的函数
2
5
，
(3)对于(2)中的函数 f 和函数 g ＝ x 2－ mx ＋4，若对任意 x 1∈
1，3 ，总存在 x 2∈ 1，3 ，使得 g 2 ＝ f 1 成立，求实数 m 的取
值范围.
[解]
由(2)知 f 1 ∈
9
0，
5
时，若存在 x 2∈ 1，3 ，
2，故选项A错误；
当 a ＝－1时， f (－ x )＝
1
−＋
＝ −
1
＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，
1
当 x ∈(0，1)时， f ( x )＝－ x ＋ ，易知函数 f ( x )在区间(0，1]上单调递
1
减，当 x ∈[1，＋∞)时， f ( x )＝ x － ，易知函数 f ( x )在区间(1，＋∞)上
2
所以④是正确的.
2
2
1
＋ ＋ ＝2 n ， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ；
2
1
＋ ＋ ＝2 n ＋1， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ＋1，
2
方法总结
1.对于函数的新定义试题的求解:(1)根据函数的定义,可通过举出反例,说
明不正确; (2)正确理解函数的定义的内涵,紧紧结合定义进行推理、论
③④
.
① ＝ ； ② ＋ ＝ ＋ ；
③ + 1 ＝ ＋1；④ ＋
1
＋
2
＝ 2 .
对于①中，例如 1.5 × 1.5 ＝ 2.25 ＝2， 1.5 1.5 ＝1×1＝1，所以不
正确；
对于②中，例如 1.5 + 1.5 ＝ 3 ＝3， 1.5 ＋ 1.5 ＝2，所以不正确；
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
高中数学教案 拓展视野5 几类特殊函数
几类特殊函数对勾函数、飘带函数1.对勾函数y ＝ax ＋bx (a ＞0，b ＞0)(1)性质①奇偶性：奇函数.②单调性：单调递增区间：(－∞，－b a)，(ba ，＋∞)；单调递减区间：(－ba，0)，(0，b a).③渐近线：y ＝ax 和x ＝0.(2)图象2.飘带函数y ＝ax －bx (a ＞0，b ＞0)(1)性质①奇偶性：奇函数.②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增.③渐近线：x ＝0.(2)图象例1(多选)已知函数f (x )＝x －ax(a ≠0)，下列说法正确的是()A.当a ＞0时，f (x )在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a＞0时，f(x)的值域为R解析：BCD当a＞0时，f(x)＝x－ax，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋4x为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋4x＝－（－x）＋（－4x）≤－2（－x）×（－4x）＝－4(当且仅当x＝－2时取等号).故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确.尝试训练1形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.已知函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝.解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.①当a≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋a4－2－a2＝2－a4＝1，解得a＝4.②当a≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋a2－4－a4＝a4－2＝1，解得a＝12(舍去).③当2＜a＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，a)上单调递减，在(a，4]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a ，f (x )max ＝f (2)或f (4).当f (x )max ＝f (2)时，f (x )max －f (x )min ＝f (2)－f (a )＝2＋a2－2a ＝1，解得a ＝2＋2或a ＝2－2(舍去)，则a ＝6＋42，经验证，符合题意.当f (x )max ＝f (4)时，f (x )max －f (x )min ＝f (4)－f (a )＝4＋a4－2a ＝1，解得a ＝6或a ＝2，即a ＝36(舍去)或a ＝4(舍去).综上，a 的值为4或6＋4 2.答案：4或6＋42高斯函数、狄利克雷函数、最值函数1.高斯函数y ＝[x ](1)定义：不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y ＝[x ]称为高斯函数，又称取整函数.(2)性质①定义域：R ；值域：Z .②不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)图象2.狄利克雷函数D (x )，x ∈Q ，，x ∉Q的性质(1)定义域R ；值域{0，1}.(2)奇偶性：偶函数.(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.3.最值函数的概念设min{a ，b }，a ≤b ，，a ＞b ，max{a ，b }，a ≥b ，，a ＜b .直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.例2(1)(多选)(2024·金华调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝e x1＋e x－12，函数g(x)＝[f(x)]，则下列命题中为真命题的是()A.g(x)图象关于x＝0对称B.f(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{－1，0，1}解析：BC根据题意，知f(x)＝e x1＋e x－12＝1＋e x－11＋e x－12＝12－11＋e x.∵g(1)＝[f(1)]＝e1＋e－12＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝1e＋1－12＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关于直线x＝0对称，A错误；y＝f(x)的定义域为R，∵f(－x)＝e－x1＋e－x－12＝11＋e x－12＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；任取x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝(12－11＋e x1)－(12－11＋e x2)＝11＋e x2－11＋e x1＝e x1－e x2（1＋e x1）（1＋e x1），∵x1＞x2，则e x1＞e x2，即e x1－e x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝12－11＋e x在R上是增函数，C正确；∵e x＞0，∴1＋e x＞1，∴0＜11＋e x＜1，则－12＜12－11＋e x＜12，即－12＜f(x)＜12，∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}，D错误.(2)(多选)(2024·济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)，x∈Q，，x∈∁R Q，称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是()A.函数y＝f(x)的图象是两条直线B.f(f(x))＝1C.f(3)＞f(1)D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)解析：BD对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确；对于C，f(3)＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f(3)，C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确.(3)若函数f(x)＝|sin x＋23＋sin x＋t|(x，t∈R)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为.解析：设u ＝sin x ＋23＋sin x ＝(sin x ＋3)＋2sin x ＋3－3，由3＋sin x ∈[2，4]，故u ∈0，32，原题可化为φ(u )＝|u ＋t |的最大值记为g (t )，于是g (t )＝＋t |，|32＋t＝|，|32＋tg (t )的图象如图所示，＝－t ，＝t ＋32，＝－34，＝34.即g (t )的最小值为34.答案：34尝试训练2设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f (x )＝4x －12－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为()A.－12，B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}解析：Bf (x )＝4x －12－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，令t ＝2x ，t ∈(1，4)，可得g (t )＝12t 2－3t ＋4＝12(t －3)2－12，g (t )在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t ＝3时，g (t )有最小值g (3)＝－12，又因为g (1)＝32，g (4)＝0，所以当t ∈(1，4)时，g (t )∈－12，即函数f (x )的值域为－12，当f (x )∈－12，[f (x )]＝－1；f (x )∈[0，1)时，[f (x )]＝0；f (x )∈1[f (x )]＝1.所以y ＝[f (x )]的值域是{－1，0，1}.一次分式函数1.定义：我们把形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0，ad ≠bc )的函数称为一次分式函数.2.图象3.性质(1)|x ≠|y (2)对称中心：(－b a ，ca )；(3)渐近线方程：x ＝－b a 和y ＝ca；(4)单调性：当ad ＞bc 时，函数在区间(－∞，－b a )和(－ba ，＋∞)分别单调递减；当ad ＜bc 时，函数在区间(－∞，－b a )和(－ba，＋∞)分别单调递增.例3已知函数f(x)＝ax＋2－ax＋1，其中a∈R.(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解：(1)f(x)＝ax＋2－ax＋1＝a（x＋1）＋2－2ax＋1＝a＋2－2ax＋1，所以f(x)的对称中心为点(－1，a)，由题意得a＝3.(2)由f(x)＝ax＋2－ax＋1知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1).尝试训练3函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8解析：D函数y＝11－x与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.。
高三数学 函数y=Asinωx+φ的图象和性质
三基能力强化
1．(高考山东卷改编)将函数y＝sin2x 的图象向左平移 个单位π4，再向上平移1 个单位，所得图象的函数解析式
是
．
解析：y＝sin2x 图象向左平移π4个单
位得到 y＝sin2(x＋4π)＝sin(2x＋2π)＝cos2x
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分14分) 如图为一个缆车示
意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与 地面距离为0.8 m,60秒 转动一圈，图中OA与 地面垂直，以OA为始边，逆时针转 动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达 OB，求h与t之间的函数关系式，并 求缆车到达最高点时用的时间．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
基础知识梳理
1．正弦函数y＝sinx的图象特征 关于原点对称，五点法作简图中五 个点通常是平衡点 (0,0)、(π，0)、(2π，0) 三个，最值点 (π2，1)、(32π，－1)．任何一 个 平衡点 都是正弦曲线的对称中心．过 最值点且平行于 y轴 的直线都是它的对 称轴．
课堂互动讲练
考点一
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象在一个周期
内的“五点”横向间距必相等，为T4，于是“五 点”横坐标依次为 x1＝－ωφ ，x2＝x1＋T4，x3＝ x2＋T4…这样可以快速地求出“五点”坐标．
课堂互动讲练
2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换最好 是先平移再伸缩，每一次变换都是对自 变量而言的，要看自变量的变化，而不 是看角的变化．
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
其图像的画法是按定义域的划分分别作图。
第4讲 特殊函数的性质(教师版)
§4 由,e ,ln xx x 构成的函数性质秒杀知识点定义域为(,0)(0,)-∞+∞[)(,0)e,-∞∞+．e y ．10ey -<．y．定义域为()()+．0,11,∞值域为()[)e,-∞+,0∞y时，0y，时，e秒杀思路分析由,e ,ln x x x 构成的六类函数及其变形是高考中出现频率最高的函数，如果所给函数可转化为这六类函数，可利用函数性质来判断结论并分析解题思路．如果是客观题即可“秒杀”．【示例1】（2014年新课标全国卷Ⅰ理21）设函数()1ln e e x xxx b f x a -=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()e 12y x =-+． （1）求,a b ；（2）求证：()1f x >．【秒杀方法】（1）由(1)2f =，(1)e f '=，可得1,2a b ==．（2）由（1）知1ln 2()e e x x f x x x -=+，从而()1f x >⇒2(0)ln e ex x x x x >->，设()ln g x x x =，由性质知min 11()e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．令()e x x h x =，由性质知max 1()(1)e h x h ==．即min max 2()()e e 1g x x h -=-，由于min ()g x 与max ()h x 不能同时取得，故e ln 2e x x x x >-，即()1f x >成立．（注：具体解题时要分别求出()g x 与()h x 的极值） 此例是非常典型的这类函数性质的应用问题．【示例2】（2016年四川卷文21）设函数21e ()ln ,()e x f x ax a x g x x =--=-．其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1,+∞内恒成立．本题涉及两个函数问题，看似很复杂，其实第（1）问只涉及()f x ，是常规讨论问题，按步骤即可解决；第（2）问，只要变形为1e ex x >，即e e xx >，就是证明函数e x y x =的性质（极值）问题；第（3）问借用（1），（2）也就不难进行分析比较． 【秒杀方法】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．2121'()2(0)ax f x ax x x x-=-=>．①当0a 时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减． ②当0a >时，由()0f x '=得x =当x ⎛∈ ⎝时，'()0f x <，()f x 单调递减．当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）由1x >，()0g x >变形为1x >时e e xx >． 由e x y x =的性质，当0x >时，min e(1)y x ==． ∴1x >时必有e e xx>即1x >时()0g x >．（3）比较分析：①∵1x >时，()0g x >，而当0a ，1x >时，()0f x <，即必有0a >． ②由（1）知x =时，()f x 有极小值．()1,+∞1>，∴102a <<时，可知()()f x g x >不恒成立．当112a时，即12a ，易证明()()()0h x f x g x =->在()1,+∞上恒成立．（只需求()h x 的最小值即可） 综上可知1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 方法对比【例1】（2016年黑龙江预赛）设函数()3()e 33e (2)x x f x x x a x x =-+---．若不等式()0f x 有解，则实数a 的最小值为（ ）A ．21e -B ．22e -C ．212e +D ．1e1-()0f x 得33a x x -+3()33(2)e x h x x x x x =-+--13e x x --+13)ex +．(33axx -，则max ()h x 33x -+，则，0"(1)ϕ>．()13302e x x x ++>-，11e a -，故11ea -．故选【例2】（2014年湖南卷文9）若1201x x <<<，则（ ） A ．2121l e e n ln x x x x ->- B ．2121l e e n ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <()()()101e 1u u x u -=<<=-．【例3】（2016年甘肃预赛）已知函数n (l )f x x x =．（1）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()()g x f x kx k =-∈R ，若函数()g x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在两个零点，求k 的取值范围．这是直接考查这类函数问题，通过ln y x =的图像与性质可求解．∴当421e 2e k <时，函数421e 2e k <，故秒杀训练【试题1】函数()22ln 2f x x x x =+-零点的个数为_________．【解析】22ln 20x x x +-=，即2ln x x x x =-，画图像知只有一个交点．故只存在一个零点．【试题2】设函数()e x f x x =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【解析】由e x y x =的性质知选D ．【试题3】已知函数()e x f x x -=，求函数()f x 的单调区间与极值．【解析】()e x x f x =，由性质知：增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞．故()max 1(1)e f x x ==，无极小值．【试题4】求证当()1,x ∈+∞时，l 11n xx x -<<．【解析】由1ln 1e x x x -+得ln 1x x -．又1ln x x x -，∴1ln x x x -．∴ln 1n l x x x x -，故11(1)ln xx x x -<<>．【试题5】设函数()ln f x x x =-，()ln g x xx =，求证()()f x g x >．【解析】()ln g x x x =，()max 1(e)e g x g ==，()1'x f x x -=，易知()()min 11f x f ==，∴()()11ex x f g >，故()()f x g x >．【试题6】若函数()()21eax x f x a =-∈R 在区间()0,16内有两个零点，求实数a 的取值范围． 【解析】函数()21eax x f x =-在区间()0,16内有两个零点．即方程2e 0ax x -=在区间()0,16内有两个不同的实数根，即方程ln 2x a x =在区间()0,16内有两个不同的实数根．即ln y x x =的图像与直线2a y =在区间()0,16内有两个不同的交点．由ln y x x =的性质知e x =时max 1e y =，则102e a <<． 而当1x =时，0y =，当16x =时，n 214l y =．∴11ln 242e a <<，即12ln 22e a <<，12ln 2,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．真题回放【试题1】（2018年全国Ⅱ卷理21）已知函数()2e x f x ax =-．（1）若1a =，求证：当0x 时，()1f x ； （2）若()f x 在()0,+∞上只有一个零点，求a ． 【解析】（1）当1a =时，即证2e 1x x +． 当0x =时，不等式恒成立；当0x >时，不等式即为e1x xxx +．令()e 1(0)x x x x x x ϕ=-->，()()()21e 1'x x x x x ϕ---=， 由熟知不等式()e 10x x x >+>，∴由()0x ϕ'=得1x =． ∴()0,1x ∈，()0x ϕ'<；()1,x ∈+∞，()'0x ϕ>，∴1x =时()()min 1e 20x ϕϕ==->．故()0x ϕ>，故对0x 有()1f x ．（2）()2e x f x ax =-在()0,+∞上有唯一零点，即2e 0x ax -=只有一个根，即2e x ax =有一个根，且0a >．∵0x >，∴e xax x=有唯一根．令1e x y x =，2y ax =，则两函数图像只有一个交点． ∴直线2y ax =为曲线1e x y x=的切线． 设切点为000e ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴由21e (1)'x x y x -=得()0000200e e 1x x x x a x x -==， ∴02x =，即22e e 224a ==．【试题2】（2018年全国Ⅰ卷文21）已知函数()e ln 1x f x a x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）求证：当1ea 时，()0f x ． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1'e x f x a x =-．由已知()'20f =，∴212ea =．从而()21e ln 12exf x x =--，()22211e 2e 'e 2e 2e x x x f x x x -=-=．当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()'0f x >． 故()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增．（2）当1ea 时，即需n e l 1x a x x x x +，即需证n e e l 1xx x xx +．令()1e e xg x x =⋅，由e x y x=的性质知当0x >时，()min e 1y x ==．即()min 1g x =． 令n (l 1)x x x x ϕ=+，则由()20ln 'x xx ϕ-==得1x =． ()0,1x ∈时()'0x ϕ>；()1,x ∈+∞时()'0x ϕ<．则1x =时，()()max 11x ϕϕ==．即()()g x x ϕl e1e n x x x xx ⇒+（1x =时等号成立）． 即1l een xx +，故1l 1e e n x a a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【试题3】（2015年陕西卷文15）函数e x y x =在其极值点处的切线方程为______． 【解析】由e x y x =性质知当1x =-时，min 1e y =-，则切线方程为1e y =-．【试题4】（2018年东北三校二模理12）已知当()1,x ∈+∞时关于x 的方程1ln (2)x k kx x+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,7【解析】由题意得0k >，则ln (2)x x k x k =--． 设1ln y x x =，2(2)y k x k =--． 函数2y 的图像过定点(1,2)M -．设直线2y 与1y 相切于()00,P x y ，即000ln y x x =．1ln 1'y x =+，∴0ln 1PM k x =+，即00000022111ln ln y x x x x x +++==--， ∴00000ln ln 1ln 2o x x x x x x -+-=+，即00ln 3x x =-． ∴002ln 12k x x -=+=-，即0k x =． ∴k 的范围就是0x 的范围．令()ln 3x x x ϕ=-+．∴(4)ln 410ϕ=->，(5)ln 520ϕ=-<，∴0(4,5)x ∈，故(4,5)k ∈．故选B ． 【试题5】（2014年天津卷理20）已知函数()()e ,x f x x a a x =-∈∈R R ，若函数()f x 有两个零点12x x ,，且12x x <．（1）求a 的取值范围； （2）求证：21x x 随着a 的减小而增大．（节选） 【解析】（1）由()e 0x f x x a =-=，有ex x a =．设y a =，()e x x g x =，则()f x 有两个零点⇔直线y a =与()ex x g x =的图像有两个交点．由()1'e x x g x -=知，1x <时，()0g x '>，()g x 递增；1x >时，()0g x '<，()g x 递减， ∴()max 1(1)eg x g ==．当(),0x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x ∈+∞时，()1e0g x >，且()00g =，lim 0e x x x →+∞=．∴当10e a <<时，直线y a =与()e x x g x =的图像有两个交点，即()y f x =有两个零点，故1e 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）由已知12,x x 满足()()12,a g x a g x ==，由1e 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及()g x 的单调性，可得()()120,1,1,x x ∈∈+∞．对于121,e 0,a a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭．设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<，()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<．∵()g x 在()0,1上递增，∴由12a a >，即()()11g g ξη>，类似可得22ξη<，又由21,0ξη>，得222111ξηηξξη<<． ∴21x x 随着a 的减小而增大． 【试题6】（2014年山东卷理20）设函数2ln e 2()x f x x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数，e 是自然对数的底数）． （1）当0k 时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．【解析】（1）定义域为()0,+∞，()()()32e 'x x kx f x x --=．由0k 可得e 0x kx ->，∴()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 递减；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 递增，即()f x 的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞．（2）()()()32e 'x x kx f x x --=．∵()0,2x ∈时，20x -≠，30x ≠，要使()f x 在()0,2内存在两个极值点，只需e 0x kx -=在()0,2内有两个不等实根，由e x k x =，可设y k =与()e x g x x=． ∴y k =与()e x g x x=的图像在()0,2内有两个不同交点．令()()20'e 1x x x g x -==得1x =．∴()0,1x ∈时()'0g x <，()g x 递减；()1,2x ∈时，()'0g x >，()g x 递增，()min (1)e g x g ==，2e (2)2g =，()0lim x g x +→=+∞， ∴()e 2k g <<，故2e,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【试题7】（2015年陕西预赛）已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a =-+-∈R ．（1）若对任意()0,x ∈+∞，恒有不等式()()12f xg x ，求a 的取值范围； （2）求证对任意()0,x ∈+∞，有e l 12e n x xx >-． 【解析】（1）()0,x ∀∈+∞，()()12f x g x 恒成立，即()23ln 12x x a x x -+-恒成立，min 2ln 3a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 设()l 3n 2x x x x ϕ=++，()223'1x x xϕ=+-222(3)(1)23x x x x x x +-+-==． ∵0x >，∴30x +>．令()'0x ϕ>，则1x >，令()'0x ϕ<，则01x <<，∴()x ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增．故()()min 14x ϕϕ==．∴4a ．（2）由性质可得11()e n e l x x x -=，1(1)e e x xx =， ∵0x >时，ln e2e x xx x >-． ∴e 12ln e x x x>-．。
三角函数的图象和性质
在区间 [0,
2
]
上是单调函数,
必有
2
≤
,
即 0<≤2.
∴0<
4k+2 3
≤2(kZ).
解得 k=0 或 1.
∴=2
或
2 3
.
综上所述,
=
2
,
=2 或
2 3
.
6.如果函数 的值.
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中, tan=a.
3.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是
Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是
2;
T=
2|②| .f(x)=
4.奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(xR)是奇函数, 对称中心
是 (x(kR),是0)偶(k函Z数),,对对称称轴中是心直是线(kx=+k2,+02)((kkZZ)),;对余称弦轴函是数直y=线coxs=x k (kZ) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂
性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.
解:
(1)由∴∵∴2kfsfs((iixnx+n))xx=的4--lcoc<定oogxss<21xx义(2s=>ik域n0,x2+为-s即ic5n4o{(xsx,x2|-k)s2≥ik4nlZ)(o≤x+g-21424<2,)x>=<0-2得k12:.+
5
4
特殊k值的一次函数的图像及性质
与y轴的夹角为，
四、利用两点求解析式中的K值
求过下列两点的直线解析式的K
1、（1，2） （3，-4） 2、（-2，5） （4，1）
3、（-3，-8） （1，,1） 4、（9，-1） （-2，- 3）
推导：过点A（a，b ） B（c，d）的直线解析式的K值
推广：
判断下列三点在一条直线上吗？（2，3） （-1，-4） （5，6）
这三条直线与x轴的夹角为，与y轴的夹角为，
三、60o角
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；
C（，）；D（，）；
OA =； OB =；
OC =； OD =；
这三条直线与x轴的夹角为，
与y轴的夹角为，
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；
C（，）；D（，）；
OA =； OB =；
OC =； OD =；
特殊k值的一次函数的图像及性质
姓名：
一、450角
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；C（，）；D（，）；
OA =； OB =； OC =； OD =；
这三条直线与x轴的夹角为，
与y轴的夹角为，
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；
C（，）；D（，）；
OA =； OB =；
OC =； OD =；
这三条直线与x轴的夹角为，
与y轴的夹角为，
二、60o角
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；
C（，
这三条直线与x轴的夹角为，与y轴的夹角为，
图像y= x过（1，），
A（，）；B（，）；
C（，）；D（，）；
OA =； OB =；
OC =； OD =；
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几种特殊函数的图象及性质
备课教师：刘彩伏
教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待
定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观
察出它们的性质。
2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴
的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方
法。
教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。
教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。
计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析
与训练）
教学过程：
一、基础知识复习
1、正比例函数
[定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。
[性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在
二、四象限内，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数
[定义]：函数x
k y =(k 是常数，k ≠0)。
[图象]：双曲线。
[性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。
3、一次函数
[定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。
（注意：当b=0时，就成为正比例函
数）
[图象]：经过（0，b ），（k
b -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。
（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距）
[性质]：
①k>0时， y 随x 的增大而增大⎩
⎨⎧<>象限时，直线过一、三、四象限时，直线过一、二、三00b b ； ②k<0时， y 随x 的增大而减小⎩⎨⎧<>象限时，直线过二、三、四象限时，直线过一、二、四
00b b ；
4、二次函数
[定义]：函数y=ax 2+bx+c （其中a,b,c 是常数且a ≠0）。
[图象]：抛物线
[性质]：
①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
②顶点：)44,2(2
a
b a
c a b -- ；对称轴：a b x 2-= 。
（注：可对y =ax 2+bx+c 用配方法来求顶点与对称轴，即：若配方得y =a(x+h)2
+k ，
则顶点为（-h ，k ），对称轴为x =-h ，而y =a(x+h)2+k 也被称为二次函数的顶点式） ③最值与增减性：a>0时，函数y 当a b x 2-=时，有最小值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，增，a b x 2-<时，减；a<0时，函数y 当a b x 2-=时，有最大值a
b a
c 442
-，且a b x 2->时，减，a
b x 2-<时，增。
④与坐标轴的交点：与y 轴交于点（0，
c ）；与x 轴的交点个数要由Δ判定（注意
理解一元二次方程与二次函数两者的联系）。
二、题型分析练习
1、利用函数概念与性质解题
例1：在函数1992)92(+--=m m x m y 中，当实数m 为何值时，
(1) 此函数为正比例函数，且它的图象在第二、四象限内；
(2) 此函数为反比例函数，且它的图象在第一、三象限内。
[分析]：同时考虑系数与x 的次数的取值，利用正、反比例函数的概念和性质可解。
[注意]：对系数(2m-9)的限制，要考虑图象的情况。
[解]：略。
例2：点A （a ，b ），B （a-1，c ）均在函数x
y 1=的图象上，若a<0，则b ？ [分析]：点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式。
[解]：略。
例3：已知二次函数y=x 2-4x-5
①把函数化成顶点式；
②指出图象的顶点坐标和对称轴；
③画出函数图象
④利用函数图象解不等式x 2-4x-5<0。
[解]：略。
[练习]：1、已知点（2，5），（4，5）是某抛物线上两点，则此抛物线的对称轴方
程为？
2、《学力提升》27页例2。
例4：已知正比例函数ax y =1，反比例函数x
b y =2，在同一坐标系中这两个函数的图象没有公共点，则a 与b 的关系是（ ）
A 、同号
B 、异号
C 、互为倒数
D 、互为相反数
[分析]：由x b ax =得a b x =2，当a 、b 异号时，x 2<0，这样的x 不存在，所以选B 。
例5：若反比例函数)0(≠=k x
k y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数k kx y -=的图象经过第 象限。
[分析]：由已知k<0，-k>0，所以k kx y -=的图象经过第一 、二、四象限。
[练习]：《学力提升》30页16—20，32页8—13，33页15—21。
2、交点问题
[说明]：“交点”即两函数图象的公共点。
若已知两函数解析式，求其图象交点，可将两解析式列为方程组求解；若已知交点，求函数解析式中系数的值，可将交点坐标分别代入函数解析式求解。
例6：求两直线y=2x+3与y=-3x+8与x 轴所围成的三角形面积。
[分析]：分别求出两直线与x 轴的交点及两直线的交点，结合图形可求。
[解]：略。
[说明]：函数图象与x 轴的交点可令y 值为0来求；函数图象与y 轴的交点可令x
值为0来求；x(y)轴上两点间的距离等于两点横坐标（纵坐标）差的绝对值。
例7：若直线若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=?
[分析]点（m ，8）既在直线y=-x+a 上，又在直线y=x+b 上，所以将x=m ，y=8分别代入两直线方程可解。
[解]：略。
例8：已知二次函数y=x 2+(n+3)x+3n ，讨论n 取何值时，二次函数的图象与x 轴有两个交点，一个交点，没有交点？
[分析]：二次函数与一元二次方程的关系：①Δ>0，二次函数图象与x 轴有两个交点；②Δ=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；③Δ<0，二次函数图象与x 轴没有交点。
[解]：略。
[练习]：《学力提升》33页第三大题第1小题。
3、待定系数法求函数解析式
例9：已知一次函数图象经过点（3，2）和点（-1，-6），求这个函数的解析式；并判断点P （2a ，4a-4）是否在函数图象上。
[分析]：可设一次函数解析式为：y=kx+b ，将已知点的坐标分别代入解析式，解方程组即可。
[解]：略。
例10：根据下列条件求二次函数解析式：
①已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为-1、3，与y 轴交点的纵坐标是2
3 ，求此抛物线解析式。
②已知二次函数的图象顶点坐标为（2，-5），图象经过点（0，-17），求其解析式。
[分析]：根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，是求二次函数解析式的
关键，注意二次函数解析式的三种形式：一般式（y=ax 2+bx+c ，其中a ≠0），两点式
（y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中a ≠0,x 1，x 2分别为抛物线与x 轴两交点的横坐标），顶点
式（y=a(x+h)2+k,其中a ≠0,顶点坐标为（-h ，k ））。
因此①题可选用一般式或两点
式，②题可选用顶点式。
[解]：略
例11：（见《学力提升》27页例3）略。
[说明]：在解决函数问题时，涉及几何知识时，既要用几何知识也要充分考虑在
直角坐标系中的条件。
三、课后小结
本节课主要复习了四种基本函数的概念及其图象和性质（注意：要结合图象来观察记忆性质）。
另外，要熟练掌握用“待定系数法” 求函数的解析式的方法。
在解决函数问题时，注意用数形结合的观点分析问题的方法。
在学习中还应注意以下问题：
1、深刻理解解析式中字母a,b,c,k的含义将有助于对函数概念及性质的理解和正确
认识图象。
（例如：k相同的两直线平行；a相同的两抛物线开口方向、大小一致；
对抛物线，对称轴在y轴左⇔a,b同号，对称轴在y轴左⇔a,b异号；由Δ判断
抛物线与x轴交点的个数等）
2、二次函数中，将数型结合，找图形的特征，抓特殊点、轴（顶点、图象与两坐标
轴交点、对称轴）与a,b,c及Δ的关系寻求解题途径是常用的有效办法。
如：抛
物线的顶点就是最值点，知顶点可求对称轴，从而可知图象上某已知点关于此轴
的对称点也在图象上，知顶点还可列出关于a,b,c的两个方程……
四、作业布置
《学力提升》33——35页：三（2—12）。